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Theorem assamulgscmlem2 17869
Description: Lemma for assamulgscm 17870 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
assamulgscm.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
assamulgscm.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
assamulgscm.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
assamulgscm.g  |-  G  =  (mulGrp `  F )
assamulgscm.p  |-  .^  =  (.g
`  G )
assamulgscm.h  |-  H  =  (mulGrp `  W )
assamulgscm.e  |-  E  =  (.g `  H )
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( y E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) )  ->  ( (
y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assaring 17840 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (mulGrp `  W )
32ringmgp 17075 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
41, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e. AssAlg  ->  H  e.  Mnd )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  H  e.  Mnd )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  H  e.  Mnd )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  ->  H  e.  Mnd )
8 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
y  e.  NN0 )
9 assalmod 17839 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  W  e.  LMod )
11 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  B
)
12 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  X  e.  V
)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  F
)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 17400 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
1810, 11, 12, 17syl3anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V
)
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  e.  V )
212, 13mgpbas 17018 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  H
)
22 assamulgscm.e . . . . 5  |-  E  =  (.g `  H )
23 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
242, 23mgpplusg 17016 . . . . 5  |-  ( .r
`  W )  =  ( +g  `  H
)
2521, 22, 24mulgnn0p1 16024 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  ( A  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( y  +  1 ) E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y E ( A  .x.  X ) ) ( .r `  W ) ( A  .x.  X
) ) )
267, 8, 20, 25syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y E ( A 
.x.  X ) ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )
27 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( ( y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) )  ->  (
( y E ( A  .x.  X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  .^  A )  .x.  ( y E X ) ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) ) )
28 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  W  e. AssAlg )
2914assasca 17841 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  CRing )
30 crngring 17080 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
31 assamulgscm.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (mulGrp `  F )
3231ringmgp 17075 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
3329, 30, 323syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. AssAlg  ->  G  e.  Mnd )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  G  e.  Mnd )
3534adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  G  e.  Mnd )
36 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  y  e.  NN0 )
3716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. AssAlg  ->  B  =  (
Base `  F )
)
3814fveq2i 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (Scalar `  W
) )
3937, 38syl6eq 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. AssAlg  ->  B  =  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4039eleq2d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
4140biimpcd 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4443adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
4514eqcomi 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  F
4645fveq2i 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  F )
4731, 46mgpbas 17018 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  G )
48 assamulgscm.p . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  G )
4947, 48mulgnn0cl 16029 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( y  .^  A )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
5035, 36, 44, 49syl3anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y  .^  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
51 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  X  e.  V )
5221, 22mulgnn0cl 16029 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
y E X )  e.  V )
536, 36, 51, 52syl3anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y E X )  e.  V )
54 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
55 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5613, 54, 55, 15, 23assaass 17837 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( y E X )  e.  V  /\  ( A  .x.  X
)  e.  V ) )  ->  ( (
( y  .^  A
)  .x.  ( y E X ) ) ( .r `  W ) ( A  .x.  X
) )  =  ( ( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) ) )
5728, 50, 53, 19, 56syl13anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) ) ) )
5813, 54, 55, 15, 23assaassr 17838 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( y E X )  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )
5928, 44, 53, 51, 58syl13anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )
6059oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r `  W
) X ) ) ) )
6121, 22, 24mulgnn0p1 16024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  =  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )
626, 36, 51, 61syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  =  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )
6362eqcomd 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y E X ) ( .r `  W ) X )  =  ( ( y  +  1 ) E X ) )
6463oveq2d 6294 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r `  W ) X ) )  =  ( A  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) )
6564oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( A  .x.  ( ( y E X ) ( .r
`  W ) X ) ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) ) )
6610adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  W  e.  LMod )
67 peano2nn0 10839 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
6867adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  NN0 )
6921, 22mulgnn0cl 16029 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  ( ( y  +  1 ) E X )  e.  V )
706, 68, 51, 69syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V )
71 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
7213, 54, 15, 55, 71lmodvsass 17408 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V ) )  ->  ( ( ( y  .^  A )
( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) ) )
7372eqcomd 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  .^  A
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( y  +  1 ) E X )  e.  V ) )  ->  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )  =  ( ( ( y  .^  A
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) )
7466, 50, 44, 70, 73syl13anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( A  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )  =  ( ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
7560, 65, 743eqtrd 2486 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
)  .x.  ( (
y E X ) ( .r `  W
) ( A  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( y  .^  A )
( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
76 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  A  e.  B )
7731, 16mgpbas 17018 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
78 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
7931, 78mgpplusg 17016 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  F )  =  ( +g  `  G
)
8077, 48, 79mulgnn0p1 16024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  F ) A ) )
8135, 36, 76, 80syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  F ) A ) )
8214a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  F  =  (Scalar `  W )
)
8382fveq2d 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (Scalar `  W ) ) )
8483oveqd 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
) ( .r `  F ) A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A ) )
8581, 84eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  +  1 )  .^  A )  =  ( ( y 
.^  A ) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A ) )
8685eqcomd 2449 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( y  .^  A
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) A )  =  ( ( y  +  1 )  .^  A )
)
8786oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A ) ( .r
`  (Scalar `  W )
) A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A
)  .x.  ( (
y  +  1 ) E X ) ) )
8857, 75, 873eqtrd 2486 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  ->  (
( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) ) ( .r `  W ) ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
8927, 88sylan9eqr 2504 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y E ( A  .x.  X
) ) ( .r
`  W ) ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
9026, 89eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V )  /\  W  e. AssAlg ) )  /\  (
y E ( A 
.x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  A )  .x.  ( y E X ) ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  ( ( y  +  1 ) E X ) ) )
9190exp31 604 1  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( y E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  A )  .x.  (
y E X ) )  ->  ( (
y  +  1 ) E ( A  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  .^  A )  .x.  (
( y  +  1 ) E X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   1c1 9493    + caddc 9495   NN0cn0 10798   Basecbs 14506   .rcmulr 14572  Scalarcsca 14574   .scvsca 14575   Mndcmnd 15790  .gcmg 15927  mulGrpcmgp 17012   Ringcrg 17069   CRingccrg 17070   LModclmod 17383  AssAlgcasa 17829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-seq 12084  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-mulg 15931  df-mgp 17013  df-ring 17071  df-cring 17072  df-lmod 17385  df-assa 17832
This theorem is referenced by:  assamulgscm  17870
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