MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3 Structured version   Unicode version

Theorem asinlem3 22241
Description: The argument to the logarithm in df-asin 22235 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0red 9379 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
2 imcl 12592 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
3 ax-icn 9333 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
4 negcl 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
54adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u A  e.  CC )
6 mulcl 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  -u A
)  e.  CC )
8 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
95sqcld 11998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A ^ 2 )  e.  CC )
10 subcl 9601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
1211sqrcld 12915 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
137, 12addcld 9397 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
14 asinlem 22238 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
155, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
1613, 15absrpcld 12926 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
17 2z 10670 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
18 rpexpcl 11876 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2019rprecred 11030 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2113cjcld 12677 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2221recld 12675 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2319rpreccld 11029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
2423rpge0d 11023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) ) )
25 imneg 12614 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
2625adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  =  -u (
Im `  A )
)
272le0neg2d 9904 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Im `  A )  <->  -u ( Im
`  A )  <_ 
0 ) )
2827biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im `  A
)  <_  0 )
2926, 28eqbrtrd 4307 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  <_  0 )
30 asinlem3a 22240 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Im `  -u A
)  <_  0 )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
315, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3213recjd 12685 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3331, 32breqtrrd 4313 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3420, 22, 24, 33mulge0d 9908 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
35 recval 12802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
3613, 15, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
37 asinlem2 22239 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3938eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  =  ( ( ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
408a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
41 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
42 mulcl 9358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
433, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
44 sqcl 11920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
46 subcl 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
478, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4847sqrcld 12915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4943, 48addcld 9397 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
5040, 49, 13, 15divmul3d 10133 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5139, 50mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5219rpcnd 11021 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
5319rpne0d 11024 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
5421, 52, 53divrec2d 10103 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5536, 51, 543eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5655fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5720, 21remul2d 12708 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5856, 57eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5934, 58breqtrrd 4313 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
60 asinlem3a 22240 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
611, 2, 59, 60lecasei 9472 1  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   2c2 10363   ZZcz 10638   RR+crp 10983   ^cexp 11857   *ccj 12577   Recre 12578   Imcim 12579   sqrcsqr 12714   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  asinneg  22256  asinbnd  22269  dvasin  28433
  Copyright terms: Public domain W3C validator