MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atantan Structured version   Unicode version

Theorem atantan 22318
Description: The arctangent function is an inverse to  tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atantan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem atantan
StepHypRef Expression
1 cosne0 21986 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
2 atandmtan 22315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  dom arctan )
31, 2syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  dom arctan )
4 atanval 22279 . . 3  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9340 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 ax-icn 9341 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 tancl 13413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  CC )
91, 8syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  CC )
10 mulcl 9366 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( tan `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
12 addcl 9364 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
136, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
14 atandm2 22272 . . . . . . . 8  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
153, 14sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
1615simp3d 1002 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
1713, 16logcld 22022 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
18 subcl 9609 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
196, 11, 18sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
2015simp2d 1001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
2119, 20logcld 22022 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
2217, 21negsubdi2d 9735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )
23 efsub 13384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
2417, 21, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
25 coscl 13411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
27 sincl 13410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
29 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
307, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3126, 30, 26, 1divdird 10145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
3226, 1dividd 10105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A ) )  =  1 )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
3433, 28, 26, 1divassd 10142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
35 tanval 13412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
361, 35syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
3736oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A ) ) ) )
3834, 37eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
3932, 38oveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
41 efival 13436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4342oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) ) )
44 eflog 22028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4513, 16, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
4726, 30, 26, 1divsubdird 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
4832, 38oveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4947, 48eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
50 negcl 9610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
52 efival 13436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) ) )
54 cosneg 13431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  -u A
)  =  ( cos `  A ) )
56 sinneg 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  -u A
)  =  -u ( sin `  A ) )
5857oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
59 mulneg2 9782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
607, 28, 59sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( sin `  A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6158, 60eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6255, 61oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6353, 62eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
65 mulneg2 9782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
667, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
6766fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) )
6826, 30negsubd 9725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6963, 67, 683eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
7069oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  / 
( cos `  A
) ) )
71 eflog 22028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7219, 20, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7349, 70, 723eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
7446, 73oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
75 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
767, 64, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
77 efcl 13368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
7976negcld 9706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( _i  x.  A )  e.  CC )
80 efcl 13368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
82 efne0 13381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8379, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8478, 81, 26, 83, 1divcan7d 10135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
85 efsub 13384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8676, 79, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8776, 76subnegd 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
88762timesd 10567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
8987, 88eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
9089fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9184, 86, 903eqtr2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9224, 74, 913eqtr2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9392fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
94 recl 12599 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
96 0re 9386 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
97 lttri4 9459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  <  0  \/  ( Re `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Re
`  A ) ) )
9895, 96, 97sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  <  0  \/  ( Re
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) )
993adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
10051adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  CC )
10164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
102101renegd 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
103101recld 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
104103renegcld 9775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
105 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  <  0 )
106103lt0neg1d 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
107105, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
108 eliooord 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
110109simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A ) )
112 halfpire 21926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
113 ltnegcon1 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  <->  -u ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
114112, 103, 113sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
115111, 114mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
116 0xr 9430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
117112rexri 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
118 elioo2 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u ( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
119116, 117, 118mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
120104, 107, 115, 119syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
121102, 120eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )
122 tanregt0 21995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( tan `  -u A ) ) )
123100, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  -u A ) ) )
124 tanneg 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
1251, 124syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
126125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
127126fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  =  ( Re `  -u ( tan `  A ) ) )
1289adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
129128renegd 12698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u ( tan `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
130127, 129eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
131123, 130breqtrd 4316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
1329recld 12683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
134133lt0neg1d 9909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  ( tan `  A ) )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) ) )
135131, 134mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  <  0 )
136135lt0ne0d 9905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
137 atanlogsub 22311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  A
)  e.  dom arctan  /\  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
13899, 136, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
139 1re 9385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
140 ioossre 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
14111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
1427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  e.  CC )
143 ine0 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  =/=  0 )
145141, 142, 144divcan3d 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  /  _i )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
146 ixi 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
147146oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A
) )  =  (
-u 1  x.  ( tan `  A ) )
1489adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
149148mulm1d 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  = 
-u ( tan `  A
) )
150125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
151149, 150eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
152147, 151syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
153142, 142, 148mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
154146oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( -u 1  x.  A )
15564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
156155mulm1d 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
157154, 156syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  -u A )
158142, 142, 155mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
159157, 158eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u A  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
160159fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
161152, 153, 1603eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
162161oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  /  _i )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
163145, 162eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
16476adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
165 reim 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) )
167166eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  =  0  <->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  0 ) )
168167biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  0 )
169164, 168reim0bd 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  RR )
170 tanhbnd 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
172163, 171eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
173140, 172sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )
174 readdcl 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR )
175139, 173, 174sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR )
176 df-neg 9598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
177 eliooord 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
178172, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
179178simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
180176, 179syl5eqbrr 4326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
181 0red 9387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  e.  RR )
182139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  1  e.  RR )
183181, 182, 173ltsubadd2d 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( 0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  <->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )
184180, 183mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
185175, 184elrpd 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
186185relogcld 22072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
187178simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 )
188 difrp 11024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
189173, 139, 188sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
190187, 189mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
191190relogcld 22072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
192186, 191resubcld 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
193 relogrn 22013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR  ->  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
1953adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
19664adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
197196recld 12683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
198 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
199109simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
200199adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
201 elioo2 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
202116, 117, 201mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) )
203197, 198, 200, 202syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
204 tanregt0 21995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
205196, 203, 204syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  A ) ) )
206205gt0ne0d 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
207195, 206, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
208138, 194, 2073jaodan 1284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( Re `  A )  <  0  \/  (
Re `  A )  =  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
20998, 208mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
210 logef 22030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
211209, 210syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
212 2cn 10392 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
213 mulcl 9366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
214212, 76, 213sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
215 picn 21922 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
216 2ne0 10414 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
217 divneg 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
218215, 212, 216, 217mp3an 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
219218, 110syl5eqbrr 4326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u pi  /  2 )  <  (
Re `  A )
)
220 pire 21921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
221220renegcli 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
222221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
223 2re 10391 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
224223a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
225 2pos 10413 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
226225a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  2
)
227 ltdivmul 10204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  <->  -u pi  <  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
228222, 95, 224, 226, 227syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  < 
( Re `  A
)  <->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
229219, 228mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) )
230 immul2 12626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
231223, 76, 230sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
232166oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
233231, 232eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) )
234229, 233breqtrrd 4318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )
235 remulcl 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
236223, 95, 235sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  e.  RR )
237220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
238 ltmuldiv2 10203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
23995, 237, 224, 226, 238syl112anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
240199, 239mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <  pi )
241236, 237, 240ltled 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <_  pi )
242233, 241eqbrtrd 4312 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  <_  pi )
243 ellogrn 22011 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  <->  ( (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )  <_  pi ) )
244214, 234, 242, 243syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  ran  log )
245 logef 22030 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
246244, 245syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
24793, 211, 2463eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
248247negeqd 9604 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
24922, 248eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
250249oveq2d 6107 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
251 halfcl 10550 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2527, 251mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
253212a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
254252, 253, 79mulassd 9409 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
2557, 212, 216divcan1i 10075 . . . . 5  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  =  _i
256255oveq1i 6101 . . . 4  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
)
25733, 33, 51mulassd 9409 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A ) ) )
258146oveq1i 6101 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( -u 1  x.  -u A )
259 mul2neg 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A ) )
2606, 64, 259sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A
) )
261 mulid2 9384 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
262261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
263260, 262eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  A )
264258, 263syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  A )
26566oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
) )
266257, 264, 2653eqtr3rd 2484 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
267256, 266syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
268 mulneg2 9782 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
269212, 76, 268sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
270269oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( 2  x.  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
271254, 267, 2703eqtr3rd 2484 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  A )
2725, 250, 2713eqtrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   _ici 9284    + caddc 9285    x. cmul 9287   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   2c2 10371   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   Recre 12586   Imcim 12587   expce 13347   sincsin 13349   cosccos 13350   tanctan 13351   picpi 13352   logclog 22006  arctancatan 22259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-tan 13357  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-atan 22262
This theorem is referenced by:  atantanb  22319  atan1  22323
  Copyright terms: Public domain W3C validator