Theorem argregt0 22861

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	|- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 12923	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2		gt0ne0 10029	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
3	1, 2	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
4		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = ( Re ` 0 ) )
5		re0 12965	. . . . . . 7 |- ( Re ` 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = 0 )
7	6	necon3i 2707	. . . . 5 |- ( ( Re ` A ) =/= 0 -> A =/= 0 )
8	3, 7	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A =/= 0 )
9		logcl 22822	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
10	8, 9	syldan 470	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
11	10	imcld 13008	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
12		coshalfpi 22728	. . . . . 6 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
13		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` A ) )
14		abscl 13091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
16	15	recnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
17	16	mul01d 9790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) = 0 )
18		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A e. CC )
19		absrpcl 13101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
20	8, 19	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
21	20	rpne0d 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
22	18, 16, 21	divcld 10332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( A / ( abs ` A ) ) e. CC )
23	15, 22	remul2d 13040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
24	18, 16, 21	divcan2d 10334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) = A )
25	24	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
26	23, 25	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
27	13, 17, 26	3brtr4d 4483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
28		0re 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR )
30	22	recld 13007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 30, 20	ltmul2d 11306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) )
32	27, 31	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
33		efiarg 22858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
34	8, 33	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
35	34	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
36	32, 35	breqtrrd 4479	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
37		recosval 13749	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
38	11, 37	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
39	36, 38	breqtrrd 4479	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
40		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
42	11	recnd 9634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
43		cosneg 13760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
45		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
46	45	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
48	11	absord 13227	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) \/ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
49	41, 47, 48	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
50	39, 49	breqtrrd 4479	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
51	12, 50	syl5eqbr 4486	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
52		abscl 13091	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
53	42, 52	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
54	42	absge0d 13255	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
55		logimcl 22823	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
56	8, 55	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
57	56	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
58		pire 22718	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
59	58	renegcli 9892	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR
60		ltle 9685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
61	59, 11, 60	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
62	57, 61	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
63	56	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
64		absle 13128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
65	11, 58, 64	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
66	62, 63, 65	mpbir2and 920	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
67	28, 58	elicc2i 11602	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi ) )
68	53, 54, 66, 67	syl3anbrc 1180	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
69		halfpire 22723	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
70		pipos 22720	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
71	58, 70	elrpii 11235	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
72		rphalfcl 11256	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
73		rpge0 11244	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
74	71, 72, 73	mp2b 10	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( pi / 2 )
75		rphalflt 11258	. . . . . . . . 9 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
76	71, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) < pi
77	69, 58, 76	ltleii 9719	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) <_ pi
78	28, 58	elicc2i 11602	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ pi ) )
79	69, 74, 77, 78	mpbir3an 1178	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi )
80		cosord 22785	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
81	68, 79, 80	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
82	51, 81	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) )
83		abslt 13127	. . . . 5 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
84	11, 69, 83	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
85	82, 84	mpbid 210	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
86	85	simpld 459	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) )
87	85	simprd 463	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) )
88	69	renegcli 9892	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
89	88	rexri 9658	. . 3 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
90	69	rexri 9658	. . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
91		elioo2 11582	. . 3 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
92	89, 90, 91	mp2an 672	. 2 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
93	11, 86, 87, 92	syl3anbrc 1180	1 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   _ici 9506   x. cmul 9509   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   -ucneg 9818   / cdiv 10218   2c2 10597   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   Recre 12910   Imcim 12911   abscabs 13047   expce 13676   cosccos 13679   picpi 13681   logclog 22808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810

This theorem is referenced by:  logcnlem4  22892  atanlogsublem  23112