MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspsubrg Structured version   Unicode version

Theorem aspsubrg 17424
Description: The algebraic span of a set of vectors is a subring of the algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
aspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
aspsubrg  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  e.  (SubRing `  W )
)

Proof of Theorem aspsubrg
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . 3  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
2 aspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
41, 2, 3aspval 17421 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }
)
5 ssrab2 3458 . . . 4  |-  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  C_  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )
6 inss1 3591 . . . 4  |-  ( (SubRing `  W )  i^i  ( LSubSp `
 W ) ) 
C_  (SubRing `  W )
75, 6sstri 3386 . . 3  |-  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  C_  (SubRing `  W )
8 fvex 5722 . . . . 5  |-  ( A `
 S )  e. 
_V
94, 8syl6eqelr 2532 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  e.  _V )
10 intex 4469 . . . 4  |-  ( { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  ( LSubSp `
 W ) )  |  S  C_  t }  =/=  (/)  <->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  e.  _V )
119, 10sylibr 212 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  =/=  (/) )
12 subrgint 16909 . . 3  |-  ( ( { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  ( LSubSp `  W )
)  |  S  C_  t }  C_  (SubRing `  W
)  /\  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  =/=  (/) )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  e.  (SubRing `  W )
)
137, 11, 12sylancr 663 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  ( LSubSp `  W ) )  |  S  C_  t }  e.  (SubRing `  W )
)
144, 13eqeltrd 2517 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  e.  (SubRing `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   |^|cint 4149   ` cfv 5439   Basecbs 14195  SubRingcsubrg 16883   LSubSpclss 17035  AssAlgcasa 17403  AlgSpancasp 17404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-subg 15699  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-subrg 16885  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-assa 17406  df-asp 17407
This theorem is referenced by:  mplbas2  17573  mplbas2OLD  17574
  Copyright terms: Public domain W3C validator