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Theorem asymref 5222
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive.  U. U. R is the field of a relation by relfld 5368. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
asymref  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem asymref
StepHypRef Expression
1 df-br 4396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
2 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3opeluu 4671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  ( x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
51, 4sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x R y  ->  (
x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
65simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( x R y  ->  x  e.  U. U. R )
76adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  e.  U. U. R
)
87pm4.71ri 645 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  ( x R y  /\  y R x ) ) )
98bibi1i 321 . . . . . 6  |-  ( ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e. 
U. U. R  /\  x  =  y ) )  <-> 
( ( x  e. 
U. U. R  /\  (
x R y  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y ) ) )
10 elin 3608 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
112, 3brcnv 5022 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
12 df-br 4396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
1311, 12bitr3i 259 . . . . . . . . 9  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
141, 13anbi12i 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
1510, 14bitr4i 260 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
163opelres 5116 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  U. U. R ) )
17 df-br 4396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
183ideq 4992 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1917, 18bitr3i 259 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
2019anbi2ci 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
U. U. R )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
)
2116, 20bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
)
2215, 21bibi12i 322 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  ( (
x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
) )
23 pm5.32 648 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  U. U. R  /\  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
) )
249, 22, 233bitr4i 285 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  ( x  e.  U. U. R  -> 
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2524albii 1699 . . . 4  |-  ( A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  A. y
( x  e.  U. U. R  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
26 19.21v 1794 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e. 
U. U. R  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y
) )  <->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2725, 26bitri 257 . . 3  |-  ( A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2827albii 1699 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
29 relcnv 5213 . . . 4  |-  Rel  `' R
30 relin2 4957 . . . 4  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3129, 30ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  ( R  i^i  `' R )
32 relres 5138 . . 3  |-  Rel  (  _I  |`  U. U. R
)
33 eqrel 4929 . . 3  |-  ( ( Rel  ( R  i^i  `' R )  /\  Rel  (  _I  |`  U. U. R ) )  -> 
( ( R  i^i  `' R )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 686 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
35 df-ral 2761 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
3628, 34, 353bitr4i 285 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    i^i cin 3389   <.cop 3965   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    _I cid 4749   `'ccnv 4838    |` cres 4841   Rel wrel 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-res 4851
This theorem is referenced by:  asymref2  5223  letsr  16551
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