Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspval2 Structured version   Unicode version

Theorem aspval2 18314
 Description: The algebraic closure is the ring closure when the generating set is expanded to include all scalars. EDITORIAL : In light of this, is AlgSpan independently needed? (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval2.a AlgSpan
aspval2.c algSc
aspval2.r mrClsSubRing
aspval2.v
Assertion
Ref Expression
aspval2 AssAlg

Proof of Theorem aspval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3625 . . . . . . . . 9 SubRing SubRing
21anbi1i 693 . . . . . . . 8 SubRing SubRing
3 anass 647 . . . . . . . 8 SubRing SubRing
42, 3bitri 249 . . . . . . 7 SubRing SubRing
5 aspval2.c . . . . . . . . . . 11 algSc
6 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
75, 6issubassa2 18312 . . . . . . . . . 10 AssAlg SubRing
87anbi1d 703 . . . . . . . . 9 AssAlg SubRing
9 unss 3616 . . . . . . . . 9
108, 9syl6bb 261 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing
1110pm5.32da 639 . . . . . . 7 AssAlg SubRing SubRing
124, 11syl5bb 257 . . . . . 6 AssAlg SubRing SubRing
1312abbidv 2538 . . . . 5 AssAlg SubRing SubRing
1413adantr 463 . . . 4 AssAlg SubRing SubRing
15 df-rab 2762 . . . 4 SubRing SubRing
16 df-rab 2762 . . . 4 SubRing SubRing
1714, 15, 163eqtr4g 2468 . . 3 AssAlg SubRing SubRing
1817inteqd 4231 . 2 AssAlg SubRing SubRing
19 aspval2.a . . 3 AlgSpan
20 aspval2.v . . 3
2119, 20, 6aspval 18295 . 2 AssAlg SubRing
22 assaring 18287 . . . . 5 AssAlg
2320subrgmre 17771 . . . . 5 SubRing Moore
2422, 23syl 17 . . . 4 AssAlg SubRing Moore
2524adantr 463 . . 3 AssAlg SubRing Moore
26 eqid 2402 . . . . . . 7 Scalar Scalar
27 assalmod 18286 . . . . . . 7 AssAlg
28 eqid 2402 . . . . . . 7 Scalar Scalar
295, 26, 22, 27, 28, 20asclf 18304 . . . . . 6 AssAlg Scalar
30 frn 5719 . . . . . 6 Scalar
3129, 30syl 17 . . . . 5 AssAlg
3231adantr 463 . . . 4 AssAlg
33 simpr 459 . . . 4 AssAlg
3432, 33unssd 3618 . . 3 AssAlg
35 aspval2.r . . . 4 mrClsSubRing
3635mrcval 15222 . . 3 SubRing Moore SubRing
3725, 34, 36syl2anc 659 . 2 AssAlg SubRing
3818, 21, 373eqtr4d 2453 1 AssAlg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cab 2387  crab 2757   cun 3411   cin 3412   wss 3413  cint 4226   crn 4823  wf 5564  cfv 5568  cbs 14839  Scalarcsca 14910  Moorecmre 15194  mrClscmrc 15195  crg 17516  SubRingcsubrg 17743  clss 17896  AssAlgcasa 18276  AlgSpancasp 18277  algSccascl 18278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-assa 18279  df-asp 18280  df-ascl 18281 This theorem is referenced by:  evlseu  18503
 Copyright terms: Public domain W3C validator