Theorem atanf 20673

Description: Domain and range of the arctan function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanf	|- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC

Proof of Theorem atanf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-atan 20660	. 2 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
2		ovex 6065	. . . . 5 |- ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. _V
3	2, 1	dmmpti 5533	. . . 4 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
4	3	eleq2i 2468	. . 3 |- ( x e. dom arctan <-> x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) )
5		ax-icn 9005	. . . . 5 |- _i e. CC
6		halfcl 10149	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
7	5, 6	ax-mp 8	. . . 4 |- ( _i / 2 ) e. CC
8		ax-1cn 9004	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		atandm2 20670	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
10	9	simp1bi 972	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom arctan -> x e. CC )
11		mulcl 9030	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
12	5, 10, 11	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( x e. dom arctan -> ( _i x. x ) e. CC )
13		subcl 9261	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
14	8, 12, 13	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
15	9	simp2bi 973	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
16	14, 15	logcld 20421	. . . . 5 |- ( x e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
17		addcl 9028	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
18	8, 12, 17	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
19	9	simp3bi 974	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
20	18, 19	logcld 20421	. . . . 5 |- ( x e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
21	16, 20	subcld 9367	. . . 4 |- ( x e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
22		mulcl 9030	. . . 4 |- ( ( ( _i / 2 ) e. CC /\ ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. CC )
23	7, 21, 22	sylancr 645	. . 3 |- ( x e. dom arctan -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. CC )
24	4, 23	sylbir 205	. 2 |- ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. CC )
25	1, 24	fmpti 5851	1 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC

Syntax hints:   e. wcel 1721   =/= wne 2567   \ cdif 3277   {cpr 3775   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948   + caddc 8949   x. cmul 8951   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   2c2 10005   logclog 20405  arctancatan 20657

This theorem is referenced by:  atancl  20674  atanval  20677  dvatan  20728  atancn  20729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-atan 20660