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Theorem atanlogsub 23835
Description: A variation on atanlogadd 23833, to show that  sqr ( 1  +  _i z )  /  sqr ( 1  -  _i z )  =  sqr ( ( 1  +  _i z )  /  ( 1  -  _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsub  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )

Proof of Theorem atanlogsub
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9594 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 ax-icn 9595 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3 atandm2 23796 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
43simp1bi 1022 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
5 mulcl 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
62, 4, 5sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
7 addcl 9618 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
81, 6, 7sylancr 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
93simp3bi 1024 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
108, 9logcld 23513 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
11 subcl 9871 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
121, 6, 11sylancr 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
133simp2bi 1023 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1412, 13logcld 23513 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
1510, 14subcld 9983 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
1615adantr 467 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
174recld 13250 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
18 0re 9640 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
19 lttri2 9713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) ) )
2017, 18, 19sylancl 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  =/=  0  <->  ( (
Re `  A )  <  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) ) )
2120biimpa 487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )
2215imnegd 13266 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Im
`  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
2310, 14negsubdi2d 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
24 mulneg2 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
252, 4, 24sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  -u A )  = 
-u ( _i  x.  A ) )
2625oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  -u ( _i  x.  A
) ) )
27 negsub 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  + 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
281, 6, 27sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
2926, 28eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
3029fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  -u (
_i  x.  A )
) )
32 subneg 9920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
331, 6, 32sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3431, 33eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3534fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3630, 35oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
3723, 36eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )
3837fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Im
`  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  =  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
3922, 38eqtr3d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
4039adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
41 atandmneg 23825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u A  e.  dom arctan )
4241adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  dom arctan )
4317lt0neg1d 10180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
4443biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
454adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
4645renegd 13265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
4744, 46breqtrrd 4428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  -u A
) )
48 atanlogsublem 23834 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re
`  -u A ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
4942, 47, 48syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
50 picn 23407 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
5150negnegi 9941 . . . . . . . . . 10  |-  -u -u pi  =  pi
5251oveq2i 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) -u -u pi )  =  ( -u pi (,) pi )
5349, 52syl6eleqr 2539 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) -u -u pi ) )
5440, 53eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) -u -u pi ) )
55 pire 23406 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
5655renegcli 9932 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u pi  e.  RR )
5855a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  pi  e.  RR )
5915adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
6059imcld 13251 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
61 iooneg 11749 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  -u ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
6257, 58, 60, 61syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  -u ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
6354, 62mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
64 atanlogsublem 23834 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
6563, 64jaodan 793 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
6621, 65syldan 473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
67 eliooord 11691 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  /\  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi ) )
6866, 67syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  <  pi ) )
6968simpld 461 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) ) )
7068simprd 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  pi )
7116imcld 13251 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
72 ltle 9719 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7371, 55, 72sylancl 667 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7470, 73mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
75 ellogrn 23502 . 2  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  <_  pi )
)
7616, 69, 74, 75syl3anbrc 1191 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   _ici 9538    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   -ucneg 9858   (,)cioo 11632   Recre 13153   Imcim 13154   picpi 14112   logclog 23497  arctancatan 23783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-atan 23786
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