MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul1 Structured version   Unicode version

Theorem asclmul1 17856
Description: Left multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclmul1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclmul1.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclmul1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
asclmul1.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
asclmul1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
asclmul1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( A `  R
)  .X.  X )  =  ( R  .x.  X ) )

Proof of Theorem asclmul1
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
2 asclmul1.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 asclmul1.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 asclmul1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
61, 2, 3, 4, 5asclval 17852 . . . 4  |-  ( R  e.  K  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
763ad2ant2 1017 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
87oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( A `  R
)  .X.  X )  =  ( ( R 
.x.  ( 1r `  W ) )  .X.  X ) )
9 simp1 995 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e. AssAlg )
10 simp2 996 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
11 assaring 17837 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
12113ad2ant1 1016 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  Ring )
13 asclmul1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1413, 5ringidcl 17087 . . . 4  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
1512, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  e.  V )
16 simp3 997 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
17 asclmul1.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
1813, 2, 3, 4, 17assaass 17834 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( R  e.  K  /\  ( 1r `  W )  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( R  .x.  ( 1r `  W ) )  .X.  X )  =  ( R  .x.  ( ( 1r `  W )  .X.  X
) ) )
199, 10, 15, 16, 18syl13anc 1229 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( R  .x.  ( 1r `  W ) ) 
.X.  X )  =  ( R  .x.  (
( 1r `  W
)  .X.  X )
) )
2013, 17, 5ringlidm 17090 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  W
)  .X.  X )  =  X )
2112, 16, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  W
)  .X.  X )  =  X )
2221oveq2d 6293 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  ( ( 1r
`  W )  .X.  X ) )  =  ( R  .x.  X
) )
238, 19, 223eqtrd 2486 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( A `  R
)  .X.  X )  =  ( R  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   .rcmulr 14570  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   1rcur 17021   Ringcrg 17066  AssAlgcasa 17826  algSccascl 17828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-assa 17829  df-ascl 17831
This theorem is referenced by:  issubassa2  17862  mplind  18035  evl1vsd  18248  evl1scvarpw  18267  chpscmatgsumbin  19212  fta1blem  22435
  Copyright terms: Public domain W3C validator