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Theorem assa2ass 18487
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
assa2ass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
assa2ass.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
assa2ass.m  |-  .*  =  ( .r `  F )
assa2ass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
assa2ass.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
Assertion
Ref Expression
assa2ass  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  W  e. AssAlg )
2 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
323ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  C  e.  B )
4 assalmod 18484 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
5 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  ->  A  e.  B )
6 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
7 assa2ass.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 assa2ass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 assa2ass.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 assa2ass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
117, 8, 9, 10lmodvscl 18049 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
124, 5, 6, 11syl3an 1306 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
13 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
14133ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  Y  e.  V )
15 assa2ass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
167, 8, 10, 9, 15assaassr 18483 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( C  e.  B  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( C  .x.  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
) ) )
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1266 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( C  .x.  (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
187, 8, 10, 9, 15assaass 18482 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( C  e.  B  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( C  .x.  ( A  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( C  .x.  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
) ) )
1918eqcomd 2428 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( C  e.  B  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( C  .x.  (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )
)  =  ( ( C  .x.  ( A 
.x.  X ) ) 
.X.  Y ) )
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1266 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( C  .x.  ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  ( A  .x.  X ) )  .X.  Y )
)
2143ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  W  e.  LMod )
2253ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  A  e.  B )
2363ad2ant3 1028 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  X  e.  V )
24 assa2ass.m . . . . . . 7  |-  .*  =  ( .r `  F )
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 18057 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  B  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( C  .*  A )  .x.  X )  =  ( C  .x.  ( A 
.x.  X ) ) )
2625eqcomd 2428 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  B  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( C  .x.  ( A  .x.  X
) )  =  ( ( C  .*  A
)  .x.  X )
)
2726oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  B  /\  A  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( C  .x.  ( A  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( ( ( C  .*  A )  .x.  X
)  .X.  Y )
)
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( C  .x.  ( A  .x.  X ) ) 
.X.  Y )  =  ( ( ( C  .*  A )  .x.  X )  .X.  Y
) )
298assasca 18486 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  CRing )
30 crngring 17732 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
3129, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  Ring )
3231adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  F  e.  Ring )
332adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  C  e.  B )
345adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  A  e.  B )
3510, 24ringcl 17735 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  C  e.  B  /\  A  e.  B )  ->  ( C  .*  A )  e.  B )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )
)  ->  ( C  .*  A )  e.  B
)
37363adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( C  .*  A )  e.  B )
387, 8, 10, 9, 15assaass 18482 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
( C  .*  A
)  e.  B  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( C  .*  A
)  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( C  .*  A
)  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
391, 37, 23, 14, 38syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( ( C  .*  A )  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
4028, 39eqtrd 2461 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( C  .x.  ( A  .x.  X ) ) 
.X.  Y )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
4117, 20, 403eqtrd 2465 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  C  e.  B )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  ( C  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .*  A )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15081   .rcmulr 15151  Scalarcsca 15153   .scvsca 15154   Ringcrg 17721   CRingccrg 17722   LModclmod 18032  AssAlgcasa 18474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-plusg 15163  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mgp 17665  df-ring 17723  df-cring 17724  df-lmod 18034  df-assa 18477
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  19835
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