MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclf Structured version   Unicode version

Theorem asclf 18118
Description: The algebra scalars function is a function into the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclf.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclf.r  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
asclf.l  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
asclf.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclf.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
asclf  |-  ( ph  ->  A : K --> B )

Proof of Theorem asclf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asclf.l . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
21adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
3 simpr 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  x  e.  K )
4 asclf.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
5 asclf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2392 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
75, 6ringidcl 17351 . . . . 5  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  B )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  W
)  e.  B )
98adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( 1r `  W )  e.  B )
10 asclf.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2392 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 asclf.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
135, 10, 11, 12lmodvscl 17661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  K  /\  ( 1r `  W )  e.  B )  ->  (
x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) )  e.  B )
142, 3, 9, 13syl3anc 1226 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) )  e.  B )
15 asclf.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
1615, 10, 12, 11, 6asclfval 18115 . 2  |-  A  =  ( x  e.  K  |->  ( x ( .s
`  W ) ( 1r `  W ) ) )
1714, 16fmptd 5970 1  |-  ( ph  ->  A : K --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   Basecbs 14653  Scalarcsca 14724   .scvsca 14725   1rcur 17285   Ringcrg 17330   LModclmod 17644  algSccascl 18092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-plusg 14734  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-ring 17332  df-lmod 17646  df-ascl 18095
This theorem is referenced by:  asclghm  18119  aspval2  18128  mplasclf  18294  subrgasclcl  18296  evlseu  18317  mpfconst  18331  ply1sclf  18458  cply1coe0bi  18474  lply1binomsc  18481  evls1sca  18492  evl1scvarpw  18531  mat2pmatbas  19331  chpscmat  19447  chpscmatgsumbin  19449
  Copyright terms: Public domain W3C validator