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Theorem atantan 23454
Description: The arctangent function is an inverse to  tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atantan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem atantan
StepHypRef Expression
1 cosne0 23086 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
2 atandmtan 23451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  dom arctan )
31, 2syldan 468 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  dom arctan )
4 atanval 23415 . . 3  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 ax-icn 9540 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 tancl 13949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  CC )
91, 8syldan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  CC )
10 mulcl 9565 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( tan `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
12 addcl 9563 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
136, 11, 12sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
14 atandm2 23408 . . . . . . . 8  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
153, 14sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
1615simp3d 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
1713, 16logcld 23127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
18 subcl 9810 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
196, 11, 18sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
2015simp2d 1007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
2119, 20logcld 23127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
2217, 21negsubdi2d 9938 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )
23 efsub 13920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
2417, 21, 23syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
25 coscl 13947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2625adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
27 sincl 13946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2827adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
29 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
307, 28, 29sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3126, 30, 26, 1divdird 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
3226, 1dividd 10314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A ) )  =  1 )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
3433, 28, 26, 1divassd 10351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
35 tanval 13948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
361, 35syldan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
3736oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A ) ) ) )
3834, 37eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
3932, 38oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
41 efival 13972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4241adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4342oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) ) )
44 eflog 23133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4513, 16, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
4726, 30, 26, 1divsubdird 10355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
4832, 38oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4947, 48eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
50 negcl 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5150adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
52 efival 13972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) ) )
54 cosneg 13967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
5554adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  -u A
)  =  ( cos `  A ) )
56 sinneg 13966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
5756adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  -u A
)  =  -u ( sin `  A ) )
5857oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
59 mulneg2 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
607, 28, 59sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( sin `  A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6158, 60eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6255, 61oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6353, 62eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
64 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
65 mulneg2 9990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
667, 64, 65sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
6766fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) )
6826, 30negsubd 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6963, 67, 683eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
7069oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  / 
( cos `  A
) ) )
71 eflog 23133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7219, 20, 71syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7349, 70, 723eqtr4d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
7446, 73oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
75 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
767, 64, 75sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
77 efcl 13903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
7976negcld 9909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( _i  x.  A )  e.  CC )
80 efcl 13903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
82 efne0 13917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8379, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8478, 81, 26, 83, 1divcan7d 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
85 efsub 13920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8676, 79, 85syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8776, 76subnegd 9929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
88762timesd 10777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
8987, 88eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
9089fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9184, 86, 903eqtr2d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9224, 74, 913eqtr2d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9392fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
943adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
9551adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  CC )
9664adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
9796renegd 13127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
9896recld 13112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
9998renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
100 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  <  0 )
10198lt0neg1d 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
102100, 101mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
103 eliooord 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
104103adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
105104simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
106105adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A ) )
107 halfpire 23026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
108 ltnegcon1 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  <->  -u ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
109107, 98, 108sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
110106, 109mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
111 0xr 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
112107rexri 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
113 elioo2 11573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u ( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
114111, 112, 113mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
11599, 102, 110, 114syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
11697, 115eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )
117 tanregt0 23095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( tan `  -u A ) ) )
11895, 116, 117syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  -u A ) ) )
119 tanneg 13968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
1201, 119syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
121120adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
122121fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  =  ( Re `  -u ( tan `  A ) ) )
1239adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
124123renegd 13127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u ( tan `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
125122, 124eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
126118, 125breqtrd 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
1279recld 13112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
128127adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
129128lt0neg1d 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  ( tan `  A ) )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) ) )
130126, 129mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  <  0 )
131130lt0ne0d 10114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
132 atanlogsub 23447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( tan `  A
)  e.  dom arctan  /\  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
13394, 131, 132syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
134 1re 9584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
135 ioossre 11589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
1367a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  e.  CC )
13711adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
138 ine0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =/=  0
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  =/=  0 )
140 ixi 10174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
141140oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A
) )  =  (
-u 1  x.  ( tan `  A ) )
1429adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
143142mulm1d 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  = 
-u ( tan `  A
) )
144120adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
145143, 144eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
146141, 145syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
147136, 136, 142mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
148140oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( -u 1  x.  A )
14964adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
150149mulm1d 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
151148, 150syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  -u A )
152136, 136, 149mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
153151, 152eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u A  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
154153fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
155146, 147, 1543eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
156136, 137, 139, 155mvllmuld 10372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
15776adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
158 reim 13027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
159158adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) )
160159eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  =  0  <->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  0 ) )
161160biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  0 )
162157, 161reim0bd 13118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  RR )
163 tanhbnd 13981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
164162, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
165156, 164eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
166135, 165sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )
167 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR )
168134, 166, 167sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR )
169 df-neg 9799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
170 eliooord 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
171165, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
172171simpld 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
173169, 172syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
174 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  e.  RR )
175134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  1  e.  RR )
176174, 175, 166ltsubadd2d 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( 0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  <->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )
177173, 176mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
178168, 177elrpd 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
179178relogcld 23179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
180171simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 )
181 difrp 11255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
182166, 134, 181sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
183180, 182mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
184183relogcld 23179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
185179, 184resubcld 9983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
186 relogrn 23118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR  ->  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
187185, 186syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
1883adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
18964adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
190189recld 13112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
191 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
192104simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
193192adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
194 elioo2 11573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
195111, 112, 194mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) )
196190, 191, 193, 195syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
197 tanregt0 23095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
198189, 196, 197syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  A ) ) )
199198gt0ne0d 10113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
200188, 199, 132syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
201 recl 13028 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
202201adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
203 0re 9585 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
204 lttri4 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  <  0  \/  ( Re `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Re
`  A ) ) )
205202, 203, 204sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  <  0  \/  ( Re
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) )
206133, 187, 200, 205mpjao3dan 1293 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
207 logef 23138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
208206, 207syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
209 2cn 10602 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
210 mulcl 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
211209, 76, 210sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
212 picn 23021 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
213 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
214 divneg 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
215212, 209, 213, 214mp3an 1322 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
216215, 105syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u pi  /  2 )  <  (
Re `  A )
)
217 pire 23020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
218217renegcli 9871 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
219218a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
220 2re 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
221220a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
222 2pos 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
223222a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  2
)
224 ltdivmul 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  <->  -u pi  <  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
225219, 202, 221, 223, 224syl112anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  < 
( Re `  A
)  <->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
226216, 225mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) )
227 immul2 13055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
228220, 76, 227sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
229159oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
230228, 229eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) )
231226, 230breqtrrd 4465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )
232 remulcl 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
233220, 202, 232sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  e.  RR )
234217a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
235 ltmuldiv2 10412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
236202, 234, 221, 223, 235syl112anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
237192, 236mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <  pi )
238233, 234, 237ltled 9722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <_  pi )
239230, 238eqbrtrd 4459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  <_  pi )
240 ellogrn 23116 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  <->  ( (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )  <_  pi ) )
241211, 231, 239, 240syl3anbrc 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  ran  log )
242 logef 23138 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
243241, 242syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
24493, 208, 2433eqtr3d 2503 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
245244negeqd 9805 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
24622, 245eqtr3d 2497 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
247246oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
248 halfcl 10760 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2497, 248mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
250209a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
251249, 250, 79mulassd 9608 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
2527, 209, 213divcan1i 10284 . . . . 5  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  =  _i
253252oveq1i 6280 . . . 4  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
)
25433, 33, 51mulassd 9608 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A ) ) )
255140oveq1i 6280 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( -u 1  x.  -u A )
256 mul2neg 9992 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A ) )
2576, 64, 256sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A
) )
258 mulid2 9583 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
259258adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
260257, 259eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  A )
261255, 260syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  A )
26266oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
) )
263254, 261, 2623eqtr3rd 2504 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
264253, 263syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
265 mulneg2 9990 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
266209, 76, 265sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
267266oveq2d 6286 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( 2  x.  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
268251, 264, 2673eqtr3rd 2504 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  A )
2695, 247, 2683eqtrd 2499 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   Recre 13015   Imcim 13016   expce 13882   sincsin 13884   cosccos 13885   tanctan 13886   picpi 13887   logclog 23111  arctancatan 23395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-tan 13892  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-atan 23398
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