MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogadd Structured version   Unicode version

Theorem atanlogadd 23568
Description: The rule  sqr (
z w )  =  ( sqr z ) ( sqr w ) is not always true on the complex numbers, but it is true when the arguments of  z and  w sum to within the interval  ( -u pi ,  pi ], so there are some cases such as this one with  z  =  1  +  _i A and  w  =  1  -  _i A which are true unconditionally. This result can also be stated as " sqr ( 1  +  z )  +  sqr ( 1  -  z
) is analytic". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogadd  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )

Proof of Theorem atanlogadd
StepHypRef Expression
1 0red 9626 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  0  e.  RR )
2 atandm2 23531 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
32simp1bi 1012 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
43recld 13174 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
5 atanlogaddlem 23567 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
6 ax-1cn 9579 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
7 ax-icn 9580 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
8 mulcl 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
97, 3, 8sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
10 addcl 9603 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
116, 9, 10sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
122simp3bi 1014 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1311, 12logcld 23248 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
14 subcl 9854 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
156, 9, 14sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
162simp2bi 1013 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1715, 16logcld 23248 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
1813, 17addcomd 9815 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
19 mulneg2 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
207, 3, 19sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  -u A )  = 
-u ( _i  x.  A ) )
2120oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  -u ( _i  x.  A
) ) )
22 negsub 9902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  + 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
236, 9, 22sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
2421, 23eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
2524fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
2620oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  -u (
_i  x.  A )
) )
27 subneg 9903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
286, 9, 27sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2926, 28eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3029fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125, 30oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
3218, 31eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )
3332adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )
34 atandmneg 23560 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u A  e.  dom arctan )
3534adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  -u A  e.  dom arctan )
364le0neg1d 10163 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  <_  0  <->  0  <_  -u ( Re `  A ) ) )
3736biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u ( Re `  A ) )
383renegd 13189 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  -u A )  = 
-u ( Re `  A ) )
3938adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
4037, 39breqtrrd 4420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  0  <_  ( Re `  -u A
) )
41 atanlogaddlem 23567 . . . 4  |-  ( (
-u A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  -u A ) )  -> 
( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) )  e. 
ran  log )
4235, 40, 41syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) )  e. 
ran  log )
4333, 42eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <_  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
441, 4, 5, 43lecasei 9721 1  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   dom cdm 4822   ran crn 4823   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522   _ici 9523    + caddc 9524    x. cmul 9526    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841   Recre 13077   logclog 23232  arctancatan 23518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234  df-atan 23521
This theorem is referenced by:  efiatan2  23571
  Copyright terms: Public domain W3C validator