MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspid Structured version   Unicode version

Theorem aspid 17399
Description: The algebraic span of a subalgebra is itself. (spanid 24748 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
aspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
aspval.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
aspid  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( A `  S )  =  S )

Proof of Theorem aspid
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  W  e. AssAlg )
2 aspval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
32subrgss 16864 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  S  C_  V
)
433ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  S  C_  V
)
5 aspval.a . . . 4  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
6 aspval.l . . . 4  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
75, 2, 6aspval 17397 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } )
81, 4, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t } )
9 3simpc 987 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
) )
10 elin 3537 . . . 4  |-  ( S  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  <->  ( S  e.  (SubRing `  W
)  /\  S  e.  L ) )
119, 10sylibr 212 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  S  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L ) )
12 intmin 4146 . . 3  |-  ( S  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  =  S )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  =  S )
148, 13eqtrd 2473 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( A `  S )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717    i^i cin 3325    C_ wss 3326   |^|cint 4126   ` cfv 5416   Basecbs 14172  SubRingcsubrg 16859   LSubSpclss 17011  AssAlgcasa 17379  AlgSpancasp 17380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-subrg 16861  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-assa 17382  df-asp 17383
This theorem is referenced by:  mplbas2  17549  mplbas2OLD  17550  mplind  17582
  Copyright terms: Public domain W3C validator