Theorem atanlogsub 22968

Description: A variation on atanlogadd 22966, to show that sqr ( 1 + _i z ) / sqr ( 1 - _i z ) = sqr ( ( 1 + _i z ) / ( 1 - _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsub	|- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Proof of Theorem atanlogsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9539	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ax-icn 9540	. . . . . . 7 |- _i e. CC
3		atandm2 22929	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom arctan <-> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
4	3	simp1bi 1006	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> A e. CC )
5		mulcl 9565	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
6	2, 4, 5	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. A ) e. CC )
7		addcl 9563	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
8	1, 6, 7	sylancr 663	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
9	3	simp3bi 1008	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 )
10	8, 9	logcld 22679	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
11		subcl 9808	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
12	1, 6, 11	sylancr 663	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
13	3	simp2bi 1007	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 )
14	12, 13	logcld 22679	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
15	10, 14	subcld 9919	. . 3 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
16	15	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
17	4	recld 12977	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( Re ` A ) e. RR )
18		0re 9585	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
19		lttri2 9656	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
21	20	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) )
22	15	imnegd 12993	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
23	10, 14	negsubdi2d 9935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
24		mulneg2 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
25	2, 4, 24	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
26	25	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + -u ( _i x. A ) ) )
27		negsub 9856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
28	1, 6, 27	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
29	26, 28	eqtrd 2501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
30	29	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
31	25	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - -u ( _i x. A ) ) )
32		subneg 9857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
33	1, 6, 32	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
34	31, 33	eqtrd 2501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
35	34	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
36	30, 35	oveq12d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
37	23, 36	eqtr4d 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) )
38	37	fveq2d 5861	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
39	22, 38	eqtr3d 2503	. . . . . . . . 9 |- ( A e. dom arctan -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
40	39	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
41		atandmneg 22958	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u A e. dom arctan )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u A e. dom arctan )
43	17	lt0neg1d 10111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) < 0 <-> 0 < -u ( Re ` A ) ) )
44	43	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < -u ( Re ` A ) )
45	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> A e. CC )
46	45	renegd 12992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
47	44, 46	breqtrrd 4466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < ( Re ` -u A ) )
48		atanlogsublem 22967	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` -u A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
49	42, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
50		picn 22579	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
51	50	negnegi 9878	. . . . . . . . . 10 |- -u -u pi = pi
52	51	oveq2i 6286	. . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) -u -u pi ) = ( -u pi (,) pi )
53	49, 52	syl6eleqr 2559	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
54	40, 53	eqeltrd 2548	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
55		pire 22578	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
56	55	renegcli 9869	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u pi e. RR )
58	55	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> pi e. RR )
59	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
60	59	imcld 12978	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
61		iooneg 11629	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
62	57, 58, 60, 61	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
63	54, 62	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
64		atanlogsublem 22967	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
65	63, 64	jaodan 783	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
66	21, 65	syldan 470	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
67		eliooord 11573	. . . 4 |- ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
68	66, 67	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
69	68	simpld 459	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
70	68	simprd 463	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi )
71	16	imcld 12978	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
72		ltle 9662	. . . 4 |- ( ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
73	71, 55, 72	sylancl 662	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
74	70, 73	mpd 15	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi )
75		ellogrn 22668	. 2 |- ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC /\ -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
76	16, 69, 74, 75	syl3anbrc 1175	1 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   -ucneg 9795   (,)cioo 11518   Recre 12880   Imcim 12881   picpi 13653   logclog 22663  arctancatan 22916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-tan 13658  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-atan 22919

This theorem is referenced by:  atantan  22975