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Theorem asymref2 5215
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
asymref2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem asymref2
StepHypRef Expression
1 asymref 5214 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
2 albiim 1665 . . 3  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  (
x R y  /\  y R x ) ) ) )
32ralbii 2739 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  A. x  e.  U. U. R ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  (
x R y  /\  y R x ) ) ) )
4 r19.26 2849 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. U. R
( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) ) ) )
5 ancom 450 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  /\  A. x  e. 
U. U. R A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
6 equcom 1732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
76imbi1i 325 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) )  <->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
87albii 1610 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  A. y ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
9 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ y  x R x
10 breq2 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
11 breq1 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1210, 11anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
13 anidm 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R x  /\  x R x )  <->  x R x )
1412, 13syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  x R x ) )
159, 14equsal 1984 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <-> 
x R x )
168, 15bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <-> 
x R x )
1716ralbii 2739 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  A. x  e.  U. U. R x R x )
18 df-ral 2720 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
19 df-br 4293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
20 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
21 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
2220, 21opeluu 4561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  ( x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
2322simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  x  e. 
U. U. R )
2419, 23sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x R y  ->  x  e.  U. U. R )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  e.  U. U. R
)
2625pm2.24d 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
( -.  x  e. 
U. U. R  ->  x  =  y ) )
2726com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  U. U. R  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
2827alrimiv 1685 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
29 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3028, 29ja 161 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
31 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
3230, 31impbii 188 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3332albii 1610 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3418, 33bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3517, 34anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
364, 5, 353bitri 271 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R
( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
371, 3, 363bitri 271 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    i^i cin 3327   <.cop 3883   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    _I cid 4631   `'ccnv 4839    |` cres 4842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-res 4852
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