MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul2 Structured version   Unicode version

Theorem asclmul2 18309
Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclmul1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclmul1.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclmul1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
asclmul1.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
asclmul1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
asclmul2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )

Proof of Theorem asclmul2
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
2 asclmul1.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 asclmul1.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 asclmul1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
61, 2, 3, 4, 5asclval 18304 . . . 4  |-  ( R  e.  K  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
763ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
87oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) ) )
9 simp1 997 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e. AssAlg )
10 simp2 998 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
11 simp3 999 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
12 assaring 18289 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
13123ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  Ring )
14 asclmul1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1514, 5ringidcl 17539 . . . 4  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
1613, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  e.  V )
17 asclmul1.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
1814, 2, 3, 4, 17assaassr 18287 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 1r `  W )  e.  V ) )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r
`  W ) ) )  =  ( R 
.x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) ) )
199, 10, 11, 16, 18syl13anc 1232 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  ( X 
.X.  ( 1r `  W ) ) ) )
2014, 17, 5ringridm 17543 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2113, 11, 20syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2221oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  X ) )
238, 19, 223eqtrd 2447 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   .rcmulr 14910  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   1rcur 17473   Ringcrg 17518  AssAlgcasa 18278  algSccascl 18280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-assa 18281  df-ascl 18283
This theorem is referenced by:  monmatcollpw  19572  pmatcollpwlem  19573  cayhamlem2  19677
  Copyright terms: Public domain W3C validator