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Theorem atans2 20724
Description: It suffices to show that  1  -  _i A and  1  +  _i A are in the continuity domain of  log to show that  A is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
atans2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 11399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
21adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
32sqsqrd 12196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
43eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
52sqrcld 12194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
6 sqeqor 11450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
75, 6syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
84, 7mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
9 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  e.  RR )
112negnegd 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u -u ( A ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
1211fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
13 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
14 pncan2 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
1513, 2, 14sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
17 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -oo  e.  RR*
18 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
19 elioc2 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2017, 18, 19mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2116, 20sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 ) )
2221simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
23 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2422, 9, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2515, 24eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  RR )
2625renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
28 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  1 )
30 subneg 9306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3113, 2, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3221simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
3331, 32eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
34 suble0 9498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  -u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
359, 26, 34sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
3633, 35mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3727, 10, 26, 29, 36letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3826, 37sqrnegd 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
3912, 38eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
4039oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
41 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  _i  e.  CC )
4326, 37resqrcld 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
4443recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4542, 42, 44mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
46 ixi 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
4746oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )
4844mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u 1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
4947, 48syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5040, 45, 493eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5143renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
5250, 51eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  RR )
5310, 52readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
54 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
5650oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  + 
-u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
57 negsub 9305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5813, 44, 57sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
60 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  =  1 )
6226recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  CC )
6362sqsqrd 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
-u ( A ^
2 ) )
6436, 61, 633brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ^
2 ) )
6526, 37sqrge0d 12178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6610, 43, 29, 65le2sqd 11513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  <_  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
6764, 66mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6810, 43suble0d 9573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  <_  0  <->  1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
6967, 68mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  <_  0 )
7059, 69eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0 )
71 elioc2 10929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) ) )
7217, 18, 71mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
74 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7574oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
7675eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7773, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
78 mulneg2 9427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7941, 5, 78sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  - 
-u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
81 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
8241, 5, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
83 subneg 9306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8413, 82, 83sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8580, 84eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8685, 73eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
87 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
8988eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9086, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
9177, 90orim12d 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )  ->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
928, 91mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9392orcomd 378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9460a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
95 sqmul 11400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
9641, 95mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )
97 i2 11436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
9897oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )
991mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10098, 99syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10196, 100eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  -u ( A ^
2 ) )
10294, 101oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) ) )
103 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
10441, 103mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
105 subsq 11443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
10613, 104, 105sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
10713, 1, 30sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
108102, 106, 1073eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
109108adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
110 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  2  e.  CC )
11213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
113111, 112, 104subsubd 9395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A
) ) )
114 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
115114oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )
116113, 115syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
117116adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
118 2re 10025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
119 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
120 elioc2 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
12117, 18, 120mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
122119, 121sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
123122simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
124 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
125118, 123, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
126117, 125eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
127126, 123remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
128 mnflt 10678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
130122simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  <_  0 )
13118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
132118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
133 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
135110subid1i 9328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  0 )  =  2
136123, 131, 132, 130lesub2dd 9599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
137135, 136syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
138137, 117breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
139131, 132, 126, 134, 138ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
140 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
141123, 131, 126, 139, 140syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
142130, 141mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) )
143 addcl 9028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
14413, 104, 143sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
146145mul01d 9221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  0 )  =  0 )
147142, 146breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
148 elioc2 10929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) ) )
14917, 18, 148mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) )
150127, 129, 147, 149syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
151 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
152 elioc2 10929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
15317, 18, 152mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
154151, 153sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
155154simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
156114oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)
157111, 112, 104subsub4d 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
158156, 157syl5reqr 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
160 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
161118, 155, 160sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
162159, 161eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
163155, 162remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
164163, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
165154simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 )
16618a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
167118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
168133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
169155, 166, 167, 165lesub2dd 9599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
170135, 169syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
171170, 159breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
172166, 167, 162, 168, 171ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
173 lemul1 9818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
174155, 166, 162, 172, 173syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )
175165, 174mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
176162recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
177176mul02d 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  0 )
178175, 177breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
179163, 164, 178, 149syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
180150, 179jaodan 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
181109, 180eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
18293, 181impbida 806 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
183182notbid 286 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  -.  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
184 ioran 477 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
185183, 184syl6bb 253 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
186 addcl 9028 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18713, 1, 186sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
188 atansopn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
189188eleq2i 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
190 eldif 3290 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
191189, 190bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
192191baib 872 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
193187, 192syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
194 subcl 9261 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
19513, 104, 194sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
196188eleq2i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
197 eldif 3290 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
198196, 197bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
199198baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
200195, 199syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
201188eleq2i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
202 eldif 3290 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
203201, 202bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
204203baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
205144, 204syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
206200, 205anbi12d 692 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( -.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
207185, 193, 2063bitr4d 277 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
208207pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
209 atansopn.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
210188, 209atans 20723 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  D ) )
211 3anass 940 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
212208, 210, 2113bitr4i 269 1  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    \ cdif 3277   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   2c2 10005   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993
This theorem is referenced by:  dvatan  20728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioc 10877  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
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