MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Unicode version

Theorem asclval 17406
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclfval.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclfval.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclfval.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
asclfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
Assertion
Ref Expression
asclval  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )

Proof of Theorem asclval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6098 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
2 asclfval.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
3 asclfval.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 asclfval.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 asclfval.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 asclfval.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
72, 3, 4, 5, 6asclfval 17405 . 2  |-  A  =  ( x  e.  K  |->  ( x  .x.  .1.  ) )
8 ovex 6116 . 2  |-  ( X 
.x.  .1.  )  e.  _V
91, 7, 8fvmpt 5774 1  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   1rcur 16603  algSccascl 17383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-slot 14178  df-base 14179  df-ascl 17386
This theorem is referenced by:  asclghm  17409  asclmul1  17410  asclmul2  17411  asclrhm  17412  mplascl  17578  ply1scltm  17734  ply1scl0  17742  ply1scl1  17744  ascl0  30815  ascl1  30816  ply1sclrmsm  30829  lply1binomsc  30852
  Copyright terms: Public domain W3C validator