Theorem asymref 4308

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U.U.R is the field of a relation by relfld 4419. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
asymref	|- ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))

Distinct variable group:   x,y,R

Proof of Theorem asymref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3339	. . . . . . . . . . 11 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
2		opeluu 3805	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, y>. e. R -> (x e. U.U.R /\ y e. U.U.R))
3	1, 2	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 |- (xRy -> (x e. U.U.R /\ y e. U.U.R))
4	3	simplld 348	. . . . . . . . 9 |- (xRy -> x e. U.U.R)
5	4	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((xRy /\ yRx) -> x e. U.U.R)
6	5	pm4.71ri 700	. . . . . . 7 |- ((xRy /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)))
7	6	bibi1i 671	. . . . . 6 |- (((xRy /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)) <-> ((x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
8		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
9		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
10		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
11	9, 10	brcnv 4144	. . . . . . . . . 10 |- (x`'Ry <-> yRx)
12		df-br 3339	. . . . . . . . . 10 |- (x`'Ry <-> <.x, y>. e. `'R)
13	11, 12	bitr3i 192	. . . . . . . . 9 |- (yRx <-> <.x, y>. e. `'R)
14	1, 13	anbi12i 540	. . . . . . . 8 |- ((xRy /\ yRx) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
15	8, 14	bitr4i 193	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (xRy /\ yRx))
16	10	opelres 4222	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. ( _I |` U.U.R) <-> (<.x, y>. e. _I /\ x e. U.U.R))
17		ancom 482	. . . . . . . 8 |- ((<.x, y>. e. _I /\ x e. U.U.R) <-> (x e. U.U.R /\ <.x, y>. e. _I ))
18		df-br 3339	. . . . . . . . . 10 |- (x _I y <-> <.x, y>. e. _I )
19	10	ideq 4116	. . . . . . . . . 10 |- (x _I y <-> x = y)
20	18, 19	bitr3i 192	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. _I <-> x = y)
21	20	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((x e. U.U.R /\ <.x, y>. e. _I ) <-> (x e. U.U.R /\ x = y))
22	16, 17, 21	3bitri 194	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. ( _I |` U.U.R) <-> (x e. U.U.R /\ x = y))
23	15, 22	bibi12i 672	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> ((xRy /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
24		pm5.32 706	. . . . . 6 |- ((x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> ((x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
25	7, 23, 24	3bitr4i 200	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> (x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
26	25	albii 1346	. . . 4 |- (A.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> A.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
27		19.21v 1663	. . . 4 |- (A.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> (x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
28	26, 27	bitri 190	. . 3 |- (A.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> (x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
29	28	albii 1346	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)) <-> A.x(x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
30		relcnv 4301	. . . 4 |- Rel `'R
31		relin2 4099	. . . 4 |- (Rel `'R -> Rel (R i^i `'R))
32	30, 31	ax-mp 7	. . 3 |- Rel (R i^i `'R)
33		relres 4242	. . 3 |- Rel ( _I |` U.U.R)
34		eqrel 4077	. . 3 |- ((Rel (R i^i `'R) /\ Rel ( _I |` U.U.R)) -> ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R))))
35	32, 33, 34	mp2an 761	. 2 |- ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. ( _I |` U.U.R)))
36		df-ral 2109	. 2 |- (A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y) <-> A.x(x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
37	29, 35, 36	3bitr4i 200	1 |- ((R i^i `'R) = ( _I |` U.U.R) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582  `'ccnv 3985   |` cres 3988  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  asymref2 4310  asymref2OLD 4311  inposet 14620  lteqtpos 15024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-res 4006

Copyright terms: Public domain