Theorem asinlem 23065

Description: The argument to the logarithm in df-asin 23062 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem	|- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )

Proof of Theorem asinlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9563	. . . 4 |- _i e. CC
2		mulcl 9588	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
3	1, 2	mpan 670	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
4		ax-1cn 9562	. . . . 5 |- 1 e. CC
5		sqcl 12210	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
6		subcl 9831	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
7	4, 5, 6	sylancr 663	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
8	7	sqrtcld 13248	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) e. CC )
9	3, 8	subnegd 9949	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) - -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
10	8	negcld 9929	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) e. CC )
11		0ne1 10615	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
12		0cnd 9601	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
13	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 1 e. CC )
14		subcan2 9856	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 0 - ( A ^ 2 ) ) = ( 1 - ( A ^ 2 ) ) <-> 0 = 1 ) )
15	14	necon3bid 2725	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 0 - ( A ^ 2 ) ) =/= ( 1 - ( A ^ 2 ) ) <-> 0 =/= 1 ) )
16	12, 13, 5, 15	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( 0 - ( A ^ 2 ) ) =/= ( 1 - ( A ^ 2 ) ) <-> 0 =/= 1 ) )
17	11, 16	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 0 - ( A ^ 2 ) ) =/= ( 1 - ( A ^ 2 ) ) )
18		sqmul 12211	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( _i x. A ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
19	1, 18	mpan 670	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
20		i2 12248	. . . . . . . . 9 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
21	20	oveq1i 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( _i ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. ( A ^ 2 ) )
22	5	mulm1d 10020	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( A ^ 2 ) ) = -u ( A ^ 2 ) )
23	21, 22	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( _i ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) = -u ( A ^ 2 ) )
24	19, 23	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) ^ 2 ) = -u ( A ^ 2 ) )
25		df-neg 9820	. . . . . 6 |- -u ( A ^ 2 ) = ( 0 - ( A ^ 2 ) )
26	24, 25	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) ^ 2 ) = ( 0 - ( A ^ 2 ) ) )
27		sqneg 12208	. . . . . . 7 |- ( ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) e. CC -> ( -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
28	8, 27	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
29	7	sqsqrtd 13250	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 - ( A ^ 2 ) ) )
30	28, 29	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 - ( A ^ 2 ) ) )
31	17, 26, 30	3netr4d 2772	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) ^ 2 ) =/= ( -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
32		oveq1 6302	. . . . 5 |- ( ( _i x. A ) = -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) -> ( ( _i x. A ) ^ 2 ) = ( -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
33	32	necon3i 2707	. . . 4 |- ( ( ( _i x. A ) ^ 2 ) =/= ( -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) -> ( _i x. A ) =/= -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) )
34	31, 33	syl 16	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) =/= -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) )
35	3, 10, 34	subne0d 9951	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) - -u ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
36	9, 35	eqnetrrd 2761	1 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506   + caddc 9507   x. cmul 9509   - cmin 9817   -ucneg 9818   2c2 10597   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049

This theorem is referenced by:  asinlem3  23068  asinf  23069  asinneg  23083  efiasin  23085  asinbnd  23096  dvasin  30030