MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem assamulgscmlem1 17761
Description: Lemma 1 for assamulgscm 17763 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
assamulgscm.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
assamulgscm.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
assamulgscm.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
assamulgscm.g  |-  G  =  (mulGrp `  F )
assamulgscm.p  |-  .^  =  (.g
`  G )
assamulgscm.h  |-  H  =  (mulGrp `  W )
assamulgscm.e  |-  E  =  (.g `  H )
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem1  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( 0 E ( A  .x.  X
) )  =  ( ( 0  .^  A
)  .x.  ( 0 E X ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem1
StepHypRef Expression
1 assalmod 17732 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
2 assarng 17733 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
3 assamulgscm.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
53, 4rngidcl 16999 . . . . 5  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
62, 5syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( 1r `  W )  e.  V
)
7 assamulgscm.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 assamulgscm.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
103, 7, 8, 9lmodvs1 17316 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  W )  e.  V )  ->  (
( 1r `  F
)  .x.  ( 1r `  W ) )  =  ( 1r `  W
) )
1110eqcomd 2468 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  W )  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  =  ( ( 1r `  F )  .x.  ( 1r `  W ) ) )
121, 6, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( 1r `  W )  =  ( ( 1r `  F
)  .x.  ( 1r `  W ) ) )
1312adantl 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( 1r `  W )  =  ( ( 1r `  F
)  .x.  ( 1r `  W ) ) )
141adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  W  e.  LMod )
15 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  A  e.  B
)
16 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  X  e.  V
)
17 assamulgscm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
183, 7, 8, 17lmodvscl 17305 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
1914, 15, 16, 18syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V
)
20 assamulgscm.h . . . . 5  |-  H  =  (mulGrp `  W )
2120, 3mgpbas 16930 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  H
)
2220, 4rngidval 16938 . . . 4  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 0g `  H
)
23 assamulgscm.e . . . 4  |-  E  =  (.g `  H )
2421, 22, 23mulg0 15940 . . 3  |-  ( ( A  .x.  X )  e.  V  ->  (
0 E ( A 
.x.  X ) )  =  ( 1r `  W ) )
2519, 24syl 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( 0 E ( A  .x.  X
) )  =  ( 1r `  W ) )
26 assamulgscm.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  F )
2726, 17mgpbas 16930 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2826, 9rngidval 16938 . . . . 5  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 0g `  G
)
29 assamulgscm.p . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  G )
3027, 28, 29mulg0 15940 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
0  .^  A )  =  ( 1r `  F ) )
3115, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( 0  .^  A )  =  ( 1r `  F ) )
3221, 22, 23mulg0 15940 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (
0 E X )  =  ( 1r `  W ) )
3316, 32syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( 0 E X )  =  ( 1r `  W ) )
3431, 33oveq12d 6293 . 2  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( ( 0 
.^  A )  .x.  ( 0 E X ) )  =  ( ( 1r `  F
)  .x.  ( 1r `  W ) ) )
3513, 25, 343eqtr4d 2511 1  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V
)  /\  W  e. AssAlg )  ->  ( 0 E ( A  .x.  X
) )  =  ( ( 0  .^  A
)  .x.  ( 0 E X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548  .gcmg 15720  mulGrpcmgp 16924   1rcur 16936   Ringcrg 16979   LModclmod 17288  AssAlgcasa 17722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-z 10854  df-seq 12064  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mulg 15854  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-assa 17725
This theorem is referenced by:  assamulgscm  17763
  Copyright terms: Public domain W3C validator