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Theorem assamulgscmlem2 30968
Description: Lemma for assamulgscm 30969 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
assamulgscm.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
assamulgscm.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
assamulgscm.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
assamulgscm.g  |-  G  =  (mulGrp `  F )
assamulgscm.p  |-  .^  =  (.g
`  G )
assamulgscm.h  |-  H  =  (mulGrp `  W )
assamulgscm.e  |-  E  =  (.g `  H )
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( y E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) )  ->  ( (
y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assarng 17507 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (mulGrp `  W )
32rngmgp 16766 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
41, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e. AssAlg  ->  H  e.  Mnd )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  H  e.  Mnd )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  H  e.  Mnd )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  ->  H  e.  Mnd )
8 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
y  e.  NN0 )
9 assalmod 17506 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  W  e.  LMod )
11 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  B
)
12 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  X  e.  V
)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  F
)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 17080 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
1810, 11, 12, 17syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V
)
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  e.  V )
212, 13mgpbas 16711 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  H
)
22 assamulgscm.e . . . . 5  |-  E  =  (.g `  H )
23 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
242, 23mgpplusg 16709 . . . . 5  |-  ( .r
`  W )  =  ( +g  `  H
)
2521, 22, 24mulgnn0p1 15749 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  ( A  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( y  +  1 ) E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y E ( A  .x.  X ) ) ( .r `  W ) ( A  .x.  X
) ) )
267, 8, 20, 25syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y E ( A 
.x.  X ) ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )
27 oveq1 6200 . . . 4  |-  ( ( y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) )  ->  (
( y E ( A  .x.  X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  .^  A )  .x.  ( y E X ) ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) ) )
28 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  W  e. AssAlg )
2914assasca 17508 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  CRing )
30 crngrng 16770 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
31 assamulgscm.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (mulGrp `  F )
3231rngmgp 16766 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
3329, 30, 323syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. AssAlg  ->  G  e.  Mnd )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  G  e.  Mnd )
3534adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  G  e.  Mnd )
36 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  y  e.  NN0 )
3716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. AssAlg  ->  B  =  (
Base `  F )
)
3814fveq2i 5795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (Scalar `  W
) )
3937, 38syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. AssAlg  ->  B  =  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4039eleq2d 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
4140biimpcd 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4443adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
4514eqcomi 2464 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  F
4645fveq2i 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  F )
4731, 46mgpbas 16711 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  G )
48 assamulgscm.p . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  G )
4947, 48mulgnn0cl 15754 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( y  .^  A )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
5035, 36, 44, 49syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y  .^  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
51 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  X  e.  V )
5221, 22mulgnn0cl 15754 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
y E X )  e.  V )
536, 36, 51, 52syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y E X )  e.  V )
54 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
55 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5613, 54, 55, 15, 23assaass 17504 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( y E X )  e.  V  /\  ( A  .x.  X
)  e.  V ) )  ->  ( (
( y  .^  A
)  .x.  ( y E X ) ) ( .r `  W ) ( A  .x.  X
) )  =  ( ( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) ) )
5728, 50, 53, 19, 56syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) ) ) )
5813, 54, 55, 15, 23assaassr 17505 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( y E X )  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )
5928, 44, 53, 51, 58syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )
6059oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r `  W
) X ) ) ) )
6121, 22, 24mulgnn0p1 15749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  =  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )
626, 36, 51, 61syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  =  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )
6362eqcomd 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) X )  =  ( ( y  +  1 ) E X ) )
6463oveq2d 6209 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )  =  ( A  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) )
6564oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) ) )
6610adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  W  e.  LMod )
67 peano2nn0 10724 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
6867adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  NN0 )
6921, 22mulgnn0cl 15754 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  ( ( y  +  1 ) E X )  e.  V )
706, 68, 51, 69syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V )
71 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
7213, 54, 15, 55, 71lmodvsass 17088 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V ) )  ->  ( ( ( y  .^  A )
( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) ) )
7372eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V ) )  ->  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )  =  ( ( ( y  .^  A
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) )
7466, 50, 44, 70, 73syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )  =  ( ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
7560, 65, 743eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( y  .^  A )
( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
76 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  A  e.  B )
7731, 16mgpbas 16711 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
78 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
7931, 78mgpplusg 16709 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  F )  =  ( +g  `  G
)
8077, 48, 79mulgnn0p1 15749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  F ) A ) )
8135, 36, 76, 80syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  F ) A ) )
8214a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  F  =  (Scalar `  W )
)
8382fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (Scalar `  W ) ) )
8483oveqd 6210 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
) ( .r `  F ) A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A ) )
8581, 84eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A ) )
8685eqcomd 2459 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  =  ( ( y  +  1 )  .^  A )
)
8786oveq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A ) ( .r
`  (Scalar `  W )
) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A
)  .x.  ( (
y  +  1 ) E X ) ) )
8857, 75, 873eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
8927, 88sylan9eqr 2514 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y E ( A  .x.  X
) ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
9026, 89eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
9190exp31 604 1  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( y E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) )  ->  ( (
y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1c1 9387    + caddc 9389   NN0cn0 10683   Basecbs 14285   .rcmulr 14350  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   Mndcmnd 15520  .gcmg 15525  mulGrpcmgp 16705   Ringcrg 16760   CRingccrg 16761   LModclmod 17063  AssAlgcasa 17496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-mulg 15659  df-mgp 16706  df-rng 16762  df-cring 16763  df-lmod 17065  df-assa 17499
This theorem is referenced by:  assamulgscm  30969
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