Theorem argregt0 23559

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	|- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 13173	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2		gt0ne0 10079	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
3	1, 2	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
4		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = ( Re ` 0 ) )
5		re0 13215	. . . . . . 7 |- ( Re ` 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2501	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = 0 )
7	6	necon3i 2656	. . . . 5 |- ( ( Re ` A ) =/= 0 -> A =/= 0 )
8	3, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A =/= 0 )
9		logcl 23518	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
10	8, 9	syldan 473	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
11	10	imcld 13258	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
12		coshalfpi 23424	. . . . . 6 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
13		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` A ) )
14		abscl 13341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
16	15	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
17	16	mul01d 9832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) = 0 )
18		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A e. CC )
19		absrpcl 13351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
20	8, 19	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
21	20	rpne0d 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
22	18, 16, 21	divcld 10383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( A / ( abs ` A ) ) e. CC )
23	15, 22	remul2d 13290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
24	18, 16, 21	divcan2d 10385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) = A )
25	24	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
26	23, 25	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
27	13, 17, 26	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
28		0re 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR )
30	22	recld 13257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 30, 20	ltmul2d 11380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) )
32	27, 31	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
33		efiarg 23556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
34	8, 33	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
35	34	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
36	32, 35	breqtrrd 4429	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
37		recosval 14190	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
38	11, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
39	36, 38	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
40		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
42	11	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
43		cosneg 14201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
45		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
46	45	eqeq1d 2453	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
48	11	absord 13477	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) \/ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
49	41, 47, 48	mpjaod 383	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
50	39, 49	breqtrrd 4429	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
51	12, 50	syl5eqbr 4436	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
52		abscl 13341	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
53	42, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
54	42	absge0d 13506	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
55		logimcl 23519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
56	8, 55	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
57	56	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
58		pire 23413	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
59	58	renegcli 9935	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR
60		ltle 9722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
61	59, 11, 60	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
62	57, 61	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
63	56	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
64		absle 13378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
65	11, 58, 64	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
66	62, 63, 65	mpbir2and 933	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
67	28, 58	elicc2i 11700	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi ) )
68	53, 54, 66, 67	syl3anbrc 1192	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
69		halfpire 23419	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
70		pirp 23416	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
71		rphalfcl 11327	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
72		rpge0 11314	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
73	70, 71, 72	mp2b 10	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( pi / 2 )
74		rphalflt 11329	. . . . . . . . 9 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
75	70, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) < pi
76	69, 58, 75	ltleii 9757	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) <_ pi
77	28, 58	elicc2i 11700	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ pi ) )
78	69, 73, 76, 77	mpbir3an 1190	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi )
79		cosord 23481	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
80	68, 78, 79	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
81	51, 80	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) )
82		abslt 13377	. . . . 5 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
83	11, 69, 82	sylancl 668	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 214	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
85	84	simpld 461	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) )
86	84	simprd 465	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) )
87	69	renegcli 9935	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
88	87	rexri 9693	. . 3 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
89	69	rexri 9693	. . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
90		elioo2 11677	. . 3 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
91	88, 89, 90	mp2an 678	. 2 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
92	11, 85, 86, 91	syl3anbrc 1192	1 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   _ici 9541   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   -ucneg 9861   / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   Recre 13160   Imcim 13161   abscabs 13297   expce 14114   cosccos 14117   picpi 14119   logclog 23504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506

This theorem is referenced by:  logcnlem4  23590  atanlogsublem  23841