MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atan1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem atan1 23903
Description: The arctangent of  1 is  pi 
/  4. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atan1  |-  (arctan ` 
1 )  =  ( pi  /  4 )

Proof of Theorem atan1
StepHypRef Expression
1 tan4thpi 23518 . . 3  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1
21fveq2i 5891 . 2  |-  (arctan `  ( tan `  ( pi 
/  4 ) ) )  =  (arctan ` 
1 )
3 pire 23462 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
4 4nn 10798 . . . . 5  |-  4  e.  NN
5 nndivre 10673 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( pi  /  4
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 683 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
76recni 9681 . . 3  |-  ( pi 
/  4 )  e.  CC
8 rere 13234 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  4 ) )  =  ( pi  /  4
) )
96, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Re
`  ( pi  / 
4 ) )  =  ( pi  /  4
)
10 pirp 23465 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
11 rphalfcl 11356 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
13 rpgt0 11342 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  2
)
15 halfpire 23468 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
16 lt0neg2 10149 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1814, 17mpbi 213 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
19 nnrp 11340 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
21 rpdivcl 11354 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  4 )  e.  RR+ )
2210, 20, 21mp2an 683 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR+
23 rpgt0 11342 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  4
) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <  ( pi  /  4
)
25 neghalfpire 23469 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
26 0re 9669 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2725, 26, 6lttri 9786 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  4 ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
pi  /  4 ) )
2818, 24, 27mp2an 683 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )
293recni 9681 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
30 2cnne0 10853 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
31 divdiv1 10346 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( 2  x.  2 ) ) )
3229, 30, 30, 31mp3an 1373 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  =  ( pi  /  (
2  x.  2 ) )
33 2t2e4 10788 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3433oveq2i 6326 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
3532, 34eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  =  ( pi  /  4
)
36 rphalflt 11358 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  < 
( pi  /  2
) )
3712, 36ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  < 
( pi  /  2
)
3835, 37eqbrtrri 4438 . . . . 5  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( pi  /  2
)
3925rexri 9719 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4015rexri 9719 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
41 elioo2 11706 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( pi  / 
4 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  4 )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )  /\  (
pi  /  4 )  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
4239, 40, 41mp2an 683 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )  /\  (
pi  /  4 )  <  ( pi  / 
2 ) ) )
436, 28, 38, 42mpbir3an 1196 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
449, 43eqeltri 2536 . . 3  |-  ( Re
`  ( pi  / 
4 ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
45 atantan 23898 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  4
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( pi 
/  4 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  ( pi  /  4
) ) )  =  ( pi  /  4
) )
467, 44, 45mp2an 683 . 2  |-  (arctan `  ( tan `  ( pi 
/  4 ) ) )  =  ( pi 
/  4 )
472, 46eqtr3i 2486 1  |-  (arctan ` 
1 )  =  ( pi  /  4 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    x. cmul 9570   RR*cxr 9700    < clt 9701   -ucneg 9887    / cdiv 10297   NNcn 10637   2c2 10687   4c4 10689   RR+crp 11331   (,)cioo 11664   Recre 13209   tanctan 14167   picpi 14168  arctancatan 23839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-ef 14170  df-sin 14172  df-cos 14173  df-tan 14174  df-pi 14175  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-limc 22870  df-dv 22871  df-log 23555  df-atan 23842
This theorem is referenced by:  leibpi  23917
  Copyright terms: Public domain W3C validator