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Theorem atcvat4i 27432
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvat4i  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
21hatomici 27394 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  A )
3 atelch 27379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
4 atelch 27379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
5 chub1 26542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  C  C_  ( C  vH  x ) )
63, 4, 5syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  C  C_  ( C  vH  x ) )
7 sseq1 3438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  C  ->  ( B  C_  ( C  vH  x )  <->  C  C_  ( C  vH  x ) ) )
86, 7syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  C  ->  (
( C  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  B  C_  ( C  vH  x ) ) )
98expd 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  C  ->  ( C  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  ->  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
109impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  B  C_  ( C  vH  x
) ) )
1110anim2d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  e. HAtoms )  -> 
( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
1211expcomd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( x 
C_  A  ->  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
1312reximdvai 2854 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  A  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
142, 13syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  =  C )  ->  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
1514ex 432 . . . . . 6  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( A  vH  C )  ->  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) ) )
1716com4l 84 . . . 4  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( B  C_  ( A  vH  C
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) ) )
1817imp4a 587 . . 3  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( B  =  C  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
1918adantl 464 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  =  C  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x
) ) ) ) )
20 atelch 27379 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
21 chlejb2 26548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( C  C_  A  <->  ( A  vH  C )  =  A ) )
221, 21mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CH  ->  ( C  C_  A  <->  ( A  vH  C )  =  A ) )
2322biimpa 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CH  /\  C  C_  A )  -> 
( A  vH  C
)  =  A )
2423sseq2d 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CH  /\  C  C_  A )  -> 
( B  C_  ( A  vH  C )  <->  B  C_  A
) )
2524biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  A
)
2625expl 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  CH  ->  (
( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  A
) )
2726adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  A
) )
28 chub2 26543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( C  vH  B ) )
2927, 28jctird 542 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B ) ) ) )
3020, 3, 29syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) ) )
31 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  B  e. HAtoms )
3230, 31jctild 541 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( B  e. HAtoms  /\  ( B 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) ) ) )
3332impl 618 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( B  e. HAtoms  /\  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) ) )
34 sseq1 3438 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  A  <->  B  C_  A
) )
35 oveq2 6204 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( C  vH  x )  =  ( C  vH  B
) )
3635sseq2d 3445 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( B  C_  ( C  vH  x )  <->  B  C_  ( C  vH  B ) ) )
3734, 36anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) )  <-> 
( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B ) ) ) )
3837rspcev 3135 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  ( B  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  B
) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x
) ) )
3933, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x
) ) )
4039adantrl 713 . . 3  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  C  C_  A )  /\  ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) )
4140exp31 602 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( C  C_  A  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
42 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  B  C_  ( A  vH  C ) )
43 ioran 488 . . . 4  |-  ( -.  ( B  =  C  \/  C  C_  A
)  <->  ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A ) )
441atcvat3i 27431 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
453ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  ->  C  e.  CH )
4644imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms )
47 simpll 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  ->  B  e. HAtoms )
4845, 46, 473jca 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( C  e.  CH  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )
)
49 inss2 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  ( B  vH  C )
50 chjcom 26541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  =  ( C  vH  B ) )
5120, 3, 50syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  vH  C )  =  ( C  vH  B ) )
5249, 51syl5sseq 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  C_  ( C  vH  B ) )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
C_  ( C  vH  B ) )
54 atnssm0 27411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( -.  C  C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  0H ) )
551, 54mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  0H ) )
5655adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  C  C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  0H ) )
57 inss1 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A
58 sslin 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
C_  A  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  ( C  i^i  A ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  ( C  i^i  A )
60 incom 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  i^i  A )  =  ( A  i^i  C
)
6159, 60sseqtri 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  ( A  i^i  C )
62 sseq2 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  C )  =  0H  ->  (
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) 
C_  ( A  i^i  C )  <->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  0H )
)
6361, 62mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  i^i  C )  =  0H  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  0H )
64 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
65 chjcl 26392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
66 chincl 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
671, 65, 66sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
68 chincl 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  CH  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )  -> 
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH )
6964, 67, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH )
7020, 3, 69syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH )
71 chle0 26478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  e.  CH  ->  (
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) 
C_  0H  <->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  C_  0H  <->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7363, 72syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  0H  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7456, 73sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  C  C_  A  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
7574imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  C  C_  A )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )
7675adantrl 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A ) )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )
7776adantrr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )
7853, 77jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  ( C  vH  B )  /\  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H ) )
79 atexch 27416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CH  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  ( C  vH  B )  /\  ( C  i^i  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) )  =  0H )  ->  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )
8048, 78, 79sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  ->  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) )
8180, 57jctil 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )
8281ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) ) )
8344, 82jcad 531 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) ) ) )
84 sseq1 3438 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( x  C_  A  <->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A )
)
85 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( C  vH  x )  =  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) )
8685sseq2d 3445 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( B  C_  ( C  vH  x
)  <->  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )
8784, 86anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  ->  ( (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) )  <->  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) ) )
8887rspcev 3135 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms  /\  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) )
8983, 88syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
9089expd 434 . . . 4  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A
)  ->  ( B  C_  ( A  vH  C
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
9143, 90syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  ( B  =  C  \/  C  C_  A )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
9242, 91syl7 68 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  ( B  =  C  \/  C  C_  A )  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) ) )
9319, 41, 92ecase3d 941 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  B  C_  ( C  vH  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733    i^i cin 3388    C_ wss 3389  (class class class)co 6196   CHcch 25963    vH chj 25967   0Hc0h 25969  HAtomscat 25999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvdistr1 26042  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119  ax-hcompl 26236
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cfil 21779  df-cau 21780  df-cmet 21781  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-subgo 25421  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611  df-dip 25728  df-ssp 25752  df-ph 25845  df-cbn 25896  df-hnorm 26002  df-hba 26003  df-hvsub 26005  df-hlim 26006  df-hcau 26007  df-sh 26241  df-ch 26256  df-oc 26287  df-ch0 26288  df-shs 26343  df-span 26344  df-chj 26345  df-chsup 26346  df-pjh 26430  df-cv 27314  df-at 27373
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