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Theorem asinlem3 22151
Description: The argument to the logarithm in df-asin 22145 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0red 9375 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
2 imcl 12584 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
3 ax-icn 9329 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
4 negcl 9598 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
54adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u A  e.  CC )
6 mulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  -u A
)  e.  CC )
8 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
95sqcld 11990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A ^ 2 )  e.  CC )
10 subcl 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
1211sqrcld 12907 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
137, 12addcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
14 asinlem 22148 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
155, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
1613, 15absrpcld 12918 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
17 2z 10666 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
18 rpexpcl 11868 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
1916, 17, 18sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2019rprecred 11026 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2113cjcld 12669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2221recld 12667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2319rpreccld 11025 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
2423rpge0d 11019 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) ) )
25 imneg 12606 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
2625adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  =  -u (
Im `  A )
)
272le0neg2d 9900 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Im `  A )  <->  -u ( Im
`  A )  <_ 
0 ) )
2827biimpa 481 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im `  A
)  <_  0 )
2926, 28eqbrtrd 4300 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  <_  0 )
30 asinlem3a 22150 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Im `  -u A
)  <_  0 )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
315, 29, 30syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3213recjd 12677 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3331, 32breqtrrd 4306 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3420, 22, 24, 33mulge0d 9904 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
35 recval 12794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
3613, 15, 35syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
37 asinlem2 22149 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3837adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3938eqcomd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  =  ( ( ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
408a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
41 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
42 mulcl 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
433, 41, 42sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
44 sqcl 11912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4544adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
46 subcl 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
478, 45, 46sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4847sqrcld 12907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4943, 48addcld 9393 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
5040, 49, 13, 15divmul3d 10129 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5139, 50mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5219rpcnd 11017 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
5319rpne0d 11020 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
5421, 52, 53divrec2d 10099 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5536, 51, 543eqtr3d 2473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5655fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5720, 21remul2d 12700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5856, 57eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5934, 58breqtrrd 4306 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
60 asinlem3a 22150 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
611, 2, 59, 60lecasei 9468 1  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271   _ici 9272    + caddc 9273    x. cmul 9275    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   2c2 10359   ZZcz 10634   RR+crp 10979   ^cexp 11849   *ccj 12569   Recre 12570   Imcim 12571   sqrcsqr 12706   abscabs 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709
This theorem is referenced by:  asinneg  22166  asinbnd  22179  dvasin  28324
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