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Theorem atcvat4i 25946
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvat4i  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
21hatomici 25908 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  A )
3 atelch 25893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
4 atelch 25893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
5 chub1 25055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  C  C_  ( C  vH  x ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  C  C_  ( C  vH  x ) )
7 sseq1 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  C  ->  ( B  C_  ( C  vH  x )  <->  C  C_  ( C  vH  x ) ) )
86, 7syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  C  ->  (
( C  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  B  C_  ( C  vH  x ) ) )
98expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  C  ->  ( C  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  ->  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
109impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  B  C_  ( C  vH  x
) ) )
1110anim2d 565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  e. HAtoms )  -> 
( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
1211expcomd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( x 
C_  A  ->  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
1312reximdvai 2925 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  A  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
142, 13syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
1514ex 434 . . . . . 6  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( A  vH  C )  ->  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) ) )
1716com4l 84 . . . 4  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( B  C_  ( A  vH  C
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) ) )
1817imp4a 589 . . 3  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
1918adantl 466 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  =  C  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x
) ) ) ) )
20 atelch 25893 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
21 chlejb2 25061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( C  C_  A  <->  ( A  vH  C )  =  A ) )
221, 21mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CH  ->  ( C  C_  A  <->  ( A  vH  C )  =  A ) )
2322biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CH  /\  C  C_  A )  -> 
( A  vH  C
)  =  A )
2423sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CH  /\  C  C_  A )  -> 
( B  C_  ( A  vH  C )  <->  B  C_  A
) )
2524biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  A
)
2625expl 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  CH  ->  (
( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  A
) )
2726adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  A
) )
28 chub2 25056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( C  vH  B ) )
2927, 28jctird 544 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B ) ) ) )
3020, 3, 29syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) ) )
31 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  B  e. HAtoms )
3230, 31jctild 543 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( B  e. HAtoms  /\  ( B 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) ) ) )
3332impl 620 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( B  e. HAtoms  /\  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) ) )
34 sseq1 3478 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  A  <->  B  C_  A
) )
35 oveq2 6201 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( C  vH  x )  =  ( C  vH  B
) )
3635sseq2d 3485 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( B  C_  ( C  vH  x )  <->  B  C_  ( C  vH  B ) ) )
3734, 36anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) )  <-> 
( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B ) ) ) )
3837rspcev 3172 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x
) ) )
3933, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x
) ) )
4039adantrl 715 . . 3  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  C  C_  A )  /\  ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) )
4140exp31 604 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( C  C_  A  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
42 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  ( A  vH  C ) )
43 ioran 490 . . . 4  |-  ( -.  ( B  =  C  \/  C  C_  A
)  <->  ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A ) )
441atcvat3i 25945 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  ->  C  e.  CH )
4644imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms )
47 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  ->  B  e. HAtoms )
4845, 46, 473jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( C  e.  CH  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )
)
49 inss2 3672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  ( B  vH  C )
50 chjcom 25054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  =  ( C  vH  B ) )
5120, 3, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  vH  C )  =  ( C  vH  B ) )
5249, 51syl5sseq 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  C_  ( C  vH  B ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
C_  ( C  vH  B ) )
54 atnssm0 25925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( -.  C  C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  0H ) )
551, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  0H ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  C  C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  0H ) )
57 inss1 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A
58 sslin 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
C_  A  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  ( C  i^i  A ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  ( C  i^i  A )
60 incom 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  i^i  A )  =  ( A  i^i  C
)
6159, 60sseqtri 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  ( A  i^i  C )
62 sseq2 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  C )  =  0H  ->  (
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) 
C_  ( A  i^i  C )  <->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  0H )
)
6361, 62mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  i^i  C )  =  0H  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  0H )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
65 chjcl 24905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
66 chincl 25047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
671, 65, 66sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
68 chincl 25047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  CH  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )  -> 
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH )
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH )
7020, 3, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH )
71 chle0 24991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH  ->  (
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) 
C_  0H  <->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  0H  <->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7363, 72syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  0H  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7456, 73sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  C  C_  A  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7574imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  C  C_  A )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )
7675adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A ) )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )
7776adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )
7853, 77jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  ( C  vH  B )  /\  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
79 atexch 25930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CH  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  ( C  vH  B )  /\  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )  ->  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )
8048, 78, 79sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  ->  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) )
8180, 57jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )
8281ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) ) )
8344, 82jcad 533 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) ) ) )
84 sseq1 3478 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( x  C_  A  <->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A )
)
85 oveq2 6201 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( C  vH  x )  =  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) )
8685sseq2d 3485 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( B  C_  ( C  vH  x
)  <->  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )
8784, 86anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) )  <->  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) ) )
8887rspcev 3172 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) )
8983, 88syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
9089expd 436 . . . 4  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A
)  ->  ( B  C_  ( A  vH  C
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
9143, 90syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  ( B  =  C  \/  C  C_  A )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
9242, 91syl7 68 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  ( B  =  C  \/  C  C_  A )  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
9319, 41, 92ecase3d 934 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796    i^i cin 3428    C_ wss 3429  (class class class)co 6193   CHcch 24476    vH chj 24480   0Hc0h 24482  HAtomscat 24512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cc 8708  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvmulass 24554  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557  ax-hfi 24626  ax-his1 24629  ax-his2 24630  ax-his3 24631  ax-his4 24632  ax-hcompl 24749
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-lm 18958  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cfil 20891  df-cau 20892  df-cmet 20893  df-grpo 23823  df-gid 23824  df-ginv 23825  df-gdiv 23826  df-ablo 23914  df-subgo 23934  df-vc 24069  df-nv 24115  df-va 24118  df-ba 24119  df-sm 24120  df-0v 24121  df-vs 24122  df-nmcv 24123  df-ims 24124  df-dip 24241  df-ssp 24265  df-ph 24358  df-cbn 24409  df-hnorm 24515  df-hba 24516  df-hvsub 24518  df-hlim 24519  df-hcau 24520  df-sh 24754  df-ch 24769  df-oc 24800  df-ch0 24801  df-shs 24856  df-span 24857  df-chj 24858  df-chsup 24859  df-pjh 24943  df-cv 25828  df-at 25887
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