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Theorem assapropd 18628
Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
assapropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
assapropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
assapropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
assapropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
assapropd.6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
assapropd.7  |-  P  =  ( Base `  F
)
assapropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
assapropd  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, L, y    x, P, y    ph, x, y   
x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables  w  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 18620 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg  ->  K  e.  LMod )
2 assaring 18621 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg  ->  K  e.  Ring )
31, 2jca 541 . . 3  |-  ( K  e. AssAlg  ->  ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  ->  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) ) )
5 assalmod 18620 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg  ->  L  e.  LMod )
6 assapropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
7 assapropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
8 assapropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
9 assapropd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
10 assapropd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
11 assapropd.7 . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  F
)
12 assapropd.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 18229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
145, 13syl5ibr 229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  K  e.  LMod ) )
15 assaring 18621 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg  ->  L  e.  Ring )
16 assapropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
176, 7, 8, 16ringpropd 17890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
1815, 17syl5ibr 229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  K  e.  Ring ) )
1914, 18jcad 542 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) ) )
209, 10eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
2120eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  CRing  <->  (Scalar `  L
)  e.  CRing ) )
2213, 17, 213anbi123d 1365 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  <->  ( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing ) ) )
2322adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  (
( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  <-> 
( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing ) ) )
24 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  ph )
25 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  K  e.  LMod )
26 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
r  e.  P )
279fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
2811, 27syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
3026, 29eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
31 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B )
3224, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
3331, 32eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
36 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  (Scalar `  K )
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
)
3834, 35, 36, 37lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  ( Base `  K ) )
3925, 30, 33, 38syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  ( Base `  K ) )
4039, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  B )
41 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  w  e.  B )
4216oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
r ( .s `  K ) z )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4324, 40, 41, 42syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4412oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  z  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
4524, 26, 31, 44syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
4645oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4743, 46eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w ) )
48 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  K  e.  Ring )
4941, 32eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  w  e.  ( Base `  K ) )
50 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
5134, 50ringcl 17872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Ring  /\  z  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( z
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 33, 49, 51syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
5352, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  e.  B )
5412oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  (
z ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )
5524, 26, 53, 54syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  K ) w ) ) )
5616oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  =  ( z ( .r `  L
) w ) )
5724, 31, 41, 56syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  =  ( z ( .r `  L
) w ) )
5857oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) )
5955, 58eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) )
6047, 59eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  <-> 
( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) )
6134, 35, 36, 37lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) )  /\  w  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
6225, 30, 49, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
6362, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B )
6416oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
6524, 31, 63, 64syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )
6612oveqrspc2v 6331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
6724, 26, 41, 66syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
6867oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )
6965, 68eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )
7069, 59eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  <-> 
( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) )
7160, 70anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
z ( .r `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) ) ) ) )
7271anassrs 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring )
)  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
73722ralbidva 2831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  r  e.  P )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
z ( .r `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) ) ) ) )
7473ralbidva 2828 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7528adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K ) ) )
766adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
7776raleqdv 2979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  K )
( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
7876, 77raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
7975, 78raleqbidv 2987 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. r  e.  (
Base `  (Scalar `  K
) ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
8010fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
8111, 80syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
8281adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L ) ) )
837adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
8483raleqdv 2979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  L )
( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
8583, 84raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8682, 85raleqbidv 2987 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. r  e.  (
Base `  (Scalar `  L
) ) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8774, 79, 863bitr3d 291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K
) ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L ) ) A. z  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8823, 87anbi12d 725 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  (
( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L
)  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
8934, 35, 37, 36, 50isassa 18616 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg 
<->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
90 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
91 eqid 2471 . . . . 5  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
92 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  L )
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
)
93 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
94 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
9590, 91, 92, 93, 94isassa 18616 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg 
<->  ( ( L  e. 
LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
9688, 89, 953bitr4g 296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
9796ex 441 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring )  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) ) )
984, 19, 97pm5.21ndd 361 1  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   LModclmod 18169  AssAlgcasa 18610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-assa 18613
This theorem is referenced by:  opsrassa  18789
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