Theorem atanf 22407

Description: Domain and range of the arctan function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanf	|- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC

Proof of Theorem atanf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-atan 22394	. 2 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
2		ovex 6224	. . . . 5 |- ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. _V
3	2, 1	dmmpti 5647	. . . 4 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
4	3	eleq2i 2532	. . 3 |- ( x e. dom arctan <-> x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) )
5		ax-icn 9451	. . . . 5 |- _i e. CC
6		halfcl 10660	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _i / 2 ) e. CC
8		ax-1cn 9450	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		atandm2 22404	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
10	9	simp1bi 1003	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom arctan -> x e. CC )
11		mulcl 9476	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
12	5, 10, 11	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( x e. dom arctan -> ( _i x. x ) e. CC )
13		subcl 9719	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
14	8, 12, 13	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
15	9	simp2bi 1004	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
16	14, 15	logcld 22154	. . . . 5 |- ( x e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
17		addcl 9474	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
18	8, 12, 17	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
19	9	simp3bi 1005	. . . . . 6 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
20	18, 19	logcld 22154	. . . . 5 |- ( x e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
21	16, 20	subcld 9829	. . . 4 |- ( x e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
22		mulcl 9476	. . . 4 |- ( ( ( _i / 2 ) e. CC /\ ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. CC )
23	7, 21, 22	sylancr 663	. . 3 |- ( x e. dom arctan -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. CC )
24	4, 23	sylbir 213	. 2 |- ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) e. CC )
25	1, 24	fmpti 5974	1 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC

Syntax hints:   e. wcel 1758   =/= wne 2647   \ cdif 3432   {cpr 3986   dom cdm 4947   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392   1c1 9393   _ici 9394   + caddc 9395   x. cmul 9397   - cmin 9705   -ucneg 9706   / cdiv 10103   2c2 10481   logclog 22138  arctancatan 22391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-log 22140  df-atan 22394

This theorem is referenced by:  atancl  22408  atanval  22411  dvatan  22462  atancn  22463