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Theorem argregt0 22202
Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argregt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem argregt0
StepHypRef Expression
1 recl 12721 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9919 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
5 re0 12763 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
76necon3i 2692 . . . . 5  |-  ( ( Re `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 22163 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
1110imcld 12806 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
12 coshalfpi 22074 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
13 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( Re `  A ) )
14 abscl 12889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1615recnd 9527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1716mul01d 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
18 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  A  e.  CC )
19 absrpcl 12899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
208, 19syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2120rpne0d 11147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
2218, 16, 21divcld 10222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( A  /  ( abs `  A ) )  e.  CC )
2315, 22remul2d 12838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
2418, 16, 21divcan2d 10224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
2524fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
2623, 25eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
2713, 17, 263brtr4d 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  <  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
28 0re 9501 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
3022recld 12805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
3129, 30, 20ltmul2d 11180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) ) )
3227, 31mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )
33 efiarg 22199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
348, 33syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3534fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
3632, 35breqtrrd 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
37 recosval 13542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3811, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3936, 38breqtrrd 4429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
40 fveq2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
4211recnd 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
43 cosneg 13553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
45 fveq2 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4645eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
4744, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
4811absord 13024 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  \/  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
4941, 47, 48mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
5039, 49breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
5112, 50syl5eqbr 4436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  (
pi  /  2 ) )  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
52 abscl 12889 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5342, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5442absge0d 13052 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
55 logimcl 22164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
568, 55syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
5756simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
58 pire 22064 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
5958renegcli 9785 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  e.  RR
60 ltle 9578 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
6159, 11, 60sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
6257, 61mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
6356simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
64 absle 12925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
6511, 58, 64sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
6662, 63, 65mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
6728, 58elicc2i 11476 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  /\  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
6853, 54, 66, 67syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
69 halfpire 22069 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
70 pipos 22066 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
7158, 70elrpii 11109 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
72 rphalfcl 11130 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
73 rpge0 11118 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
7471, 72, 73mp2b 10 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
75 rphalflt 11132 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
7671, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
7769, 58, 76ltleii 9612 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
7828, 58elicc2i 11476 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  pi ) )
7969, 74, 77, 78mpbir3an 1170 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 [,] pi )
80 cosord 22131 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi )  /\  (
pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( cos `  ( pi  /  2
) )  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8168, 79, 80sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( cos `  ( pi  /  2
) )  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8251, 81mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 ) )
83 abslt 12924 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
8411, 69, 83sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
8582, 84mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  < 
( pi  /  2
) ) )
8685simpld 459 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
8785simprd 463 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  ( pi  / 
2 ) )
8869renegcli 9785 . . . 4  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
8988rexri 9551 . . 3  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
9069rexri 9551 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
91 elioo2 11456 . . 3  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  <  ( Im `  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
9289, 90, 91mp2an 672 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
pi  /  2 ) ) )
9311, 86, 87, 92syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397   _ici 9399    x. cmul 9402   RR*cxr 9532    < clt 9533    <_ cle 9534   -ucneg 9711    / cdiv 10108   2c2 10486   RR+crp 11106   (,)cioo 11415   [,]cicc 11418   Recre 12708   Imcim 12709   abscabs 12845   expce 13469   cosccos 13472   picpi 13474   logclog 22149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-exp 11987  df-fac 12173  df-bc 12200  df-hash 12225  df-shft 12678  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-limsup 13071  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-ef 13475  df-sin 13477  df-cos 13478  df-pi 13480  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-lp 18882  df-perf 18883  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-haus 19061  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-cncf 20596  df-limc 21484  df-dv 21485  df-log 22151
This theorem is referenced by:  logcnlem4  22233  atanlogsublem  22453
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