Theorem assaascl0 30973

Description: The scalar 0 embedded into an associative algebra corresponds to the 0 of the associative algebra. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	|- A = (algSc ` W )
ascl0.f	|- F = (Scalar ` W )
assaascl0.a	|- ( ph -> W e. AssAlg )

Assertion

Ref	Expression
assaascl0	|- ( ph -> ( A ` ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` W ) )

Proof of Theorem assaascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.a	. 2 |- A = (algSc ` W )
2		ascl0.f	. 2 |- F = (Scalar ` W )
3		assaascl0.a	. . 3 |- ( ph -> W e. AssAlg )
4		assalmod 17515	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> W e. LMod )
6		assarng 17516	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
7	3, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> W e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	ascl0 30971	1 |- ( ph -> ( A ` ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5527  Scalarcsca 14361   0gc0g 14498   Ringcrg 16769   LModclmod 17072  AssAlgcasa 17505  algSccascl 17507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-lmod 17074  df-assa 17508  df-ascl 17510

This theorem is referenced by: (None)