Theorem asymrefOLD 4309

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U.U.R is the field of a relation by relfld 4419.

Assertion

Ref	Expression
asymrefOLD	|- ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))

Distinct variable group:   x,y,R

Proof of Theorem asymrefOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2813	. . . 4 |- (R i^i `'R) C_ `'R
2		relcnv 4301	. . . 4 |- Rel `'R
3		relss 4074	. . . 4 |- ((R i^i `'R) C_ `'R -> (Rel `'R -> Rel (R i^i `'R)))
4	1, 2, 3	mp2 54	. . 3 |- Rel (R i^i `'R)
5		relres 4242	. . 3 |- Rel ( _I |` U.U.R)
6		eqrel 4077	. . 3 |- ((Rel (R i^i `'R) /\ Rel ( _I |` U.U.R)) -> ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R))))
7	4, 5, 6	mp2an 761	. 2 |- ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)))
8		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
9	8	breldm 4161	. . . . . . . . 9 |- (xRy -> x e. dom R)
10		ssun1 2767	. . . . . . . . . . 11 |- dom R C_ (dom R u. ran R)
11		dmrnssfld 4205	. . . . . . . . . . 11 |- (dom R u. ran R) C_ U.U.R
12	10, 11	sstri 2626	. . . . . . . . . 10 |- dom R C_ U.U.R
13	12	sseli 2617	. . . . . . . . 9 |- (x e. dom R -> x e. U.U.R)
14	9, 13	syl 12	. . . . . . . 8 |- (xRy -> x e. U.U.R)
15	14	pm4.71ri 700	. . . . . . 7 |- (xRy <-> (x e. U.U.R /\ xRy))
16	15	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((xRy /\ yRx) <-> ((x e. U.U.R /\ xRy) /\ yRx))
17		anass 487	. . . . . 6 |- (((x e. U.U.R /\ xRy) /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)))
18	16, 17	bitri 190	. . . . 5 |- ((xRy /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)))
19		ancom 482	. . . . 5 |- ((x = y /\ x e. U.U.R) <-> (x e. U.U.R /\ x = y))
20	18, 19	bibi12i 672	. . . 4 |- (((xRy /\ yRx) <-> (x = y /\ x e. U.U.R)) <-> ((x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
21		elin 2786	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
22		df-br 3339	. . . . . . 7 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
23		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
24	8, 23	brcnv 4144	. . . . . . . 8 |- (x`'Ry <-> yRx)
25		df-br 3339	. . . . . . . 8 |- (x`'Ry <-> <.x, y>. e. `'R)
26	24, 25	bitr3i 192	. . . . . . 7 |- (yRx <-> <.x, y>. e. `'R)
27	22, 26	anbi12i 540	. . . . . 6 |- ((xRy /\ yRx) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
28	21, 27	bitr4i 193	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (xRy /\ yRx))
29	23	opelres 4222	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. ( _I |` U.U.R) <-> (<.x, y>. e. _I /\ x e. U.U.R))
30	23	ideq 4116	. . . . . . . 8 |- (x _I y <-> x = y)
31		df-br 3339	. . . . . . . 8 |- (x _I y <-> <.x, y>. e. _I )
32	30, 31	bitr3i 192	. . . . . . 7 |- (x = y <-> <.x, y>. e. _I )
33	32	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((x = y /\ x e. U.U.R) <-> (<.x, y>. e. _I /\ x e. U.U.R))
34	29, 33	bitr4i 193	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. ( _I |` U.U.R) <-> (x = y /\ x e. U.U.R))
35	28, 34	bibi12i 672	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> ((xRy /\ yRx) <-> (x = y /\ x e. U.U.R)))
36		pm5.32 706	. . . 4 |- ((x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> ((x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
37	20, 35, 36	3bitr4i 200	. . 3 |- ((<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> (x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
38	37	2albii 1347	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> A.xA.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
39		19.21v 1663	. . . 4 |- (A.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> (x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
40	39	albii 1346	. . 3 |- (A.xA.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> A.x(x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
41		df-ral 2109	. . 3 |- (A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y) <-> A.x(x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
42	40, 41	bitr4i 193	. 2 |- (A.xA.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))
43	7, 38, 42	3bitri 194	1 |- ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  Rel wrel 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006

Copyright terms: Public domain