Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assapropd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem assapropd 18628
 Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1
assapropd.2
assapropd.3
assapropd.4
assapropd.5 Scalar
assapropd.6 Scalar
assapropd.7
assapropd.8
Assertion
Ref Expression
assapropd AssAlg AssAlg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 18620 . . . 4 AssAlg
2 assaring 18621 . . . 4 AssAlg
31, 2jca 541 . . 3 AssAlg
43a1i 11 . 2 AssAlg
5 assalmod 18620 . . . 4 AssAlg
6 assapropd.1 . . . . 5
7 assapropd.2 . . . . 5
8 assapropd.3 . . . . 5
9 assapropd.5 . . . . 5 Scalar
10 assapropd.6 . . . . 5 Scalar
11 assapropd.7 . . . . 5
12 assapropd.8 . . . . 5
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 18229 . . . 4
145, 13syl5ibr 229 . . 3 AssAlg
15 assaring 18621 . . . 4 AssAlg
16 assapropd.4 . . . . 5
176, 7, 8, 16ringpropd 17890 . . . 4
1815, 17syl5ibr 229 . . 3 AssAlg
1914, 18jcad 542 . 2 AssAlg
209, 10eqtr3d 2507 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2120eleq1d 2533 . . . . . . 7 Scalar Scalar
2213, 17, 213anbi123d 1365 . . . . . 6 Scalar Scalar
2322adantr 472 . . . . 5 Scalar Scalar
24 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13
25 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16
279fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
2811, 27syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3026, 29eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
31 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3224, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
36 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
3834, 35, 36, 37lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
3925, 30, 33, 38syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
4039, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13
41 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . 13
4216oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . 13
4324, 40, 41, 42syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12
4412oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . . 14
4524, 26, 31, 44syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13
4645oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
4743, 46eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
48 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
4941, 32eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5134, 50ringcl 17872 . . . . . . . . . . . . . . 15
5248, 33, 49, 51syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
5352, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13
5412oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . 13
5524, 26, 53, 54syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12
5616oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . . 14
5724, 31, 41, 56syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13
5857oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
5955, 58eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
6047, 59eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10
6134, 35, 36, 37lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
6225, 30, 49, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
6362, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13
6416oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . 13
6524, 31, 63, 64syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12
6612oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . . 14
6724, 26, 41, 66syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13
6867oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
6965, 68eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
7069, 59eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10
7160, 70anbi12d 725 . . . . . . . . 9
7271anassrs 660 . . . . . . . 8
73722ralbidva 2831 . . . . . . 7
7473ralbidva 2828 . . . . . 6
7528adantr 472 . . . . . . 7 Scalar
766adantr 472 . . . . . . . 8
7776raleqdv 2979 . . . . . . . 8
7876, 77raleqbidv 2987 . . . . . . 7
7975, 78raleqbidv 2987 . . . . . 6 Scalar
8010fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 Scalar
8111, 80syl5eq 2517 . . . . . . . 8 Scalar
8281adantr 472 . . . . . . 7 Scalar
837adantr 472 . . . . . . . 8
8483raleqdv 2979 . . . . . . . 8
8583, 84raleqbidv 2987 . . . . . . 7
8682, 85raleqbidv 2987 . . . . . 6 Scalar
8774, 79, 863bitr3d 291 . . . . 5 Scalar Scalar
8823, 87anbi12d 725 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
8934, 35, 37, 36, 50isassa 18616 . . . 4 AssAlg Scalar Scalar
90 eqid 2471 . . . . 5
91 eqid 2471 . . . . 5 Scalar Scalar
92 eqid 2471 . . . . 5 Scalar Scalar
93 eqid 2471 . . . . 5
94 eqid 2471 . . . . 5
9590, 91, 92, 93, 94isassa 18616 . . . 4 AssAlg Scalar Scalar
9688, 89, 953bitr4g 296 . . 3 AssAlg AssAlg
9796ex 441 . 2 AssAlg AssAlg
984, 19, 97pm5.21ndd 361 1 AssAlg AssAlg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  cmulr 15269  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  crg 17858  ccrg 17859  clmod 18169  AssAlgcasa 18610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-assa 18613 This theorem is referenced by:  opsrassa  18789
 Copyright terms: Public domain W3C validator