MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclrhm Structured version   Unicode version

Theorem asclrhm 17538
Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclrhm.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclrhm.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
asclrhm  |-  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( F RingHom  W ) )

Proof of Theorem asclrhm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
2 eqid 2454 . 2  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
3 eqid 2454 . 2  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
4 eqid 2454 . 2  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
5 eqid 2454 . 2  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
6 asclrhm.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
76assasca 17519 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  CRing )
8 crngrng 16781 . . 3  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  F  e.  Ring )
10 assarng 17518 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
111, 2rngidcl 16791 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
12 asclrhm.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
13 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1412, 6, 1, 13, 3asclval 17532 . . . 4  |-  ( ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  ( 1r `  F
) )  =  ( ( 1r `  F
) ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
159, 11, 143syl 20 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( A `  ( 1r `  F ) )  =  ( ( 1r `  F ) ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )
16 assalmod 17517 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
17 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 3rngidcl 16791 . . . . 5  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  ( Base `  W
) )
1910, 18syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( 1r `  W )  e.  (
Base `  W )
)
2017, 6, 13, 2lmodvs1 17102 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  W )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) )  =  ( 1r `  W ) )
2116, 19, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  W ) ( 1r `  W
) )  =  ( 1r `  W ) )
2215, 21eqtrd 2495 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( A `  ( 1r `  F ) )  =  ( 1r
`  W ) )
2317, 5, 3rnglidm 16794 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  ( 1r `  W )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  W
) ( .r `  W ) ( 1r
`  W ) )  =  ( 1r `  W ) )
2410, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( W  e. AssAlg  ->  ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) ( 1r `  W
) )  =  ( 1r `  W ) )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) ( 1r `  W ) )  =  ( 1r
`  W ) )
2625oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) ( ( 1r `  W
) ( .r `  W ) ( 1r
`  W ) ) )  =  ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )
2726oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) ( y ( .s `  W ) ( ( 1r `  W ) ( .r `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )  =  ( x ( .s `  W
) ( y ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ) )
28 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  ->  W  e. AssAlg )
29 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  F ) )
3019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( 1r `  W
)  e.  ( Base `  W ) )
3116adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  ->  W  e.  LMod )
32 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  F ) )
3317, 6, 13, 1lmodvscl 17091 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 1r `  W )  e.  (
Base `  W )
)  ->  ( y
( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  e.  ( Base `  W
) )
3431, 32, 30, 33syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) )  e.  ( Base `  W ) )
3517, 6, 1, 13, 5assaass 17515 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  W )  e.  ( Base `  W
)  /\  ( y
( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( .r
`  W ) ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )  =  ( x ( .s `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) ( y ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
3628, 29, 30, 34, 35syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( .r
`  W ) ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )  =  ( x ( .s `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) ( y ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
3717, 6, 1, 13, 5assaassr 17516 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  ( 1r `  W )  e.  ( Base `  W
)  /\  ( 1r `  W )  e.  (
Base `  W )
) )  ->  (
( 1r `  W
) ( .r `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )  =  ( y ( .s `  W ) ( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
3828, 32, 30, 30, 37syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )  =  ( y ( .s `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) ( 1r `  W
) ) ) )
3938oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) ( ( 1r `  W
) ( .r `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )  =  ( x ( .s `  W
) ( y ( .s `  W ) ( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
4036, 39eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( .r
`  W ) ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )  =  ( x ( .s `  W
) ( y ( .s `  W ) ( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
4117, 6, 13, 1, 4lmodvsass 17099 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 1r `  W )  e.  (
Base `  W )
) )  ->  (
( x ( .r
`  F ) y ) ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) )  =  ( x ( .s `  W ) ( y ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
4231, 29, 32, 30, 41syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  F ) y ) ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) )  =  ( x ( .s `  W
) ( y ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ) )
4327, 40, 423eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  F ) y ) ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) ( y ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ) )
441, 4rngcl 16784 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( x
( .r `  F
) y )  e.  ( Base `  F
) )
45443expb 1189 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  e.  ( Base `  F ) )
469, 45sylan 471 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  e.  ( Base `  F ) )
4712, 6, 1, 13, 3asclval 17532 . . . 4  |-  ( ( x ( .r `  F ) y )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  ( x ( .r
`  F ) y ) )  =  ( ( x ( .r
`  F ) y ) ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
4846, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( A `  (
x ( .r `  F ) y ) )  =  ( ( x ( .r `  F ) y ) ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )
4912, 6, 1, 13, 3asclval 17532 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  x )  =  ( x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
5029, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( A `  x
)  =  ( x ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )
5112, 6, 1, 13, 3asclval 17532 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  y )  =  ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
5232, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( A `  y
)  =  ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )
5350, 52oveq12d 6221 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( ( A `  x ) ( .r
`  W ) ( A `  y ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) ( y ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ) )
5443, 48, 533eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) ) )  -> 
( A `  (
x ( .r `  F ) y ) )  =  ( ( A `  x ) ( .r `  W
) ( A `  y ) ) )
5512, 6, 10, 16asclghm 17535 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( F  GrpHom  W ) )
561, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 22, 54, 55isrhm2d 16944 1  |-  ( W  e. AssAlg  ->  A  e.  ( F RingHom  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   .rcmulr 14361  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   1rcur 16728   Ringcrg 16771   CRingccrg 16772   RingHom crh 16930   LModclmod 17074  AssAlgcasa 17507  algSccascl 17509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-ghm 15867  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-rnghom 16932  df-lmod 17076  df-assa 17510  df-ascl 17512
This theorem is referenced by:  mplind  17711  evlslem1  17728  mpfind  17749  pf1ind  17917  mat2pmatmul  31240  mat2pmatlin  31244
  Copyright terms: Public domain W3C validator