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Theorem atantayl2 20731
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl2
StepHypRef Expression
1 atantayl2.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )
2 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( 2 
||  n ,  0 ,  ( ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  ->  ( 0  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  <-> 
if ( 2  ||  n ,  0 , 
( ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A ^
n )  /  n
) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
3 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) )  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  <->  if (
2  ||  n , 
0 ,  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
4 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  e.  CC
54negcli 9324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u _i  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  -u _i  e.  CC )
7 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
87ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  e.  NN0 )
96, 8expcld 11478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  e.  CC )
10 sqneg 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  e.  CC  ->  ( -u _i ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
114, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i ^ 2 )  =  ( _i ^ 2 )
1211oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i ^ 2 ) ^ ( n  /  2 ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( n  /  2
) )
13 ine0 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
144, 13negne0i 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  =/=  0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  -u _i  =/=  0 )
16 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  e.  ZZ )
1816a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
19 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
21 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
23 dvdsval2 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  n  <->  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  ||  n 
<->  ( n  /  2
)  e.  ZZ ) )
2524biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
n  /  2 )  e.  ZZ )
26 expmulz 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0
)  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
276, 15, 17, 25, 26syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  _i  e.  CC )
2913a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  _i  =/=  0 )
30 expmulz 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
2  x.  ( n  /  2 ) ) )  =  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( n  / 
2 ) ) )
3128, 29, 17, 25, 30syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
3212, 27, 313eqtr4a 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
33 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3433ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  e.  CC )
35 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  e.  CC )
3719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  =/=  0 )
3834, 36, 37divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
3938oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( -u _i ^ n ) )
4038oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
n ) )
4132, 39, 403eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( _i ^
n ) )
429, 41subeq0bd 9419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  0 )
4342oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
444mul01i 9212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
4543, 44syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  0 )
4645oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 ) )
4735, 19div0i 9704 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  /  2 )  =  0
4846, 47syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  0 )
4948oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^
n )  /  n
) ) )
50 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  A  e.  CC )
5150, 8expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( A ^ n )  e.  CC )
52 nnne0 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
5352ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  =/=  0 )
5451, 34, 53divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  e.  CC )
5554mul02d 9220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  0 )
5649, 55eqtr2d 2437 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  0  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
57 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5857negcli 9324 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u 1  e.  CC )
60 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
6157, 60negne0i 9331 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =/=  0
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u 1  =/=  0 )
6333ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  CC )
64 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
6635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  e.  CC )
6719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  =/=  0 )
6865, 66, 66, 67divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
6935, 19dividi 9703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7069oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  / 
2 )  -  1 )
7168, 70syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) )
72 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7372oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  -  2 )  =  ( ( n  + 
1 )  -  (
1  +  1 ) )
7457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  1  e.  CC )
7563, 74, 74pnpcan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( n  - 
1 ) )
7673, 75syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  -  2 )  =  ( n  - 
1 ) )
7776oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
7871, 77eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
7924notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  -.  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )
80 zeo 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8122, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8281ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  (
n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8379, 82sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8483imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
85 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
8778, 86eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
8859, 62, 87expclzd 11483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8988, 66, 67divcan3d 9751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( 2  x.  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  /  2 )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
90882timesd 10166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) ) )
91 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9263, 57, 91sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
9392, 66, 67divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9493oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u _i ^ ( n  - 
1 ) ) )
955a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u _i  e.  CC )
9614a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u _i  =/=  0 )
9721ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  ZZ )
9895, 96, 97expm1d 11488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u _i ^ n )  /  -u _i ) )
9994, 98eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ n )  /  -u _i ) )
10016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  e.  ZZ )
101 expmulz 11381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0
)  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
10295, 96, 100, 87, 101syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
1037ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  NN0 )
104 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
n )  e.  CC )
1055, 103, 104sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  e.  CC )
106105, 95, 96divrec2d 9750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ n
)  /  -u _i )  =  ( (
1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^ n ) ) )
10799, 102, 1063eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^
n ) ) )
108 i2 11436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
10911, 108eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i ^ 2 )  = 
-u 1
110109oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
111 irec 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
112111negeqi 9255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  /  _i )  =  -u -u _i
113 divneg2 9694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  _i )  =  ( 1  /  -u _i ) )
11457, 4, 13, 113mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  /  _i )  =  ( 1  /  -u _i )
1154negnegi 9326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u -u _i  =  _i
116112, 114, 1153eqtr3i 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  -u _i )  =  _i
117116oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^ n ) )  =  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) )
118107, 110, 1173eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) ) )
11993oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
( n  -  1 ) ) )
1204a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  _i  e.  CC )
12113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  _i  =/=  0 )
122120, 121, 97expm1d 11488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( _i
^ n )  /  _i ) )
123119, 122eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ n )  /  _i ) )
124 expmulz 11381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
2  x.  ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
125120, 121, 100, 87, 124syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
126 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ n
)  e.  CC )
1274, 103, 126sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ n )  e.  CC )
128127, 120, 121divrec2d 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i ^ n
)  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^ n
) ) )
129123, 125, 1283eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^ n
) ) )
130108oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )
131111oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^
n ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i ^ n ) )
132129, 130, 1313eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i ^ n
) ) )
133 mulneg1 9426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i ^ n )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
_i ^ n ) )  =  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )
1344, 127, 133sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i  x.  ( _i
^ n ) )  =  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) )
135132, 134eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) )
136118, 135oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
137 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( -u _i ^ n
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) )  e.  CC )
1384, 105, 137sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( -u _i ^ n ) )  e.  CC )
139 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i ^ n )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
_i ^ n ) )  e.  CC )
1404, 127, 139sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( _i ^ n ) )  e.  CC )
141138, 140negsubd 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  -  ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
142120, 105, 127subdid 9445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  -  ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
143141, 142eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) ) )
14490, 136, 1433eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) ) )
145144oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( 2  x.  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
) )
14689, 145eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
) )
147146oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
1482, 3, 56, 147ifbothda 3729 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  ( ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
149148mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
1501, 149syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
151150seqeq3d 11286 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) ) )
152 eqid 2404 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
153152atantayl 20730 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )  ~~>  (arctan `  A ) )
154151, 153eqbrtrd 4192 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233    || cdivides 12807  arctancatan 20657
This theorem is referenced by:  atantayl3  20732  leibpi  20735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-atan 20660
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