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Theorem assa2ass 17782
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
assa2ass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
assa2ass.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
assa2ass.m  |-  .*  =  ( .r `  F )
assa2ass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
assa2ass.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
Assertion
Ref Expression
assa2ass  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  W  e. AssAlg )
2 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
323ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  C  e.  B )
4 assalmod 17779 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
5 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  ->  A  e.  B )
6 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
7 assa2ass.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 assa2ass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 assa2ass.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 assa2ass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
117, 8, 9, 10lmodvscl 17341 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
124, 5, 6, 11syl3an 1270 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
13 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
14133ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  Y  e.  V )
15 assa2ass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
167, 8, 10, 9, 15assaassr 17778 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( C  e.  B  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( C  .x.  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
) ) )
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( C  .x.  (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
187, 8, 10, 9, 15assaass 17777 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( C  e.  B  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( C  .x.  ( A  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( C  .x.  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
) ) )
1918eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( C  e.  B  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( C  .x.  (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )
)  =  ( ( C  .x.  ( A 
.x.  X ) ) 
.X.  Y ) )
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( C  .x.  ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  ( A  .x.  X ) )  .X.  Y )
)
2143ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  W  e.  LMod )
2253ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  A  e.  B )
2363ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  X  e.  V )
24 assa2ass.m . . . . . . 7  |-  .*  =  ( .r `  F )
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 17349 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  B  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( C  .*  A )  .x.  X )  =  ( C  .x.  ( A 
.x.  X ) ) )
2625eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  B  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( C  .x.  ( A  .x.  X
) )  =  ( ( C  .*  A
)  .x.  X )
)
2726oveq1d 6300 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  B  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( C  .x.  ( A  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( ( ( C  .*  A )  .x.  X
)  .X.  Y )
)
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( C  .x.  ( A  .x.  X ) ) 
.X.  Y )  =  ( ( ( C  .*  A )  .x.  X )  .X.  Y
) )
298assasca 17781 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  CRing )
30 crngrng 17022 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  Ring )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  F  e.  Ring )
332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  C  e.  B )
345adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  A  e.  B )
3510, 24rngcl 17025 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  C  e.  B  /\  A  e.  B )  ->  ( C  .*  A )  e.  B )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  ( C  .*  A )  e.  B
)
37363adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( C  .*  A )  e.  B )
387, 8, 10, 9, 15assaass 17777 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
( C  .*  A
)  e.  B  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( C  .*  A
)  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( C  .*  A
)  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
391, 37, 23, 14, 38syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( ( C  .*  A )  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
4028, 39eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( C  .x.  ( A  .x.  X ) ) 
.X.  Y )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
4117, 20, 403eqtrd 2512 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   .rcmulr 14559  Scalarcsca 14561   .scvsca 14562   Ringcrg 17012   CRingccrg 17013   LModclmod 17324  AssAlgcasa 17769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-plusg 14571  df-mnd 15735  df-mgp 16956  df-rng 17014  df-cring 17015  df-lmod 17326  df-assa 17772
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  19182
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