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Theorem atcvat3i 25972
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvat3i  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )

Proof of Theorem atcvat3i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
CH
2 chcv1 25931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( -.  C  C_  A  <->  A 
<oH  ( A  vH  C
) ) )
31, 2mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  A  <->  A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
43biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  A )  ->  A  <oH  ( A  vH  C
) )
54ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  C ) )
6 atelch 25920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
7 atelch 25920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
86, 7anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e. 
CH ) )
9 chjcom 25081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  =  ( C  vH  B ) )
109oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
11 chjass 25108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  (
( A  vH  C
)  vH  B )  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
121, 11mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B
)  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
1312ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B
)  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
1410, 13eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( ( A  vH  C )  vH  B ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( ( A  vH  C )  vH  B ) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  e.  CH )
17 chjcl 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
181, 17mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  CH  ->  ( A  vH  C )  e. 
CH )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
20 chlej2 25086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  C
)  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( ( A  vH  C )  vH  B
)  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) )
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e. 
CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  (
( A  vH  C
)  vH  B )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) ) )
2216, 19, 19, 21syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  -> 
( ( A  vH  C )  vH  B
)  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B )  C_  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) ) )
2415, 23eqsstrd 3501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) )
25 chjidm 25095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  vH  C )  e.  CH  ->  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C
) )
2618, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CH  ->  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C
) )
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C ) )
2824, 27sseqtrd 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  C_  ( A  vH  C ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
30 chjcl 24932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
31 chub2 25083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  C  C_  ( B  vH  C ) )
3231ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  C_  ( B  vH  C ) )
33 chlej2 25086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  C  C_  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
341, 33mp3anl3 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH )  /\  C  C_  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
3529, 30, 32, 34syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  C_  ( A  vH  ( B  vH  C
) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
3728, 36eqssd 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( A  vH  C ) )
388, 37sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C
) )  =  ( A  vH  C ) )
3938breq2d 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
4039adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
415, 40mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
4241ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4330, 1jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH )
)
446, 7, 43syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e. 
CH ) )
45 cvexch 25950 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C )  <->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4742, 46sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
) ) )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C ) ) )
49 chincl 25074 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
501, 30, 49sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
516, 7, 50syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e.  CH )
52 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  B  e. HAtoms )
53 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  C  e. HAtoms )
54 atcvat2 25965 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e. HAtoms )
)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
5655expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e. HAtoms )
)
5748, 56syld 44 . . 3  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms ) )
5857exp4b 607 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  B  =  C  ->  ( -.  C  C_  A  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms ) ) ) )
5958imp4c 591 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3438    C_ wss 3439   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   CHcch 24503    vH chj 24507    <oH ccv 24538  HAtomscat 24539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-shs 24883  df-span 24884  df-chj 24885  df-chsup 24886  df-pjh 24970  df-cv 25855  df-at 25914
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