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Theorem assamulgscmlem2 17769
Description: Lemma for assamulgscm 17770 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
assamulgscm.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
assamulgscm.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
assamulgscm.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
assamulgscm.g  |-  G  =  (mulGrp `  F )
assamulgscm.p  |-  .^  =  (.g
`  G )
assamulgscm.h  |-  H  =  (mulGrp `  W )
assamulgscm.e  |-  E  =  (.g `  H )
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( y E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) )  ->  ( (
y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assarng 17740 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (mulGrp `  W )
32rngmgp 16992 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
41, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e. AssAlg  ->  H  e.  Mnd )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  H  e.  Mnd )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  H  e.  Mnd )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  ->  H  e.  Mnd )
8 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
y  e.  NN0 )
9 assalmod 17739 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  W  e.  LMod )
11 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  B
)
12 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  X  e.  V
)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  F
)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 17312 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
1810, 11, 12, 17syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V
)
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  e.  V )
212, 13mgpbas 16937 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  H
)
22 assamulgscm.e . . . . 5  |-  E  =  (.g `  H )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
242, 23mgpplusg 16935 . . . . 5  |-  ( .r
`  W )  =  ( +g  `  H
)
2521, 22, 24mulgnn0p1 15953 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  ( A  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( y  +  1 ) E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y E ( A  .x.  X ) ) ( .r `  W ) ( A  .x.  X
) ) )
267, 8, 20, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y E ( A 
.x.  X ) ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )
27 oveq1 6289 . . . 4  |-  ( ( y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) )  ->  (
( y E ( A  .x.  X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  .^  A )  .x.  ( y E X ) ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) ) )
28 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  W  e. AssAlg )
2914assasca 17741 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  CRing )
30 crngrng 16996 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
31 assamulgscm.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (mulGrp `  F )
3231rngmgp 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
3329, 30, 323syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. AssAlg  ->  G  e.  Mnd )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  G  e.  Mnd )
3534adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  G  e.  Mnd )
36 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  y  e.  NN0 )
3716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. AssAlg  ->  B  =  (
Base `  F )
)
3814fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (Scalar `  W
) )
3937, 38syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. AssAlg  ->  B  =  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4039eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
4140biimpcd 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4443adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
4514eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  F
4645fveq2i 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  F )
4731, 46mgpbas 16937 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  G )
48 assamulgscm.p . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  G )
4947, 48mulgnn0cl 15958 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( y  .^  A )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
5035, 36, 44, 49syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y  .^  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
51 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  X  e.  V )
5221, 22mulgnn0cl 15958 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
y E X )  e.  V )
536, 36, 51, 52syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y E X )  e.  V )
54 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
55 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5613, 54, 55, 15, 23assaass 17737 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( y E X )  e.  V  /\  ( A  .x.  X
)  e.  V ) )  ->  ( (
( y  .^  A
)  .x.  ( y E X ) ) ( .r `  W ) ( A  .x.  X
) )  =  ( ( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) ) )
5728, 50, 53, 19, 56syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) ) ) )
5813, 54, 55, 15, 23assaassr 17738 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( y E X )  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )
5928, 44, 53, 51, 58syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )
6059oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r `  W
) X ) ) ) )
6121, 22, 24mulgnn0p1 15953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  =  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )
626, 36, 51, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  =  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )
6362eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) X )  =  ( ( y  +  1 ) E X ) )
6463oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )  =  ( A  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) )
6564oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) ) )
6610adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  W  e.  LMod )
67 peano2nn0 10832 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
6867adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  NN0 )
6921, 22mulgnn0cl 15958 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  ( ( y  +  1 ) E X )  e.  V )
706, 68, 51, 69syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V )
71 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
7213, 54, 15, 55, 71lmodvsass 17320 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V ) )  ->  ( ( ( y  .^  A )
( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) ) )
7372eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V ) )  ->  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )  =  ( ( ( y  .^  A
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) )
7466, 50, 44, 70, 73syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )  =  ( ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
7560, 65, 743eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( y  .^  A )
( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
76 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  A  e.  B )
7731, 16mgpbas 16937 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
7931, 78mgpplusg 16935 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  F )  =  ( +g  `  G
)
8077, 48, 79mulgnn0p1 15953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  F ) A ) )
8135, 36, 76, 80syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  F ) A ) )
8214a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  F  =  (Scalar `  W )
)
8382fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (Scalar `  W ) ) )
8483oveqd 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
) ( .r `  F ) A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A ) )
8581, 84eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A ) )
8685eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  =  ( ( y  +  1 )  .^  A )
)
8786oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A ) ( .r
`  (Scalar `  W )
) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A
)  .x.  ( (
y  +  1 ) E X ) ) )
8857, 75, 873eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
8927, 88sylan9eqr 2530 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y E ( A  .x.  X
) ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
9026, 89eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
9190exp31 604 1  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( y E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) )  ->  ( (
y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491   NN0cn0 10791   Basecbs 14486   .rcmulr 14552  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   Mndcmnd 15722  .gcmg 15727  mulGrpcmgp 16931   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987   LModclmod 17295  AssAlgcasa 17729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-mulg 15861  df-mgp 16932  df-rng 16988  df-cring 16989  df-lmod 17297  df-assa 17732
This theorem is referenced by:  assamulgscm  17770
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