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Theorem atcvat3i 27884
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvat3i  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )

Proof of Theorem atcvat3i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
CH
2 chcv1 27843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( -.  C  C_  A  <->  A 
<oH  ( A  vH  C
) ) )
31, 2mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  A  <->  A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
43biimpa 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  A )  ->  A  <oH  ( A  vH  C
) )
54ad2ant2lr 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  C ) )
6 atelch 27832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
7 atelch 27832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
86, 7anim12i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e. 
CH ) )
9 chjcom 26994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  =  ( C  vH  B ) )
109oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
11 chjass 27021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  (
( A  vH  C
)  vH  B )  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
121, 11mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B
)  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
1312ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B
)  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
1410, 13eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( ( A  vH  C )  vH  B ) )
1514adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( ( A  vH  C )  vH  B ) )
16 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  e.  CH )
17 chjcl 26845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
181, 17mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  CH  ->  ( A  vH  C )  e. 
CH )
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
20 chlej2 26999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  C
)  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( ( A  vH  C )  vH  B
)  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) )
2120ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e. 
CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  (
( A  vH  C
)  vH  B )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) ) )
2216, 19, 19, 21syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  -> 
( ( A  vH  C )  vH  B
)  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) ) )
2322imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B )  C_  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) ) )
2415, 23eqsstrd 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) )
25 chjidm 27008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  vH  C )  e.  CH  ->  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C
) )
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CH  ->  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C
) )
2726ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C ) )
2824, 27sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  C_  ( A  vH  C ) )
29 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
30 chjcl 26845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
31 chub2 26996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  C  C_  ( B  vH  C ) )
3231ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  C_  ( B  vH  C ) )
33 chlej2 26999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  C  C_  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
341, 33mp3anl3 1356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH )  /\  C  C_  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
3529, 30, 32, 34syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  C_  ( A  vH  ( B  vH  C
) ) )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
3728, 36eqssd 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( A  vH  C ) )
388, 37sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C
) )  =  ( A  vH  C ) )
3938breq2d 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
4039adantrl 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
415, 40mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
4241ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4330, 1jctil 539 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH )
)
446, 7, 43syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e. 
CH ) )
45 cvexch 27862 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C )  <->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4742, 46sylibrd 237 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
) ) )
4847adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C ) ) )
49 chincl 26987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
501, 30, 49sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
516, 7, 50syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e.  CH )
52 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  B  e. HAtoms )
53 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  C  e. HAtoms )
54 atcvat2 27877 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e. HAtoms )
)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
5655expdimp 438 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e. HAtoms )
)
5748, 56syld 45 . . 3  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms ) )
5857exp4b 610 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  B  =  C  ->  ( -.  C  C_  A  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms ) ) ) )
5958imp4c 594 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   CHcch 26417    vH chj 26421    <oH ccv 26452  HAtomscat 26453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573  ax-hcompl 26690
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-hcau 26461  df-sh 26695  df-ch 26709  df-oc 26740  df-ch0 26741  df-shs 26796  df-span 26797  df-chj 26798  df-chsup 26799  df-pjh 26883  df-cv 27767  df-at 27826
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