MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem atanf 23799
Description: Domain and range of the arctan function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanf  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC

Proof of Theorem atanf
StepHypRef Expression
1 df-atan 23786 . 2  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
2 ovex 6316 . . . . 5  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) )  e.  _V
32, 1dmmpti 5705 . . . 4  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
43eleq2i 2520 . . 3  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } ) )
5 ax-icn 9595 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
6 halfcl 10835 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( _i 
/  2 )  e.  CC
8 ax-1cn 9594 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 atandm2 23796 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
109simp1bi 1022 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  x  e.  CC )
11 mulcl 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
125, 10, 11sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  x )  e.  CC )
13 subcl 9871 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
148, 12, 13sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
159simp2bi 1023 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
1614, 15logcld 23513 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  e.  CC )
17 addcl 9618 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
188, 12, 17sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
199simp3bi 1024 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
2018, 19logcld 23513 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
2116, 20subcld 9983 . . . 4  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
22 mulcl 9620 . . . 4  |-  ( ( ( _i  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )  ->  (
( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  e.  CC )
237, 21, 22sylancr 668 . . 3  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) )  e.  CC )
244, 23sylbir 217 . 2  |-  ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  e.  CC )
251, 24fmpti 6043 1  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1886    =/= wne 2621    \ cdif 3400   {cpr 3969   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537   _ici 9538    + caddc 9539    x. cmul 9541    - cmin 9857   -ucneg 9858    / cdiv 10266   2c2 10656   logclog 23497  arctancatan 23783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-atan 23786
This theorem is referenced by:  atancl  23800  atanval  23803  dvatan  23854  atancn  23855
  Copyright terms: Public domain W3C validator