MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atansopn Structured version   Unicode version

Theorem atansopn 23795
Description: The domain of continuity of the arctangent is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
atansopn  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem atansopn
StepHypRef Expression
1 atansopn.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
2 eqid 2423 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
32mptpreima 5285 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) " D
)  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
41, 3eqtr4i 2448 . 2  |-  S  =  ( `' ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^
2 ) ) )
" D )
5 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
65cnfldtopon 21740 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
8 1cnd 9605 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
97, 7, 8cnmptc 20614 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  1 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
10 2nn0 10832 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
115expcn 21841 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1210, 11mp1i 13 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
135addcn 21834 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
157, 9, 12, 14cnmpt12f 20618 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1615trud 1446 . . 3  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^
2 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
17 atansopn.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
1817logdmopn 23531 . . 3  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
19 cnima 20218 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  /\  D  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( `' ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) " D )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
2016, 18, 19mp2an 676 . 2  |-  ( `' ( y  e.  CC  |->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) " D
)  e.  ( TopOpen ` fld )
214, 20eqeltri 2497 1  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872   {crab 2713    \ cdif 3371    |-> cmpt 4420   `'ccnv 4790   "cima 4794   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483   0cc0 9485   1c1 9486    + caddc 9488   -oocmnf 9619   2c2 10605   NN0cn0 10815   (,]cioc 11582   ^cexp 12217   TopOpenctopn 15258  ℂfldccnfld 18908  TopOnctopon 19855    Cn ccn 20177    tX ctx 20512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563  ax-addf 9564  ax-mulf 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7473  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xneg 11355  df-xadd 11356  df-xmul 11357  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-icc 11588  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-seq 12159  df-exp 12218  df-hash 12461  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-starv 15143  df-sca 15144  df-vsca 15145  df-ip 15146  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-unif 15151  df-hom 15152  df-cco 15153  df-rest 15259  df-topn 15260  df-0g 15278  df-gsum 15279  df-topgen 15280  df-pt 15281  df-prds 15284  df-xrs 15338  df-qtop 15344  df-imas 15345  df-xps 15348  df-mre 15430  df-mrc 15431  df-acs 15433  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-submnd 16521  df-mulg 16614  df-cntz 16909  df-cmn 17370  df-psmet 18900  df-xmet 18901  df-met 18902  df-bl 18903  df-mopn 18904  df-cnfld 18909  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274
This theorem is referenced by:  dvatan  23798
  Copyright terms: Public domain W3C validator