Theorem atanlogsub 23572

Description: A variation on atanlogadd 23570, to show that sqr ( 1 + _i z ) / sqr ( 1 - _i z ) = sqr ( ( 1 + _i z ) / ( 1 - _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsub	|- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Proof of Theorem atanlogsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9580	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ax-icn 9581	. . . . . . 7 |- _i e. CC
3		atandm2 23533	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom arctan <-> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
4	3	simp1bi 1012	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> A e. CC )
5		mulcl 9606	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
6	2, 4, 5	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. A ) e. CC )
7		addcl 9604	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
8	1, 6, 7	sylancr 661	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
9	3	simp3bi 1014	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 )
10	8, 9	logcld 23250	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
11		subcl 9855	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
12	1, 6, 11	sylancr 661	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
13	3	simp2bi 1013	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 )
14	12, 13	logcld 23250	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
15	10, 14	subcld 9967	. . 3 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
16	15	adantr 463	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
17	4	recld 13176	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( Re ` A ) e. RR )
18		0re 9626	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
19		lttri2 9698	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) =/= 0 <-> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) )
21	20	biimpa 482	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) )
22	15	imnegd 13192	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
23	10, 14	negsubdi2d 9983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
24		mulneg2 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
25	2, 4, 24	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
26	25	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + -u ( _i x. A ) ) )
27		negsub 9903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
28	1, 6, 27	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + -u ( _i x. A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
29	26, 28	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - ( _i x. A ) ) )
30	29	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
31	25	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 - -u ( _i x. A ) ) )
32		subneg 9904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
33	1, 6, 32	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
34	31, 33	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. -u A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
35	34	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
36	30, 35	oveq12d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
37	23, 36	eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) )
38	37	fveq2d 5853	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom arctan -> ( Im ` -u ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
39	22, 38	eqtr3d 2445	. . . . . . . . 9 |- ( A e. dom arctan -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
40	39	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) )
41		atandmneg 23562	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> -u A e. dom arctan )
42	41	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u A e. dom arctan )
43	17	lt0neg1d 10162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom arctan -> ( ( Re ` A ) < 0 <-> 0 < -u ( Re ` A ) ) )
44	43	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < -u ( Re ` A ) )
45	4	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> A e. CC )
46	45	renegd 13191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
47	44, 46	breqtrrd 4421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> 0 < ( Re ` -u A ) )
48		atanlogsublem 23571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` -u A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
49	42, 47, 48	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
50		picn 23144	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
51	50	negnegi 9925	. . . . . . . . . 10 |- -u -u pi = pi
52	51	oveq2i 6289	. . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) -u -u pi ) = ( -u pi (,) pi )
53	49, 52	syl6eleqr 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. -u A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. -u A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
54	40, 53	eqeltrd 2490	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) )
55		pire 23143	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
56	55	renegcli 9916	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> -u pi e. RR )
58	55	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> pi e. RR )
59	15	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
60	59	imcld 13177	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
61		iooneg 11694	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
62	57, 58, 60, 61	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> -u ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
63	54, 62	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
64		atanlogsublem 23571	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
65	63, 64	jaodan 786	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( ( Re ` A ) < 0 \/ 0 < ( Re ` A ) ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
66	21, 65	syldan 468	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
67		eliooord 11638	. . . 4 |- ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi ) )
69	68	simpld 457	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
70	68	simprd 461	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi )
71	16	imcld 13177	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
72		ltle 9704	. . . 4 |- ( ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
73	71, 55, 72	sylancl 660	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
74	70, 73	mpd 15	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi )
75		ellogrn 23239	. 2 |- ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC /\ -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
76	16, 69, 74, 75	syl3anbrc 1181	1 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( Re ` A ) =/= 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   _ici 9524   + caddc 9525   x. cmul 9527   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   -ucneg 9842   (,)cioo 11582   Recre 13079   Imcim 13080   picpi 14011   logclog 23234  arctancatan 23520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-tan 14016  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-atan 23523

This theorem is referenced by:  atantan  23579