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Theorem asinlem3a 23524
Description: Lemma for asinlem3 23525. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 13091 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
32renegcld 10026 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  e.  RR )
4 ax-1cn 9579 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 sqcl 12273 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
65adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
7 subcl 9854 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
98sqrtcld 13415 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
109recld 13174 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
111le0neg1d 10163 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( Im `  A ) ) )
1211biimpa 482 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  -u ( Im
`  A ) )
138sqrtrege0d 13416 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
143, 10, 12, 13addge0d 10167 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( -u (
Im `  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
15 ax-icn 9580 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
16 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
17 mulcl 9605 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
1918, 9readdd 13194 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
20 negicn 9856 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
21 mulcl 9605 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
2220, 16, 21sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u _i  x.  A
)  e.  CC )
2322renegd 13189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  -u ( -u _i  x.  A ) )  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
2415negnegi 9924 . . . . . . . 8  |-  -u -u _i  =  _i
2524oveq1i 6287 . . . . . . 7  |-  ( -u -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  A )
26 mulneg1 10033 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u -u _i  x.  A )  =  -u ( -u _i  x.  A
) )
2720, 16, 26sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u -u _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2825, 27syl5eqr 2457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2928fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  ( Re
`  -u ( -u _i  x.  A ) ) )
30 imre 13088 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
3130adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  =  ( Re
`  ( -u _i  x.  A ) ) )
3231negeqd 9849 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
3323, 29, 323eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  -u (
Im `  A )
)
3433oveq1d 6292 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3519, 34eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3614, 35breqtrrd 4420 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522   _ici 9523    + caddc 9524    x. cmul 9526    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841   2c2 10625   ^cexp 12208   Recre 13077   Imcim 13078   sqrcsqrt 13213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216
This theorem is referenced by:  asinlem3  23525
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