Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwhoma Structured version   Unicode version

Theorem arwhoma 15648
 Description: An arrow is contained in the hom-set corresponding to its domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a Nat
arwhoma.h Homa
Assertion
Ref Expression
arwhoma coda

Proof of Theorem arwhoma
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . . . . 7 Nat
2 arwhoma.h . . . . . . 7 Homa
31, 2arwval 15646 . . . . . 6
43eleq2i 2480 . . . . 5
54biimpi 194 . . . 4
6 eqid 2402 . . . . . 6
71arwrcl 15647 . . . . . 6
82, 6, 7homaf 15633 . . . . 5
9 ffn 5714 . . . . 5
10 fnunirn 6146 . . . . 5
118, 9, 103syl 18 . . . 4
125, 11mpbid 210 . . 3
13 fveq2 5849 . . . . . 6
14 df-ov 6281 . . . . . 6
1513, 14syl6eqr 2461 . . . . 5
1615eleq2d 2472 . . . 4
1716rexxp 4966 . . 3
1812, 17sylib 196 . 2
19 id 22 . . . . 5
202homadm 15643 . . . . . 6
212homacd 15644 . . . . . 6 coda
2220, 21oveq12d 6296 . . . . 5 coda
2319, 22eleqtrrd 2493 . . . 4 coda
2423rexlimivw 2893 . . 3 coda
2524rexlimivw 2893 . 2 coda
2618, 25syl 17 1 coda
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2755  cvv 3059  cpw 3955  cop 3978  cuni 4191   cxp 4821   crn 4824   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841  cdoma 15623  codaccoda 15624  Natcarw 15625  Homachoma 15626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-doma 15627  df-coda 15628  df-homa 15629  df-arw 15630 This theorem is referenced by:  arwdm  15650  arwcd  15651  arwhom  15654  arwdmcd  15655  coapm  15674
 Copyright terms: Public domain W3C validator