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Theorem asinneg 23195
Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )

Proof of Theorem asinneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9554 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 9579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5 sqcl 12212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6 subcl 9824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
87sqrtcld 13250 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
93, 8addcld 9618 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
10 asinlem 23177 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
119, 10logcld 22936 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
12 efneg 13815 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
14 eflog 22942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
159, 10, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
1615oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
17 asinlem2 23178 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
19 negcl 9825 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
20 mulcl 9579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
211, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  e.  CC )
2219sqcld 12290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )
23 subcl 9824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
244, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
2524sqrtcld 13250 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  e.  CC )
2621, 25addcld 9618 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2718, 9, 26, 10divmuld 10349 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  <->  ( (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 ) )
2817, 27mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2913, 16, 283eqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
30 asinlem 23177 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3119, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3211negcld 9923 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3311imnegd 13025 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3411imcld 13010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
3534renegcld 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
369renegd 13024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
37 asinlem3 23180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
389recld 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
3938le0neg2d 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )  <->  -u ( Re
`  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4037, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
4136, 40eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
429negcld 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
4342recld 13009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
44 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
45 lenlt 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4643, 44, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4741, 46mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
48 lognegb 22952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
499, 10, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
50 rpgt0 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
51 rpre 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
5251rered 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5350, 52breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
5449, 53syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi  ->  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5554necon3bd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  0  <  ( Re
`  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =/=  pi ) )
5647, 55mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =/= 
pi )
5756necomd 2714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
58 pire 22829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  e.  RR )
609, 10logimcld 22937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
6160simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
6234, 59, 61leltned 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
6357, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  < 
pi )
64 ltneg 10059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6534, 58, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6663, 65mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6760simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6858renegcli 9885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
69 ltle 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
7068, 34, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
72 lenegcon1 10063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7358, 34, 72sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7471, 73mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
7568rexri 9649 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
76 elioc2 11598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) ) )
7775, 58, 76mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7835, 66, 74, 77syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
7933, 78eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
80 imf 12928 . . . . . . . . 9  |-  Im : CC
--> RR
81 ffn 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
82 elpreima 5992 . . . . . . . . 9  |-  ( Im  Fn  CC  ->  ( -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) ) )
8380, 81, 82mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) )
8432, 79, 83sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) ) )
85 logrn 22924 . . . . . . 7  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
8684, 85syl6eleqr 2542 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )
87 logeftb 22946 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0  /\  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
8826, 31, 86, 87syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
8929, 88mpbird 232 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
9089oveq2d 6297 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
91 negicn 9826 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
92 mulneg2 10001 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9391, 11, 92sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9490, 93eqtrd 2484 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
95 asinval 23191 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9619, 95syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
97 asinval 23191 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9897negeqd 9819 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (arcsin `  A )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9994, 96, 983eqtr4d 2494 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   ran crn 4990   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497    + caddc 9498    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   RR+crp 11231   (,]cioc 11541   ^cexp 12148   Recre 12912   Imcim 12913   sqrcsqrt 13048   expce 13779   picpi 13784   logclog 22920  arcsincasin 23171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-asin 23174
This theorem is referenced by:  acosneg  23196  sinasin  23198  reasinsin  23205  cosasin  23213  areacirc  30088
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