MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atan1 Structured version   Unicode version

Theorem atan1 22207
Description: The arctangent of  1 is  pi 
/  4. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atan1  |-  (arctan ` 
1 )  =  ( pi  /  4 )

Proof of Theorem atan1
StepHypRef Expression
1 tan4thpi 21860 . . 3  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1
21fveq2i 5682 . 2  |-  (arctan `  ( tan `  ( pi 
/  4 ) ) )  =  (arctan ` 
1 )
3 pire 21805 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
4 4nn 10468 . . . . 5  |-  4  e.  NN
5 nndivre 10344 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( pi  /  4
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 665 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
76recni 9385 . . 3  |-  ( pi 
/  4 )  e.  CC
8 rere 12594 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  4 ) )  =  ( pi  /  4
) )
96, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Re
`  ( pi  / 
4 ) )  =  ( pi  /  4
)
10 pipos 21807 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
113, 10elrpii 10981 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
12 rphalfcl 11002 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
14 rpgt0 10989 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  2
)
16 halfpire 21810 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
17 lt0neg2 9833 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1915, 18mpbi 208 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
20 nnrp 10987 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
214, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
22 rpdivcl 11000 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  4 )  e.  RR+ )
2311, 21, 22mp2an 665 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR+
24 rpgt0 10989 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  4
) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <  ( pi  /  4
)
26 neghalfpire 21811 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
27 0re 9373 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2826, 27, 6lttri 9487 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  4 ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
pi  /  4 ) )
2919, 25, 28mp2an 665 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )
303recni 9385 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
31 2cnne0 10523 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
32 divdiv1 10029 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( 2  x.  2 ) ) )
3330, 31, 31, 32mp3an 1307 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  =  ( pi  /  (
2  x.  2 ) )
34 2t2e4 10458 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3534oveq2i 6091 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
3633, 35eqtri 2453 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  =  ( pi  /  4
)
37 rphalflt 11004 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  < 
( pi  /  2
) )
3813, 37ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  < 
( pi  /  2
)
3936, 38eqbrtrri 4301 . . . . 5  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( pi  /  2
)
4026rexri 9423 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4116rexri 9423 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
42 elioo2 11328 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( pi  / 
4 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  4 )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )  /\  (
pi  /  4 )  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
4340, 41, 42mp2an 665 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )  /\  (
pi  /  4 )  <  ( pi  / 
2 ) ) )
446, 29, 39, 43mpbir3an 1163 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
459, 44eqeltri 2503 . . 3  |-  ( Re
`  ( pi  / 
4 ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
46 atantan 22202 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  4
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( pi 
/  4 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  ( pi  /  4
) ) )  =  ( pi  /  4
) )
477, 45, 46mp2an 665 . 2  |-  (arctan `  ( tan `  ( pi 
/  4 ) ) )  =  ( pi 
/  4 )
482, 47eqtr3i 2455 1  |-  (arctan ` 
1 )  =  ( pi  /  4 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    x. cmul 9274   RR*cxr 9404    < clt 9405   -ucneg 9583    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   4c4 10360   RR+crp 10978   (,)cioo 11287   Recre 12569   tanctan 13333   picpi 13334  arctancatan 22143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-tan 13339  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-atan 22146
This theorem is referenced by:  leibpi  22221
  Copyright terms: Public domain W3C validator