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Theorem atantan 22998
Description: The arctangent function is an inverse to  tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atantan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem atantan
StepHypRef Expression
1 cosne0 22666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
2 atandmtan 22995 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  dom arctan )
31, 2syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  dom arctan )
4 atanval 22959 . . 3  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9549 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 ax-icn 9550 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 tancl 13724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  CC )
91, 8syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  CC )
10 mulcl 9575 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( tan `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
12 addcl 9573 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
136, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
14 atandm2 22952 . . . . . . . 8  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
153, 14sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
1615simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
1713, 16logcld 22702 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
18 subcl 9818 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
196, 11, 18sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
2015simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
2119, 20logcld 22702 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
2217, 21negsubdi2d 9945 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )
23 efsub 13695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
2417, 21, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
25 coscl 13722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
27 sincl 13721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
29 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
307, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3126, 30, 26, 1divdird 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
3226, 1dividd 10317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A ) )  =  1 )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
3433, 28, 26, 1divassd 10354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
35 tanval 13723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
361, 35syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
3736oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A ) ) ) )
3834, 37eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
3932, 38oveq12d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
41 efival 13747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4342oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) ) )
44 eflog 22708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4513, 16, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
4726, 30, 26, 1divsubdird 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
4832, 38oveq12d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4947, 48eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
50 negcl 9819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
52 efival 13747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) ) )
54 cosneg 13742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  -u A
)  =  ( cos `  A ) )
56 sinneg 13741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  -u A
)  =  -u ( sin `  A ) )
5857oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
59 mulneg2 9993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
607, 28, 59sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( sin `  A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6158, 60eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6255, 61oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6353, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
65 mulneg2 9993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
667, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
6766fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) )
6826, 30negsubd 9935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6963, 67, 683eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
7069oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  / 
( cos `  A
) ) )
71 eflog 22708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7219, 20, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7349, 70, 723eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
7446, 73oveq12d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
75 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
767, 64, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
77 efcl 13679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
7976negcld 9916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( _i  x.  A )  e.  CC )
80 efcl 13679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
82 efne0 13692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8379, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8478, 81, 26, 83, 1divcan7d 10347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
85 efsub 13695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8676, 79, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8776, 76subnegd 9936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
88762timesd 10780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
8987, 88eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
9089fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9184, 86, 903eqtr2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9224, 74, 913eqtr2d 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9392fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
94 recl 12905 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
96 0re 9595 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
97 lttri4 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  <  0  \/  ( Re `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Re
`  A ) ) )
9895, 96, 97sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  <  0  \/  ( Re
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) )
993adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
10051adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  CC )
10164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
102101renegd 13004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
103101recld 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
104103renegcld 9985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
105 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  <  0 )
106103lt0neg1d 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
107105, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
108 eliooord 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
110109simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A ) )
112 halfpire 22606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
113 ltnegcon1 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  <->  -u ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
114112, 103, 113sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
115111, 114mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
116 0xr 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
117112rexri 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
118 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u ( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
119116, 117, 118mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
120104, 107, 115, 119syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
121102, 120eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )
122 tanregt0 22675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( tan `  -u A ) ) )
123100, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  -u A ) ) )
124 tanneg 13743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
1251, 124syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
126125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
127126fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  =  ( Re `  -u ( tan `  A ) ) )
1289adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
129128renegd 13004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u ( tan `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
130127, 129eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
131123, 130breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
1329recld 12989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
134133lt0neg1d 10121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  ( tan `  A ) )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) ) )
135131, 134mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  <  0 )
136135lt0ne0d 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
137 atanlogsub 22991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  A
)  e.  dom arctan  /\  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
13899, 136, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
139 1re 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
140 ioossre 11585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
14111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
1427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  e.  CC )
143 ine0 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  =/=  0 )
145141, 142, 144divcan3d 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  /  _i )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
146 ixi 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
147146oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A
) )  =  (
-u 1  x.  ( tan `  A ) )
1489adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
149148mulm1d 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  = 
-u ( tan `  A
) )
150125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
151149, 150eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
152147, 151syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
153142, 142, 148mulassd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
154146oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( -u 1  x.  A )
15564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
156155mulm1d 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
157154, 156syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  -u A )
158142, 142, 155mulassd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
159157, 158eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u A  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
160159fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
161152, 153, 1603eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
162161oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  /  _i )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
163145, 162eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
16476adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
165 reim 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) )
167166eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  =  0  <->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  0 ) )
168167biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  0 )
169164, 168reim0bd 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  RR )
170 tanhbnd 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
172163, 171eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
173140, 172sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )
174 readdcl 9574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR )
175139, 173, 174sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR )
176 df-neg 9807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
177 eliooord 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
178172, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
179178simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
180176, 179syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
181 0red 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  e.  RR )
182139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  1  e.  RR )
183181, 182, 173ltsubadd2d 10149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( 0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  <->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )
184180, 183mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
185175, 184elrpd 11253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
186185relogcld 22752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
187178simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 )
188 difrp 11252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
189173, 139, 188sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
190187, 189mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
191190relogcld 22752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
192186, 191resubcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
193 relogrn 22693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR  ->  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
1953adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
19664adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
197196recld 12989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
198 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
199109simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
200199adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
201 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
202116, 117, 201mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) )
203197, 198, 200, 202syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
204 tanregt0 22675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
205196, 203, 204syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  A ) ) )
206205gt0ne0d 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
207195, 206, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
208138, 194, 2073jaodan 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( Re `  A )  <  0  \/  (
Re `  A )  =  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
20998, 208mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
210 logef 22710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
211209, 210syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
212 2cn 10605 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
213 mulcl 9575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
214212, 76, 213sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
215 picn 22602 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
216 2ne0 10627 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
217 divneg 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
218215, 212, 216, 217mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
219218, 110syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u pi  /  2 )  <  (
Re `  A )
)
220 pire 22601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
221220renegcli 9879 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
222221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
223 2re 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
224223a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
225 2pos 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
226225a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  2
)
227 ltdivmul 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  <->  -u pi  <  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
228222, 95, 224, 226, 227syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  < 
( Re `  A
)  <->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
229219, 228mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) )
230 immul2 12932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
231223, 76, 230sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
232166oveq2d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
233231, 232eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) )
234229, 233breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )
235 remulcl 9576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
236223, 95, 235sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  e.  RR )
237220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
238 ltmuldiv2 10415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
23995, 237, 224, 226, 238syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
240199, 239mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <  pi )
241236, 237, 240ltled 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <_  pi )
242233, 241eqbrtrd 4467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  <_  pi )
243 ellogrn 22691 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  <->  ( (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )  <_  pi ) )
244214, 234, 242, 243syl3anbrc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  ran  log )
245 logef 22710 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
246244, 245syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
24793, 211, 2463eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
248247negeqd 9813 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
24922, 248eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
250249oveq2d 6299 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
251 halfcl 10763 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2527, 251mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
253212a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
254252, 253, 79mulassd 9618 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
2557, 212, 216divcan1i 10287 . . . . 5  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  =  _i
256255oveq1i 6293 . . . 4  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
)
25733, 33, 51mulassd 9618 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A ) ) )
258146oveq1i 6293 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( -u 1  x.  -u A )
259 mul2neg 9995 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A ) )
2606, 64, 259sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A
) )
261 mulid2 9593 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
262261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
263260, 262eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  A )
264258, 263syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  A )
26566oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
) )
266257, 264, 2653eqtr3rd 2517 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
267256, 266syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
268 mulneg2 9993 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
269212, 76, 268sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
270269oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( 2  x.  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
271254, 267, 2703eqtr3rd 2517 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  A )
2725, 250, 2713eqtrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   _ici 9493    + caddc 9494    x. cmul 9496   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   2c2 10584   RR+crp 11219   (,)cioo 11528   Recre 12892   Imcim 12893   expce 13658   sincsin 13660   cosccos 13661   tanctan 13662   picpi 13663   logclog 22686  arctancatan 22939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-tan 13668  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-atan 22942
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