MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul2 Structured version   Unicode version

Theorem asclmul2 17433
Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclmul1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclmul1.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclmul1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
asclmul1.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
asclmul1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
asclmul2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )

Proof of Theorem asclmul2
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
2 asclmul1.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 asclmul1.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 asclmul1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
61, 2, 3, 4, 5asclval 17428 . . . 4  |-  ( R  e.  K  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
763ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
87oveq2d 6128 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) ) )
9 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e. AssAlg )
10 simp2 989 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
11 simp3 990 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
12 assarng 17414 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
13123ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  Ring )
14 asclmul1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1514, 5rngidcl 16687 . . . 4  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  e.  V )
17 asclmul1.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
1814, 2, 3, 4, 17assaassr 17412 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 1r `  W )  e.  V ) )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r
`  W ) ) )  =  ( R 
.x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) ) )
199, 10, 11, 16, 18syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  ( X 
.X.  ( 1r `  W ) ) ) )
2014, 17, 5rngridm 16691 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2113, 11, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2221oveq2d 6128 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  X ) )
238, 19, 223eqtrd 2479 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   .rcmulr 14260  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   1rcur 16625   Ringcrg 16667  AssAlgcasa 17403  algSccascl 17405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-assa 17406  df-ascl 17408
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator