MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Unicode version

Theorem asin1 22946
Description: The arcsine of  1 is  pi 
/  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9539 . . 3  |-  1  e.  CC
2 asinval 22934 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  ->  (arcsin `  1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  (arcsin ` 
1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) )
4 ax-icn 9540 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54addid1i 9755 . . . . . 6  |-  ( _i  +  0 )  =  _i
64mulid1i 9587 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
7 sq1 12217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
87oveq2i 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 )
9 1m1e0 10593 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
108, 9eqtri 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  0
1110fveq2i 5860 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  0 )
12 sqr0 13025 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  0 )  =  0
1311, 12eqtri 2489 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  0
146, 13oveq12i 6287 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  +  0 )
15 efhalfpi 22590 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
165, 14, 153eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
1716fveq2i 5860 . . . 4  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
18 halfpire 22583 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1918recni 9597 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
204, 19mulcli 9590 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
21 pipos 22580 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
22 pire 22578 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
23 lt0neg2 10048 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -u pi  <  0
2622, 21elrpii 11212 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
27 rphalfcl 11233 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
29 rpgt0 11220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( pi  /  2
)
3122renegcli 9869 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
32 0re 9585 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3331, 32, 18lttri 9699 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  -u pi  <  (
pi  /  2 ) )
3425, 30, 33mp2an 672 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  ( pi  /  2
)
3520addid2i 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )
3635fveq2i 5860 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
3732, 18crimi 12976 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( pi  /  2
)
3836, 37eqtr3i 2491 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
3934, 38breqtrri 4465 . . . . . 6  |-  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
40 rphalflt 11235 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
4218, 22, 41ltleii 9696 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4338, 42eqbrtri 4459 . . . . . 6  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  <_  pi
44 ellogrn 22668 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <_  pi ) )
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1173 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e. 
ran  log
46 logef 22687 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . 4  |-  ( log `  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )
4817, 47eqtri 2489 . . 3  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )
4948oveq2i 6286 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )
504, 4mulneg1i 9991 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
51 ixi 10167 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
5251negeqi 9802 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
53 negneg1e1 10632 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
5450, 52, 533eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
5554oveq1i 6285 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
56 negicn 9810 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
5756, 4, 19mulassi 9594 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5855, 57eqtr3i 2491 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5919mulid2i 9588 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6058, 59eqtr3i 2491 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
613, 49, 603eqtri 2493 1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   -ucneg 9795    / cdiv 10195   2c2 10574   RR+crp 11209   ^cexp 12122   Imcim 12881   sqrcsqr 13016   expce 13648   picpi 13653   logclog 22663  arcsincasin 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-asin 22917
This theorem is referenced by:  acos1  22947  reasinsin  22948  areacirc  29676
  Copyright terms: Public domain W3C validator