Theorem assaascl0 33218

Description: The scalar 0 embedded into an associative algebra corresponds to the 0 of the associative algebra. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	|- A = (algSc ` W )
ascl0.f	|- F = (Scalar ` W )
assaascl0.a	|- ( ph -> W e. AssAlg )

Assertion

Ref	Expression
assaascl0	|- ( ph -> ( A ` ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` W ) )

Proof of Theorem assaascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.a	. 2 |- A = (algSc ` W )
2		ascl0.f	. 2 |- F = (Scalar ` W )
3		assaascl0.a	. . 3 |- ( ph -> W e. AssAlg )
4		assalmod 18104	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> W e. LMod )
6		assaring 18105	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
7	3, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> W e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	ascl0 33216	1 |- ( ph -> ( A ` ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1399   e. wcel 1836   ` cfv 5513  Scalarcsca 14728   0gc0g 14870   Ringcrg 17334   LModclmod 17648  AssAlgcasa 18094  algSccascl 18096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-plusg 14738  df-0g 14872  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-grp 16197  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-lmod 17650  df-assa 18097  df-ascl 18099

This theorem is referenced by: (None)