MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclghm Structured version   Unicode version

Theorem asclghm 18182
Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclf.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclf.r  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
asclf.l  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
asclghm  |-  ( ph  ->  A  e.  ( F 
GrpHom  W ) )

Proof of Theorem asclghm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
2 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
4 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5 asclf.l . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 asclf.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
76lmodring 17715 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
9 ringgrp 17398 . . 3  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
11 asclf.r . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
12 ringgrp 17398 . . 3  |-  ( W  e.  Ring  ->  W  e. 
Grp )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
14 asclf.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
1514, 6, 11, 5, 1, 2asclf 18181 . 2  |-  ( ph  ->  A : ( Base `  F ) --> ( Base `  W ) )
165adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  W  e.  LMod )
17 simprl 754 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  x  e.  ( Base `  F
) )
18 simprr 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  y  e.  ( Base `  F
) )
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
202, 19ringidcl 17414 . . . . . 6  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  ( Base `  W
) )
2111, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  W
)  e.  ( Base `  W ) )
2221adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  ( 1r `  W )  e.  ( Base `  W
) )
23 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
242, 4, 6, 23, 1, 3lmodvsdir 17731 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 1r `  W )  e.  (
Base `  W )
) )  ->  (
( x ( +g  `  F ) y ) ( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
2516, 17, 18, 22, 24syl13anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( x ( +g  `  F ) y ) ( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
261, 3grpcl 16262 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
x ( +g  `  F
) y )  e.  ( Base `  F
) )
27263expb 1195 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F ) ) )  ->  ( x ( +g  `  F ) y )  e.  (
Base `  F )
)
2810, 27sylan 469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
x ( +g  `  F
) y )  e.  ( Base `  F
) )
2914, 6, 1, 23, 19asclval 18179 . . . 4  |-  ( ( x ( +g  `  F
) y )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  ( x ( +g  `  F ) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  F
) y ) ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) )
3028, 29syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  ( A `  ( x
( +g  `  F ) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  F ) y ) ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) ) )
3114, 6, 1, 23, 19asclval 18179 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  x )  =  ( x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3214, 6, 1, 23, 19asclval 18179 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  F
)  ->  ( A `  y )  =  ( y ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3331, 32oveqan12d 6289 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  F
) )  ->  (
( A `  x
) ( +g  `  W
) ( A `  y ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3433adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( A `  x
) ( +g  `  W
) ( A `  y ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) ( 1r `  W
) ) ( +g  `  W ) ( y ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3525, 30, 343eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  F )
) )  ->  ( A `  ( x
( +g  `  F ) y ) )  =  ( ( A `  x ) ( +g  `  W ) ( A `
 y ) ) )
361, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35isghmd 16475 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( F 
GrpHom  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   Grpcgrp 16252    GrpHom cghm 16463   1rcur 17348   Ringcrg 17393   LModclmod 17707  algSccascl 18155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-ghm 16464  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-ascl 18158
This theorem is referenced by:  asclinvg  18185  asclrhm  18186  cpmatacl  19384  cpmatinvcl  19385  mat2pmatghm  19398  mat2pmatmul  19399
  Copyright terms: Public domain W3C validator