MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclghm Structured version   Unicode version

Theorem asclghm 17387
Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclf.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclf.r  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
asclf.l  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
asclghm  |-  ( ph  ->  A  e.  ( F 
GrpHom  W ) )

Proof of Theorem asclghm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
2 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 eqid 2441 . 2  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
4 eqid 2441 . 2  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5 asclf.l . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 asclf.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
76lmodrng 16936 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
9 rnggrp 16640 . . 3  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
11 asclf.r . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
12 rnggrp 16640 . . 3  |-  ( W  e.  Ring  ->  W  e. 
Grp )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
14 asclf.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
1514, 6, 11, 5, 1, 2asclf 17386 . 2  |-  ( ph  ->  A : ( Base `  F ) --> ( Base `  W ) )
165adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  W  e.  LMod )
17 simprl 750 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  x  e.  ( Base `  F
) )
18 simprr 751 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  y  e.  ( Base `  F
) )
19 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
202, 19rngidcl 16655 . . . . . 6  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  ( Base `  W
) )
2111, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  W
)  e.  ( Base `  W ) )
2221adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  ( 1r `  W )  e.  ( Base `  W
) )
23 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
242, 4, 6, 23, 1, 3lmodvsdir 16952 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 1r `  W )  e.  (
Base `  W )
) )  ->  (
( x ( +g  `  F ) y ) ( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
2516, 17, 18, 22, 24syl13anc 1215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( x ( +g  `  F ) y ) ( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
261, 3grpcl 15544 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
x ( +g  `  F
) y )  e.  ( Base `  F
) )
27263expb 1183 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( x ( +g  `  F ) y )  e.  (
Base `  F )
)
2810, 27sylan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
x ( +g  `  F
) y )  e.  ( Base `  F
) )
2914, 6, 1, 23, 19asclval 17384 . . . 4  |-  ( ( x ( +g  `  F
) y )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  ( x ( +g  `  F ) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  F
) y ) ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) )
3028, 29syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  ( A `  ( x
( +g  `  F ) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  F ) y ) ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) ) )
3114, 6, 1, 23, 19asclval 17384 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  x )  =  ( x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3214, 6, 1, 23, 19asclval 17384 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  y )  =  ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3331, 32oveqan12d 6109 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( A `  x
) ( +g  `  W
) ( A `  y ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3433adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( A `  x
) ( +g  `  W
) ( A `  y ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3525, 30, 343eqtr4d 2483 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  ( A `  ( x
( +g  `  F ) y ) )  =  ( ( A `  x ) ( +g  `  W ) ( A `
 y ) ) )
361, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35isghmd 15749 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( F 
GrpHom  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406    GrpHom cghm 15737   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928  algSccascl 17361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-ghm 15738  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-ascl 17364
This theorem is referenced by:  asclrhm  17390  asclinvg  30724
  Copyright terms: Public domain W3C validator