MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Unicode version

Theorem asin1 23090
Description: The arcsine of  1 is  pi 
/  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9548 . . 3  |-  1  e.  CC
2 asinval 23078 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  ->  (arcsin `  1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  (arcsin ` 
1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) )
4 ax-icn 9549 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54addid1i 9765 . . . . . 6  |-  ( _i  +  0 )  =  _i
64mulid1i 9596 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
7 sq1 12236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
87oveq2i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 )
9 1m1e0 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
108, 9eqtri 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  0
1110fveq2i 5855 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  0 )
12 sqrt0 13049 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  0 )  =  0
1311, 12eqtri 2470 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  0
146, 13oveq12i 6289 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  +  0 )
15 efhalfpi 22729 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
165, 14, 153eqtr4i 2480 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
1716fveq2i 5855 . . . 4  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
18 halfpire 22722 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1918recni 9606 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
204, 19mulcli 9599 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
21 pipos 22718 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
22 pire 22716 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
23 lt0neg2 10060 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -u pi  <  0
26 pirp 22719 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
27 rphalfcl 11248 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
29 rpgt0 11235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( pi  /  2
)
3122renegcli 9880 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
32 0re 9594 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3331, 32, 18lttri 9708 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  -u pi  <  (
pi  /  2 ) )
3425, 30, 33mp2an 672 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  ( pi  /  2
)
3520addid2i 9766 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )
3635fveq2i 5855 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
3732, 18crimi 13000 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( pi  /  2
)
3836, 37eqtr3i 2472 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
3934, 38breqtrri 4458 . . . . . 6  |-  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
40 rphalflt 11250 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
4218, 22, 41ltleii 9705 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4338, 42eqbrtri 4452 . . . . . 6  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  <_  pi
44 ellogrn 22812 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <_  pi ) )
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1177 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e. 
ran  log
46 logef 22831 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . 4  |-  ( log `  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )
4817, 47eqtri 2470 . . 3  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )
4948oveq2i 6288 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )
504, 4mulneg1i 10003 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
51 ixi 10179 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
5251negeqi 9813 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
53 negneg1e1 10644 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
5450, 52, 533eqtri 2474 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
5554oveq1i 6287 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
56 negicn 9821 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
5756, 4, 19mulassi 9603 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5855, 57eqtr3i 2472 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5919mulid2i 9597 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6058, 59eqtr3i 2472 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
613, 49, 603eqtri 2474 1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433   ran crn 4986   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   _ici 9492    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10207   2c2 10586   RR+crp 11224   ^cexp 12140   Imcim 12905   sqrcsqrt 13040   expce 13670   picpi 13675   logclog 22807  arcsincasin 23058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-asin 23061
This theorem is referenced by:  acos1  23091  reasinsin  23092  areacirc  30080
  Copyright terms: Public domain W3C validator