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Theorem atantan 23835
Description: The arctangent function is an inverse to  tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atantan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem atantan
StepHypRef Expression
1 cosne0 23465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
2 atandmtan 23832 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  dom arctan )
31, 2syldan 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  dom arctan )
4 atanval 23796 . . 3  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9597 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 ax-icn 9598 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 tancl 14170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  CC )
91, 8syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  CC )
10 mulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( tan `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
12 addcl 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
136, 11, 12sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
14 atandm2 23789 . . . . . . . 8  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
153, 14sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
1615simp3d 1019 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
1713, 16logcld 23506 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
18 subcl 9874 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
196, 11, 18sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
2015simp2d 1018 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
2119, 20logcld 23506 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
2217, 21negsubdi2d 10002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )
23 efsub 14141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
2417, 21, 23syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
25 coscl 14168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2625adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
27 sincl 14167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
29 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
307, 28, 29sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3126, 30, 26, 1divdird 10421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
3226, 1dividd 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A ) )  =  1 )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
3433, 28, 26, 1divassd 10418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
35 tanval 14169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
361, 35syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
3736oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A ) ) ) )
3834, 37eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
3932, 38oveq12d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
41 efival 14193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4342oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) ) )
44 eflog 23512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4513, 16, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
4726, 30, 26, 1divsubdird 10422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
4832, 38oveq12d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4947, 48eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
50 negcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
52 efival 14193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) ) )
54 cosneg 14188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
5554adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  -u A
)  =  ( cos `  A ) )
56 sinneg 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  -u A
)  =  -u ( sin `  A ) )
5857oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
59 mulneg2 10056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
607, 28, 59sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( sin `  A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6158, 60eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6255, 61oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6353, 62eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
64 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
65 mulneg2 10056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
667, 64, 65sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
6766fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) )
6826, 30negsubd 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6963, 67, 683eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
7069oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  / 
( cos `  A
) ) )
71 eflog 23512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7219, 20, 71syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7349, 70, 723eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
7446, 73oveq12d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
75 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
767, 64, 75sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
77 efcl 14124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
7976negcld 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( _i  x.  A )  e.  CC )
80 efcl 14124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
82 efne0 14138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8379, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8478, 81, 26, 83, 1divcan7d 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
85 efsub 14141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8676, 79, 85syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8776, 76subnegd 9993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
88762timesd 10855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
8987, 88eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
9089fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9184, 86, 903eqtr2d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9224, 74, 913eqtr2d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9392fveq2d 5881 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
943adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
9551adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  CC )
9664adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
9796renegd 13260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
9896recld 13245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
9998renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
100 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  <  0 )
10198lt0neg1d 10183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
102100, 101mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
103 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
104103adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
105104simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
106105adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A ) )
107 halfpire 23405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
108 ltnegcon1 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  <->  -u ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
109107, 98, 108sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
110106, 109mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
111 0xr 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
112107rexri 9693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
113 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u ( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
114111, 112, 113mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
11599, 102, 110, 114syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
11697, 115eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )
117 tanregt0 23474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( tan `  -u A ) ) )
11895, 116, 117syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  -u A ) ) )
119 tanneg 14189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
1201, 119syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
121120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
122121fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  =  ( Re `  -u ( tan `  A ) ) )
1239adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
124123renegd 13260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u ( tan `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
125122, 124eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
126118, 125breqtrd 4445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
1279recld 13245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
128127adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
129128lt0neg1d 10183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  ( tan `  A ) )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) ) )
130126, 129mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  <  0 )
131130lt0ne0d 10179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
132 atanlogsub 23828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( tan `  A
)  e.  dom arctan  /\  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
13394, 131, 132syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
134 1re 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
135 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
1367a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  e.  CC )
13711adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
138 ine0 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =/=  0
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  =/=  0 )
140 ixi 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
141140oveq1i 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A
) )  =  (
-u 1  x.  ( tan `  A ) )
1429adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
143142mulm1d 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  = 
-u ( tan `  A
) )
144120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
145143, 144eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
146141, 145syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
147136, 136, 142mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
148140oveq1i 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( -u 1  x.  A )
14964adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
150149mulm1d 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
151148, 150syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  -u A )
152136, 136, 149mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
153151, 152eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u A  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
154153fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
155146, 147, 1543eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
156136, 137, 139, 155mvllmuld 10439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
15776adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
158 reim 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
159158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) )
160159eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  =  0  <->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  0 ) )
161160biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  0 )
162157, 161reim0bd 13251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  RR )
163 tanhbnd 14202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
165156, 164eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
166135, 165sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )
167 readdcl 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR )
168134, 166, 167sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR )
169 df-neg 9863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
170 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
171165, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
172171simpld 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
173169, 172syl5eqbrr 4455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
174 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  e.  RR )
175134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  1  e.  RR )
176174, 175, 166ltsubadd2d 10211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( 0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  <->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )
177173, 176mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
178168, 177elrpd 11338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
179178relogcld 23558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
180171simprd 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 )
181 difrp 11337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
182166, 134, 181sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
183180, 182mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
184183relogcld 23558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
185179, 184resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
186 relogrn 23497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR  ->  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
187185, 186syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
1883adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
18964adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
190189recld 13245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
191 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
192104simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
193192adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
194 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
195111, 112, 194mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) )
196190, 191, 193, 195syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
197 tanregt0 23474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
198189, 196, 197syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  A ) ) )
199198gt0ne0d 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
200188, 199, 132syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
201 recl 13161 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
202201adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
203 0re 9643 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
204 lttri4 9718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  <  0  \/  ( Re `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Re
`  A ) ) )
205202, 203, 204sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  <  0  \/  ( Re
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) )
206133, 187, 200, 205mpjao3dan 1331 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
207 logef 23517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
208206, 207syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
209 2cn 10680 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
210 mulcl 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
211209, 76, 210sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
212 picn 23400 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
213 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
214 divneg 10302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
215212, 209, 213, 214mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
216215, 105syl5eqbrr 4455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u pi  /  2 )  <  (
Re `  A )
)
217 pire 23399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
218217renegcli 9935 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
219218a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
220 2re 10679 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
221220a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
222 2pos 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
223222a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  2
)
224 ltdivmul 10480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  <->  -u pi  <  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
225219, 202, 221, 223, 224syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  < 
( Re `  A
)  <->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
226216, 225mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) )
227 immul2 13188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
228220, 76, 227sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
229159oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
230228, 229eqtr4d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) )
231226, 230breqtrrd 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )
232 remulcl 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
233220, 202, 232sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  e.  RR )
234217a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
235 ltmuldiv2 10479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
236202, 234, 221, 223, 235syl112anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
237192, 236mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <  pi )
238233, 234, 237ltled 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <_  pi )
239230, 238eqbrtrd 4441 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  <_  pi )
240 ellogrn 23495 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  <->  ( (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )  <_  pi ) )
241211, 231, 239, 240syl3anbrc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  ran  log )
242 logef 23517 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
243241, 242syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
24493, 208, 2433eqtr3d 2471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
245244negeqd 9869 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
24622, 245eqtr3d 2465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
247246oveq2d 6317 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
248 halfcl 10838 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2497, 248mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
250209a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
251249, 250, 79mulassd 9666 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
2527, 209, 213divcan1i 10351 . . . . 5  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  =  _i
253252oveq1i 6311 . . . 4  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
)
25433, 33, 51mulassd 9666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A ) ) )
255140oveq1i 6311 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( -u 1  x.  -u A )
256 mul2neg 10058 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A ) )
2576, 64, 256sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A
) )
258 mulid2 9641 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
259258adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
260257, 259eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  A )
261255, 260syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  A )
26266oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
) )
263254, 261, 2623eqtr3rd 2472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
264253, 263syl5eq 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
265 mulneg2 10056 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
266209, 76, 265sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
267266oveq2d 6317 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( 2  x.  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
268251, 264, 2673eqtr3rd 2472 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  A )
2695, 247, 2683eqtrd 2467 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   dom cdm 4849   ran crn 4850   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   Recre 13148   Imcim 13149   expce 14101   sincsin 14103   cosccos 14104   tanctan 14105   picpi 14106   logclog 23490  arctancatan 23776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-tan 14112  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-log 23492  df-atan 23779
This theorem is referenced by:  atantanb  23836  atan1  23840
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