MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogaddlem Structured version   Unicode version

Theorem atanlogaddlem 22192
Description: Lemma for atanlogadd 22193. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogaddlem  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )

Proof of Theorem atanlogaddlem
StepHypRef Expression
1 0re 9373 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 atandm2 22156 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
32simp1bi 996 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
43recld 12666 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
5 leloe 9448 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
Re `  A )  <->  ( 0  <  ( Re
`  A )  \/  0  =  ( Re
`  A ) ) ) )
61, 4, 5sylancr 656 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 0  <_  ( Re `  A )  <->  ( 0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) ) )
76biimpa 481 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) )
8 ax-1cn 9327 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
9 ax-icn 9328 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
10 mulcl 9353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119, 3, 10sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
12 addcl 9351 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
138, 11, 12sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
142simp3bi 998 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1513, 14logcld 21906 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
16 subcl 9596 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
178, 11, 16sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
182simp2bi 997 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1917, 18logcld 21906 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
2015, 19addcld 9392 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
2120adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
22 pire 21805 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2322renegcli 9657 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
2519adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
2625imcld 12667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  RR )
2715adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
2827imcld 12667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
2928, 26readdcld 9400 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
3017adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
31 im1 12627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Im
`  1 )  =  0
3231oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
33 df-neg 9585 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
3432, 33eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( _i  x.  A
) )
3511adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
36 imsub 12607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( Im `  1
)  -  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
378, 35, 36sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im
`  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) ) )
383adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
39 reim 12581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4140negeqd 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Re `  A )  =  -u ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4234, 37, 413eqtr4a 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  -u ( Re `  A ) )
434lt0neg2d 9897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 0  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  <  0 ) )
4443biimpa 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Re `  A )  <  0 )
4542, 44eqbrtrd 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <  0 )
46 argimlt0 21946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
4730, 45, 46syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
48 eliooord 11342 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 ) )
5049simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
5113adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
52 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
53 imadd 12606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im `  1
)  +  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
548, 35, 53sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im
`  1 )  +  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) )
5540oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  1
)  +  ( Re
`  A ) )  =  ( ( Im
`  1 )  +  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) )
5631oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  1 )  +  ( Re `  A ) )  =  ( 0  +  ( Re `  A ) )
5738recld 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
5857recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
5958addid2d 9557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  +  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  A ) )
6056, 59syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  1
)  +  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  A ) )
6154, 55, 603eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( Re `  A ) )
6252, 61breqtrrd 4306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
63 argimgt0 21945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
6451, 62, 63syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
65 eliooord 11342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  <  pi ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  < 
pi ) )
6766simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
6828, 26ltaddpos2d 9911 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) ) )
6967, 68mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  < 
( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7024, 26, 29, 50, 69lttrd 9519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7127, 25imaddd 12687 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7270, 71breqtrrd 4306 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) ) )
7322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
74 0red 9374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
7549simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 )
7626, 74, 28, 75ltadd2dd 9517 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  0 ) )
7728recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
7877addid1d 9556 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  0 )  =  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
7976, 78breqtrd 4304 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
8066simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  < 
pi )
8129, 28, 73, 79, 80lttrd 9519 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  pi )
8229, 73, 81ltled 9509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
8371, 82eqbrtrd 4300 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
84 ellogrn 21895 . . . 4  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
8521, 72, 83, 84syl3anbrc 1165 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
86 0red 9374 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
8711adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
88 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
0  =  ( Re
`  A ) )
893adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  ->  A  e.  CC )
9089, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) )
9188, 90eqtr2d 2466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  (
_i  x.  A )
)  =  0 )
9287, 91reim0bd 12672 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  RR )
9315, 19addcomd 9558 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
9493ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
95 logrncl 21903 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
9617, 18, 95syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ran  log )
9796ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ran  log )
98 1re 9372 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
9992adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
100 readdcl 9352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
10198, 99, 100sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
102 0red 9374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  e.  RR )
103 1red 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  1  e.  RR )
104 0lt1 9849 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
105104a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  <  1 )
106 addge01 9836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( _i  x.  A
)  <->  1  <_  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
10798, 92, 106sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( 0  <_  (
_i  x.  A )  <->  1  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
108107biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  1  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
109102, 103, 101, 105, 108ltletrd 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
110101, 109elrpd 11012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
111110relogcld 21956 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
112 logrnaddcl 21910 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log  /\  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
11397, 111, 112syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
11494, 113eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
115 logrncl 21903 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
11613, 14, 115syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
117116ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
11892adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
119 resubcl 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
12098, 118, 119sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
121 0red 9374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  e.  RR )
122 1red 9388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  1  e.  RR )
123104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  <  1 )
124 1m0e1 10419 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  0 )  =  1
125 1red 9388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
1  e.  RR )
12692, 86, 125lesub2d 9934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  <_  0  <->  ( 1  -  0 )  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
127126biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  0 )  <_ 
( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
128124, 127syl5eqbrr 4314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  1  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
129121, 122, 120, 123, 128ltletrd 9518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
130120, 129elrpd 11012 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
131130relogcld 21956 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
132 logrnaddcl 21910 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log  /\  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
133117, 131, 132syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
13486, 92, 114, 133lecasei 9467 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
13585, 134jaodan 776 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
1367, 135syldan 467 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280   dom cdm 4827   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   _ici 9271    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   -ucneg 9583   (,)cioo 11287   Recre 12569   Imcim 12570   picpi 13334   logclog 21890  arctancatan 22143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-atan 22146
This theorem is referenced by:  atanlogadd  22193
  Copyright terms: Public domain W3C validator