Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclrhm Structured version   Unicode version

Theorem asclrhm 17865
 Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclrhm.a algSc
asclrhm.f Scalar
Assertion
Ref Expression
asclrhm AssAlg RingHom

Proof of Theorem asclrhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2
2 eqid 2443 . 2
3 eqid 2443 . 2
4 eqid 2443 . 2
5 eqid 2443 . 2
6 asclrhm.f . . . 4 Scalar
76assasca 17844 . . 3 AssAlg
8 crngring 17083 . . 3
97, 8syl 16 . 2 AssAlg
10 assaring 17843 . 2 AssAlg
111, 2ringidcl 17093 . . . 4
12 asclrhm.a . . . . 5 algSc
13 eqid 2443 . . . . 5
1412, 6, 1, 13, 3asclval 17858 . . . 4
159, 11, 143syl 20 . . 3 AssAlg
16 assalmod 17842 . . . 4 AssAlg
17 eqid 2443 . . . . . 6
1817, 3ringidcl 17093 . . . . 5
1910, 18syl 16 . . . 4 AssAlg
2017, 6, 13, 2lmodvs1 17414 . . . 4
2116, 19, 20syl2anc 661 . . 3 AssAlg
2215, 21eqtrd 2484 . 2 AssAlg
2317, 5, 3ringlidm 17096 . . . . . . . 8
2410, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . 7 AssAlg
2524adantr 465 . . . . . 6 AssAlg
2625oveq2d 6297 . . . . 5 AssAlg
2726oveq2d 6297 . . . 4 AssAlg
28 simpl 457 . . . . . 6 AssAlg AssAlg
29 simprl 756 . . . . . 6 AssAlg
3019adantr 465 . . . . . 6 AssAlg
3116adantr 465 . . . . . . 7 AssAlg
32 simprr 757 . . . . . . 7 AssAlg
3317, 6, 13, 1lmodvscl 17403 . . . . . . 7
3431, 32, 30, 33syl3anc 1229 . . . . . 6 AssAlg
3517, 6, 1, 13, 5assaass 17840 . . . . . 6 AssAlg
3628, 29, 30, 34, 35syl13anc 1231 . . . . 5 AssAlg
3717, 6, 1, 13, 5assaassr 17841 . . . . . . 7 AssAlg
3828, 32, 30, 30, 37syl13anc 1231 . . . . . 6 AssAlg
3938oveq2d 6297 . . . . 5 AssAlg
4036, 39eqtrd 2484 . . . 4 AssAlg
4117, 6, 13, 1, 4lmodvsass 17411 . . . . 5
4231, 29, 32, 30, 41syl13anc 1231 . . . 4 AssAlg
4327, 40, 423eqtr4rd 2495 . . 3 AssAlg
441, 4ringcl 17086 . . . . . 6
45443expb 1198 . . . . 5
469, 45sylan 471 . . . 4 AssAlg
4712, 6, 1, 13, 3asclval 17858 . . . 4
4846, 47syl 16 . . 3 AssAlg
4912, 6, 1, 13, 3asclval 17858 . . . . 5
5029, 49syl 16 . . . 4 AssAlg
5112, 6, 1, 13, 3asclval 17858 . . . . 5
5232, 51syl 16 . . . 4 AssAlg
5350, 52oveq12d 6299 . . 3 AssAlg
5443, 48, 533eqtr4d 2494 . 2 AssAlg
5512, 6, 10, 16asclghm 17861 . 2 AssAlg
561, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 22, 54, 55isrhm2d 17251 1 AssAlg RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14509  cmulr 14575  Scalarcsca 14577  cvsca 14578  cur 17027  crg 17072  ccrg 17073   RingHom crh 17235  clmod 17386  AssAlgcasa 17832  algSccascl 17834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-grp 15931  df-ghm 16139  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-rnghom 17238  df-lmod 17388  df-assa 17835  df-ascl 17837 This theorem is referenced by:  mplind  18041  evlslem1  18058  mpfind  18079  pf1ind  18265  mat2pmatmul  19105  mat2pmatlin  19109
 Copyright terms: Public domain W3C validator