Theorem atanlogsub 22314

Description: A variation on atanlogadd 22312, to show that sqr ( 1 + _i z ) / sqr ( 1 - _i z ) = sqr ( ( 1 + _i z ) / ( 1 - _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsub	|- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Proof of Theorem atanlogsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9343	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ax-icn 9344	. . . . . . 7 |- _i e. CC
3		atandm2 22275	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom arctan <-> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
4	3	simp1bi 1003	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> A e. CC )
5		mulcl 9369	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
6	2, 4, 5	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. A ) e. CC )
7		addcl 9367	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
8	1, 6, 7	sylancr 663	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
9	3	simp3bi 1005	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 )
10	8, 9	logcld 22025	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
11		subcl 9612	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
12	1, 6, 11	sylancr 663	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
13	3	simp2bi 1004	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 )
14	12, 13	logcld 22025	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
15	10, 14	subcld 9722	. . 3 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
16	15	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
17	4	recld 12686	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( Re ` A ) e. RR )
18		0re 9389	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
19		lttri2 9460	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
21	20	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) )
22	15	imnegd 12702	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
23	10, 14	negsubdi2d 9738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
24		mulneg2 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
25	2, 4, 24	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
26	25	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + -u ( _i x. A ) ) )
27		negsub 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
28	1, 6, 27	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
29	26, 28	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
30	29	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
31	25	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - -u ( _i x. A ) ) )
32		subneg 9661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
33	1, 6, 32	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
34	31, 33	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
35	34	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
36	30, 35	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
37	23, 36	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) )
38	37	fveq2d 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
39	22, 38	eqtr3d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( A e. dom arctan -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
40	39	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
41		atandmneg 22304	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u A e. dom arctan )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u A e. dom arctan )
43	17	lt0neg1d 9912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) < 0 <-> 0 < -u ( Re ` A ) ) )
44	43	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < -u ( Re ` A ) )
45	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> A e. CC )
46	45	renegd 12701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
47	44, 46	breqtrrd 4321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < ( Re ` -u A ) )
48		atanlogsublem 22313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` -u A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
49	42, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
50		picn 21925	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
51	50	negnegi 9681	. . . . . . . . . 10 |- -u -u pi = pi
52	51	oveq2i 6105	. . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) -u -u pi ) = ( -u pi (,) pi )
53	49, 52	syl6eleqr 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
54	40, 53	eqeltrd 2517	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
55		pire 21924	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
56	55	renegcli 9673	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u pi e. RR )
58	55	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> pi e. RR )
59	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
60	59	imcld 12687	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
61		iooneg 11408	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
62	57, 58, 60, 61	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
63	54, 62	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
64		atanlogsublem 22313	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
65	63, 64	jaodan 783	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
66	21, 65	syldan 470	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
67		eliooord 11358	. . . 4 |- ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
68	66, 67	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
69	68	simpld 459	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
70	68	simprd 463	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi )
71	16	imcld 12687	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
72		ltle 9466	. . . 4 |- ( ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
73	71, 55, 72	sylancl 662	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
74	70, 73	mpd 15	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi )
75		ellogrn 22014	. 2 |- ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC /\ -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
76	16, 69, 74, 75	syl3anbrc 1172	1 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2609   class class class wbr 4295   dom cdm 4843   ran crn 4844   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   _ici 9287   + caddc 9288   x. cmul 9290   < clt 9421   <_ cle 9422   - cmin 9598   -ucneg 9599   (,)cioo 11303   Recre 12589   Imcim 12590   picpi 13355   logclog 22009  arctancatan 22262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-tan 13360  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-atan 22265

This theorem is referenced by:  atantan  22321