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Theorem asinsin 20685
Description: The arcsine function composed with  sin is equal to the identity. This plus sinasin 20682 allow us to view  sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when  A  =  ( pi 
/  2 )  -  _i y for non-negative real  y and also symmetrically at  A  =  _i y  -  ( pi  / 
2 ). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval  [ -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) ], not just the open interval (see reasinsin 20689). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem asinsin
StepHypRef Expression
1 sincl 12682 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
3 asinval 20675 . . 3  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5 ax-icn 9005 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 mulcl 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
75, 2, 6sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
8 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
9 mulcl 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
105, 8, 9sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 12640 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
137, 12pncan3d 9370 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )
1412, 7subcld 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
15 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
162sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
17 subcl 9261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
19 binom2sub 11453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2012, 7, 19syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2112sqvald 11475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
22 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
2423, 12, 7mul12d 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2521, 24oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
26 coscl 12683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
28 subsq 11443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
2927, 7, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  x.  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
30 sqmul 11400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
315, 2, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
32 i2 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
3332oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3416mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3533, 34syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3631, 35eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3736oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
3827sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
3938, 16subnegd 9374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
4038, 16addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
4137, 39, 403eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
42 efival 12708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4472timesd 10166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4543, 44oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
4627, 7, 7pnpcan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4745, 46eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4843, 47oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
49 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5022, 7, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5112, 12, 50subdid 9445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5248, 51eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5329, 41, 523eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
54 sincossq 12732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  1 )
5625, 53, 553eqtr2d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  1 )
5756, 36oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
58 negsub 9305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
5915, 16, 58sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  + 
-u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
6020, 57, 593eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
61 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
6261rehalfcli 10172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
645negcli 9324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u _i  e.  CC
65 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6664, 8, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
67 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
6912, 68addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
7069recld 11954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
71 halfgt0 10144 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
1  /  2 ) )
7312recld 11954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
7468recld 11954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
75 asinsinlem 20684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
76 negcl 9262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
78 reneg 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
80 recl 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
81 pire 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  pi  e.  RR
8281rehalfcli 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
8382renegcli 9318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
84 iooneg 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8583, 82, 84mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8786biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) )
8882recni 9058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
8988negnegi 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u (
pi  /  2 )  =  ( pi  / 
2 )
9089oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) )  =  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )
9187, 90syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
9279, 91eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
93 asinsinlem 20684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  0  <  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
9477, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
95 mulneg12 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
965, 8, 95sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
9796fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) )
9897fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) ) ) )
9994, 98breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
10073, 74, 75, 99addgt0d 9557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10112, 68readdd 11974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
102100, 101breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10363, 70, 72, 102mulgt0d 9181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
104 cosval 12679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
105104adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
106 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  =/=  0
)
10869, 23, 107divrec2d 9750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
109105, 108eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
110109fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
111 remul2 11890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
11262, 69, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
113110, 112eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
114103, 113breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( cos `  A ) ) )
11543oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11627, 7pncand 9368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
117115, 116eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
118117fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( Re `  ( cos `  A ) ) )
119114, 118breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
12014, 18, 60, 119eqsqr2d 12127 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
121120oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
12213, 121eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
123122fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12481renegcli 9318 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
12683a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  e.  RR )
127 elioore 10902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
128127adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
129 pipos 20326 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
13081, 129elrpii 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
131 rphalflt 10594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
132130, 131ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
13382, 81ltnegi 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( pi  /  2
) )
134132, 133mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <  -u ( pi  / 
2 )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  -u (
pi  /  2 ) )
136 eliooord 10926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
137136adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
138137simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
139125, 126, 128, 135, 138lttrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Re `  A )
)
140 imre 11868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
14110, 140syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
1425, 5mulneg1i 9435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
143 ixi 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
144143negeqi 9255 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
14515negnegi 9326 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
146142, 144, 1453eqtri 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
147146oveq1i 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( 1  x.  A )
14864a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
1495a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
150148, 149, 8mulassd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  A )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )
151 mulid2 9045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
152151adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
153147, 150, 1523eqtr3a 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) )  =  A )
154153fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( Re `  A ) )
155141, 154eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  A ) )
156139, 155breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
15781a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
15882a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  e.  RR )
159137simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
160132a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  <  pi )
161128, 158, 157, 159, 160lttrd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  pi )
162128, 157, 161ltled 9177 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <_  pi )
163155, 162eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi )
164 ellogrn 20410 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  A )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  A )
)  /\  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi ) )
16510, 156, 163, 164syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  ran  log )
166 logef 20429 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
167165, 166syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
168123, 167eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
169168oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
1704, 169, 1533eqtrd 2440 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   sqrcsqr 11993   expce 12619   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624   logclog 20405  arcsincasin 20655
This theorem is referenced by:  acoscos  20686  reasinsin  20689  asinsinb  20690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-asin 20658
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