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Theorem asinneg 22240
Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )

Proof of Theorem asinneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9337 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 665 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5 sqcl 11924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6 subcl 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
87sqrcld 12919 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
93, 8addcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
10 asinlem 22222 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
119, 10logcld 21981 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
12 efneg 13378 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
14 eflog 21987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
159, 10, 14syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
1615oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
17 asinlem2 22223 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
19 negcl 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
20 mulcl 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
211, 19, 20sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  e.  CC )
2219sqcld 12002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )
23 subcl 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
244, 22, 23sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
2524sqrcld 12919 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  e.  CC )
2621, 25addcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2718, 9, 26, 10divmuld 10125 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  <->  ( (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 ) )
2817, 27mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2913, 16, 283eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
30 asinlem 22222 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3119, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3211negcld 9702 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3311imnegd 12695 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3411imcld 12680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
3534renegcld 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
369renegd 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
37 asinlem3 22225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
389recld 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
3938le0neg2d 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )  <->  -u ( Re
`  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4037, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
4136, 40eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
429negcld 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
4342recld 12679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
44 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
45 lenlt 9449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4643, 44, 45sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4741, 46mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
48 lognegb 21997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
499, 10, 48syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
50 rpgt0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
51 rpre 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
5251rered 12709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5350, 52breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
5449, 53syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi  ->  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5554necon3bd 2643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  0  <  ( Re
`  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =/=  pi ) )
5647, 55mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =/= 
pi )
5756necomd 2693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
58 pire 21880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  e.  RR )
609, 10logimcld 21982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
6160simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
6234, 59, 61leltned 9521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
6357, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  < 
pi )
64 ltneg 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6534, 58, 64sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6663, 65mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6760simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6858renegcli 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
69 ltle 9459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
7068, 34, 69sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
72 lenegcon1 9839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7358, 34, 72sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7471, 73mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
7568rexri 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
76 elioc2 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) ) )
7775, 58, 76mp2an 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7835, 66, 74, 77syl3anbrc 1167 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
7933, 78eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
80 imf 12598 . . . . . . . . 9  |-  Im : CC
--> RR
81 ffn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
82 elpreima 5820 . . . . . . . . 9  |-  ( Im  Fn  CC  ->  ( -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) ) )
8380, 81, 82mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) )
8432, 79, 83sylanbrc 659 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) ) )
85 logrn 21969 . . . . . . 7  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
8684, 85syl6eleqr 2532 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )
87 logeftb 21991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0  /\  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
8826, 31, 86, 87syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
8929, 88mpbird 232 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
9089oveq2d 6106 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
91 negicn 9607 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
92 mulneg2 9778 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9391, 11, 92sylancr 658 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9490, 93eqtrd 2473 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
95 asinval 22236 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9619, 95syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
97 asinval 22236 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9897negeqd 9600 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (arcsin `  A )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9994, 96, 983eqtr4d 2483 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   ran crn 4837   "cima 4839    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   (,]cioc 11297   ^cexp 11861   Recre 12582   Imcim 12583   sqrcsqr 12718   expce 13343   picpi 13348   logclog 21965  arcsincasin 22216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-asin 22219
This theorem is referenced by:  acosneg  22241  sinasin  22243  reasinsin  22250  cosasin  22258  areacirc  28414
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