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Theorem asinlem3a 22922
Description: Lemma for asinlem3 22923. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 12894 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
32renegcld 9975 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  e.  RR )
4 ax-1cn 9539 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 sqcl 12185 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
7 subcl 9808 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
98sqrcld 13217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
109recld 12977 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
111le0neg1d 10113 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( Im `  A ) ) )
1211biimpa 484 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  -u ( Im
`  A ) )
138sqrrege0d 13218 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
143, 10, 12, 13addge0d 10117 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( -u (
Im `  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
15 ax-icn 9540 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
16 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
17 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
1918, 9readdd 12997 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
20 negicn 9810 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
21 mulcl 9565 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
2220, 16, 21sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u _i  x.  A
)  e.  CC )
2322renegd 12992 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  -u ( -u _i  x.  A ) )  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
2415negnegi 9878 . . . . . . . 8  |-  -u -u _i  =  _i
2524oveq1i 6285 . . . . . . 7  |-  ( -u -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  A )
26 mulneg1 9982 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u -u _i  x.  A )  =  -u ( -u _i  x.  A
) )
2720, 16, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u -u _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2825, 27syl5eqr 2515 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2928fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  ( Re
`  -u ( -u _i  x.  A ) ) )
30 imre 12891 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
3130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  =  ( Re
`  ( -u _i  x.  A ) ) )
3231negeqd 9803 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
3323, 29, 323eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  -u (
Im `  A )
)
3433oveq1d 6290 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3519, 34eqtrd 2501 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3614, 35breqtrrd 4466 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794   -ucneg 9795   2c2 10574   ^cexp 12122   Recre 12880   Imcim 12881   sqrcsqr 13016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019
This theorem is referenced by:  asinlem3  22923
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