MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Unicode version

Theorem asinlem 23065
Description: The argument to the logarithm in df-asin 23062 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9563 . . . 4  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 9588 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 ax-1cn 9562 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 sqcl 12210 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6 subcl 9831 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
87sqrtcld 13248 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
93, 8subnegd 9949 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
108negcld 9929 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
11 0ne1 10615 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
12 0cnd 9601 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
134a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
14 subcan2 9856 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( 0  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) )  <->  0  = 
1 ) )
1514necon3bid 2725 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( 0  -  ( A ^ 2 ) )  =/=  ( 1  -  ( A ^ 2 ) )  <->  0  =/=  1 ) )
1612, 13, 5, 15syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  ( A ^ 2 ) )  =/=  ( 1  -  ( A ^ 2 ) )  <->  0  =/=  1 ) )
1711, 16mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  -  ( A ^ 2 ) )  =/=  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
18 sqmul 12211 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
191, 18mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )
20 i2 12248 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
2120oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )
225mulm1d 10020 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
2321, 22syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
2419, 23eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  -u ( A ^
2 ) )
25 df-neg 9820 . . . . . 6  |-  -u ( A ^ 2 )  =  ( 0  -  ( A ^ 2 ) )
2624, 25syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  ( 0  -  ( A ^ 2 ) ) )
27 sqneg 12208 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC  ->  ( -u ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
288, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
297sqsqrtd 13250 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
3028, 29eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
3117, 26, 303netr4d 2772 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =/=  ( -u ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
32 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  =  -u ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  ->  ( (
_i  x.  A ) ^ 2 )  =  ( -u ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
3332necon3i 2707 . . . 4  |-  ( ( ( _i  x.  A
) ^ 2 )  =/=  ( -u ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ^
2 )  ->  (
_i  x.  A )  =/=  -u ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
3431, 33syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =/=  -u ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
353, 10, 34subne0d 9951 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
369, 35eqnetrrd 2761 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818   2c2 10597   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049
This theorem is referenced by:  asinlem3  23068  asinf  23069  asinneg  23083  efiasin  23085  asinbnd  23096  dvasin  30030
  Copyright terms: Public domain W3C validator