Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbnd Structured version   Unicode version

Theorem atanbnd 23235
 Description: The arctangent function is bounded by on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbnd arctan

Proof of Theorem atanbnd
StepHypRef Expression
1 atanre 23194 . . . . . . 7 arctan
21adantr 465 . . . . . 6 arctan
3 atanneg 23216 . . . . . 6 arctan arctan arctan
42, 3syl 16 . . . . 5 arctan arctan
5 renegcl 9887 . . . . . . . 8
65adantr 465 . . . . . . 7
7 lt0neg1 10065 . . . . . . . 8
87biimpa 484 . . . . . . 7
96, 8elrpd 11265 . . . . . 6
10 atanbndlem 23234 . . . . . 6 arctan
119, 10syl 16 . . . . 5 arctan
124, 11eqeltrrd 2532 . . . 4 arctan
13 halfpire 22835 . . . . . . 7
1413recni 9611 . . . . . 6
1514negnegi 9894 . . . . 5
1615oveq2i 6292 . . . 4
1712, 16syl6eleqr 2542 . . 3 arctan
18 neghalfpire 22836 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
2013a1i 11 . . . 4
21 atanrecl 23220 . . . . 5 arctan
2221adantr 465 . . . 4 arctan
23 iooneg 11651 . . . 4 arctan arctan arctan
2419, 20, 22, 23syl3anc 1229 . . 3 arctan arctan
2517, 24mpbird 232 . 2 arctan
26 simpr 461 . . . . 5
2726fveq2d 5860 . . . 4 arctan arctan
28 atan0 23217 . . . 4 arctan
2927, 28syl6eq 2500 . . 3 arctan
30 0re 9599 . . . 4
31 pirp 22832 . . . . . 6
32 rphalfcl 11255 . . . . . 6
33 rpgt0 11242 . . . . . 6
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . 5
35 lt0neg2 10066 . . . . . 6
3613, 35ax-mp 5 . . . . 5
3734, 36mpbi 208 . . . 4
3818rexri 9649 . . . . 5
3913rexri 9649 . . . . 5
40 elioo2 11581 . . . . 5
4138, 39, 40mp2an 672 . . . 4
4230, 37, 34, 41mpbir3an 1179 . . 3
4329, 42syl6eqel 2539 . 2 arctan
44 elrp 11233 . . 3
45 atanbndlem 23234 . . 3 arctan
4644, 45sylbir 213 . 2 arctan
47 lttri4 9672 . . 3
4830, 47mpan2 671 . 2
4925, 43, 46, 48mpjao3dan 1296 1 arctan
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3o 973   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   class class class wbr 4437   cdm 4989  cfv 5578  (class class class)co 6281  cr 9494  cc0 9495  cxr 9630   clt 9631  cneg 9811   cdiv 10213  c2 10592  crp 11231  cioo 11540  cpi 13784  arctancatan 23173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-tan 13789  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-atan 23176 This theorem is referenced by:  atanord  23236
 Copyright terms: Public domain W3C validator