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Theorem asinneg 20679
Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )

Proof of Theorem asinneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9005 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5 sqcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6 subcl 9261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
87sqrcld 12194 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
93, 8addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
10 asinlem 20661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
119, 10logcld 20421 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
12 efneg 12654 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
14 eflog 20427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
159, 10, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
1615oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
17 asinlem2 20662 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
19 negcl 9262 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
20 mulcl 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
211, 19, 20sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  e.  CC )
2219sqcld 11476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )
23 subcl 9261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
244, 22, 23sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
2524sqrcld 12194 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  e.  CC )
2621, 25addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2718, 9, 26, 10divmuld 9768 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  <->  ( (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 ) )
2817, 27mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2913, 16, 283eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
30 asinlem 20661 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3119, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3211negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3311imnegd 11970 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3411imcld 11955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
3534renegcld 9420 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
369renegd 11969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
37 asinlem3 20664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
389recld 11954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
3938le0neg2d 9555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )  <->  -u ( Re
`  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4037, 39mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
4136, 40eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
429negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
4342recld 11954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
44 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
45 lenlt 9110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4643, 44, 45sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4741, 46mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
48 lognegb 20437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
499, 10, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
50 rpgt0 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
51 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
5251rered 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5350, 52breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
5449, 53syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi  ->  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5554necon3bd 2604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  0  <  ( Re
`  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =/=  pi ) )
5647, 55mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =/= 
pi )
5756necomd 2650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
58 pire 20325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  e.  RR )
609, 10logimcld 20422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
6160simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
6234, 59, 61leltned 9180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
6357, 62mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  < 
pi )
64 ltneg 9484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6534, 58, 64sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6663, 65mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6760simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6858renegcli 9318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
69 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
7068, 34, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
72 lenegcon1 9488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7358, 34, 72sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7471, 73mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
7568rexri 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
76 elioc2 10929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) ) )
7775, 58, 76mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7835, 66, 74, 77syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
7933, 78eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
80 imf 11873 . . . . . . . . 9  |-  Im : CC
--> RR
81 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
82 elpreima 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( Im  Fn  CC  ->  ( -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) ) )
8380, 81, 82mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) )
8432, 79, 83sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) ) )
85 logrn 20409 . . . . . . 7  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
8684, 85syl6eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )
87 logeftb 20431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0  /\  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
8826, 31, 86, 87syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
8929, 88mpbird 224 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
9089oveq2d 6056 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
911negcli 9324 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
92 mulneg2 9427 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9391, 11, 92sylancr 645 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9490, 93eqtrd 2436 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
95 asinval 20675 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9619, 95syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
97 asinval 20675 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9897negeqd 9256 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (arcsin `  A )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9994, 96, 983eqtr4d 2446 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   sqrcsqr 11993   expce 12619   picpi 12624   logclog 20405  arcsincasin 20655
This theorem is referenced by:  acosneg  20680  sinasin  20682  reasinsin  20689  cosasin  20697  areacirc  26187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-asin 20658
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