MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Unicode version

Theorem asclval 18494
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclfval.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclfval.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclfval.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
asclfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
Assertion
Ref Expression
asclval  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )

Proof of Theorem asclval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6312 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
2 asclfval.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
3 asclfval.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 asclfval.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 asclfval.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 asclfval.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
72, 3, 4, 5, 6asclfval 18493 . 2  |-  A  =  ( x  e.  K  |->  ( x  .x.  .1.  ) )
8 ovex 6333 . 2  |-  ( X 
.x.  .1.  )  e.  _V
91, 7, 8fvmpt 5964 1  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   1rcur 17670  algSccascl 18470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-slot 15088  df-base 15089  df-ascl 18473
This theorem is referenced by:  asclghm  18497  asclmul1  18498  asclmul2  18499  asclrhm  18501  mplascl  18654  ply1scltm  18809  ply1scl0  18818  ply1scl1  18820  lply1binomsc  18836  pmatcollpwscmatlem1  19744  cayhamlem2  19839  ascl0  38929  ascl1  38930  ply1sclrmsm  38935
  Copyright terms: Public domain W3C validator