Theorem atanlogsub 23835

Description: A variation on atanlogadd 23833, to show that sqr ( 1 + _i z ) / sqr ( 1 - _i z ) = sqr ( ( 1 + _i z ) / ( 1 - _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsub	|- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Proof of Theorem atanlogsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9594	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ax-icn 9595	. . . . . . 7 |- _i e. CC
3		atandm2 23796	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom arctan <-> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
4	3	simp1bi 1022	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> A e. CC )
5		mulcl 9620	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
6	2, 4, 5	sylancr 668	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. A ) e. CC )
7		addcl 9618	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
8	1, 6, 7	sylancr 668	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
9	3	simp3bi 1024	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 )
10	8, 9	logcld 23513	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
11		subcl 9871	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
12	1, 6, 11	sylancr 668	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
13	3	simp2bi 1023	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 )
14	12, 13	logcld 23513	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
15	10, 14	subcld 9983	. . 3 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
16	15	adantr 467	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
17	4	recld 13250	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( Re ` A ) e. RR )
18		0re 9640	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
19		lttri2 9713	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
21	20	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) )
22	15	imnegd 13266	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
23	10, 14	negsubdi2d 9999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
24		mulneg2 10053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
25	2, 4, 24	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
26	25	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + -u ( _i x. A ) ) )
27		negsub 9919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
28	1, 6, 27	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
29	26, 28	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
30	29	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
31	25	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - -u ( _i x. A ) ) )
32		subneg 9920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
33	1, 6, 32	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
34	31, 33	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
35	34	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
36	30, 35	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
37	23, 36	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) )
38	37	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
39	22, 38	eqtr3d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( A e. dom arctan -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
40	39	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
41		atandmneg 23825	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u A e. dom arctan )
42	41	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u A e. dom arctan )
43	17	lt0neg1d 10180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) < 0 <-> 0 < -u ( Re ` A ) ) )
44	43	biimpa 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < -u ( Re ` A ) )
45	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> A e. CC )
46	45	renegd 13265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
47	44, 46	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < ( Re ` -u A ) )
48		atanlogsublem 23834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` -u A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
49	42, 47, 48	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
50		picn 23407	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
51	50	negnegi 9941	. . . . . . . . . 10 |- -u -u pi = pi
52	51	oveq2i 6299	. . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) -u -u pi ) = ( -u pi (,) pi )
53	49, 52	syl6eleqr 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
54	40, 53	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
55		pire 23406	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
56	55	renegcli 9932	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u pi e. RR )
58	55	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> pi e. RR )
59	15	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
60	59	imcld 13251	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
61		iooneg 11749	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
62	57, 58, 60, 61	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
63	54, 62	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
64		atanlogsublem 23834	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
65	63, 64	jaodan 793	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
66	21, 65	syldan 473	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
67		eliooord 11691	. . . 4 |- ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
69	68	simpld 461	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
70	68	simprd 465	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi )
71	16	imcld 13251	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
72		ltle 9719	. . . 4 |- ( ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
73	71, 55, 72	sylancl 667	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
74	70, 73	mpd 15	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi )
75		ellogrn 23502	. 2 |- ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC /\ -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
76	16, 69, 74, 75	syl3anbrc 1191	1 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   _ici 9538   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   -ucneg 9858   (,)cioo 11632   Recre 13153   Imcim 13154   picpi 14112   logclog 23497  arctancatan 23783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-atan 23786

This theorem is referenced by:  atantan  23842