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Theorem atanlogsub 22314
Description: A variation on atanlogadd 22312, to show that  sqr ( 1  +  _i z )  /  sqr ( 1  -  _i z )  =  sqr ( ( 1  +  _i z )  /  ( 1  -  _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsub  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )

Proof of Theorem atanlogsub
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9343 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 ax-icn 9344 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3 atandm2 22275 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
43simp1bi 1003 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
5 mulcl 9369 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
62, 4, 5sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
7 addcl 9367 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
81, 6, 7sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
93simp3bi 1005 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
108, 9logcld 22025 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
11 subcl 9612 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
121, 6, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
133simp2bi 1004 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1412, 13logcld 22025 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
1510, 14subcld 9722 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
1615adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
174recld 12686 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
18 0re 9389 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
19 lttri2 9460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) ) )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  =/=  0  <->  ( (
Re `  A )  <  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) ) )
2120biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )
2215imnegd 12702 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Im
`  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
2310, 14negsubdi2d 9738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
24 mulneg2 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
252, 4, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  -u A )  = 
-u ( _i  x.  A ) )
2625oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  -u ( _i  x.  A
) ) )
27 negsub 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  + 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
281, 6, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
2926, 28eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
3029fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  -u (
_i  x.  A )
) )
32 subneg 9661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
331, 6, 32sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3431, 33eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3534fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3630, 35oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
3723, 36eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )
3837fveq2d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Im
`  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  =  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
3922, 38eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
41 atandmneg 22304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u A  e.  dom arctan )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  dom arctan )
4317lt0neg1d 9912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
4443biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
454adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
4645renegd 12701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
4744, 46breqtrrd 4321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  -u A
) )
48 atanlogsublem 22313 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re
`  -u A ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
4942, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
50 picn 21925 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
5150negnegi 9681 . . . . . . . . . 10  |-  -u -u pi  =  pi
5251oveq2i 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) -u -u pi )  =  ( -u pi (,) pi )
5349, 52syl6eleqr 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) -u -u pi ) )
5440, 53eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) -u -u pi ) )
55 pire 21924 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
5655renegcli 9673 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u pi  e.  RR )
5855a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  pi  e.  RR )
5915adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
6059imcld 12687 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
61 iooneg 11408 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  -u ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
6257, 58, 60, 61syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  -u ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
6354, 62mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
64 atanlogsublem 22313 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
6563, 64jaodan 783 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
6621, 65syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
67 eliooord 11358 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  /\  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi ) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  <  pi ) )
6968simpld 459 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) ) )
7068simprd 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  pi )
7116imcld 12687 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
72 ltle 9466 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7371, 55, 72sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7470, 73mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
75 ellogrn 22014 . 2  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  <_  pi )
)
7616, 69, 74, 75syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   class class class wbr 4295   dom cdm 4843   ran crn 4844   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   _ici 9287    + caddc 9288    x. cmul 9290    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598   -ucneg 9599   (,)cioo 11303   Recre 12589   Imcim 12590   picpi 13355   logclog 22009  arctancatan 22262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-tan 13360  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-atan 22265
This theorem is referenced by:  atantan  22321
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