MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwcd Structured version   Unicode version

Theorem arwcd 15921
Description: The codomain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a  |-  A  =  (Nat `  C )
arwdm.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
arwcd  |-  ( F  e.  A  ->  (coda `  F
)  e.  B )

Proof of Theorem arwcd
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . 4  |-  A  =  (Nat `  C )
2 eqid 2420 . . . 4  |-  (Homa `  C
)  =  (Homa `  C
)
31, 2arwhoma 15918 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F  e.  ( (domA `  F ) (Homa `  C
) (coda
`  F ) ) )
4 arwdm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4homarcl2 15908 . . 3  |-  ( F  e.  ( (domA `  F ) (Homa
`  C ) (coda `  F ) )  -> 
( (domA `  F )  e.  B  /\  (coda
`  F )  e.  B ) )
63, 5syl 17 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
(domA `  F )  e.  B  /\  (coda
`  F )  e.  B ) )
76simprd 464 1  |-  ( F  e.  A  ->  (coda `  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Basecbs 15099  domAcdoma 15893  codaccoda 15894  Natcarw 15895  Homachoma 15896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6300  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-doma 15897  df-coda 15898  df-homa 15899  df-arw 15900
This theorem is referenced by:  cdaf  15923
  Copyright terms: Public domain W3C validator