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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > argregt0 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
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argregt0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | recl 13173 |
. . . . . 6
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2 | gt0ne0 10079 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | sylan 474 |
. . . . 5
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4 | fveq2 5865 |
. . . . . . 7
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5 | re0 13215 |
. . . . . . 7
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6 | 4, 5 | syl6eq 2501 |
. . . . . 6
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7 | 6 | necon3i 2656 |
. . . . 5
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8 | 3, 7 | syl 17 |
. . . 4
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9 | logcl 23518 |
. . . 4
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10 | 8, 9 | syldan 473 |
. . 3
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11 | 10 | imcld 13258 |
. 2
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12 | coshalfpi 23424 |
. . . . . 6
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13 | simpr 463 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | abscl 13341 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 14 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | 15 | recnd 9669 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 16 | mul01d 9832 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | absrpcl 13351 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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20 | 8, 19 | syldan 473 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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21 | 20 | rpne0d 11346 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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22 | 18, 16, 21 | divcld 10383 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 15, 22 | remul2d 13290 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 18, 16, 21 | divcan2d 10385 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 23, 25 | eqtr3d 2487 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 13, 17, 26 | 3brtr4d 4433 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 0re 9643 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 22 | recld 13257 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 29, 30, 20 | ltmul2d 11380 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 27, 31 | mpbird 236 |
. . . . . . . . 9
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33 | efiarg 23556 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 8, 33 | syldan 473 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . 9
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36 | 32, 35 | breqtrrd 4429 |
. . . . . . . 8
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37 | recosval 14190 |
. . . . . . . . 9
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38 | 11, 37 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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39 | 36, 38 | breqtrrd 4429 |
. . . . . . 7
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40 | fveq2 5865 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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42 | 11 | recnd 9669 |
. . . . . . . . . 10
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43 | cosneg 14201 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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45 | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 45 | eqeq1d 2453 |
. . . . . . . . 9
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47 | 44, 46 | syl5ibrcom 226 |
. . . . . . . 8
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48 | 11 | absord 13477 |
. . . . . . . 8
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49 | 41, 47, 48 | mpjaod 383 |
. . . . . . 7
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50 | 39, 49 | breqtrrd 4429 |
. . . . . 6
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51 | 12, 50 | syl5eqbr 4436 |
. . . . 5
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52 | abscl 13341 |
. . . . . . . 8
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53 | 42, 52 | syl 17 |
. . . . . . 7
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54 | 42 | absge0d 13506 |
. . . . . . 7
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55 | logimcl 23519 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 8, 55 | syldan 473 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 56 | simpld 461 |
. . . . . . . . 9
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58 | pire 23413 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 58 | renegcli 9935 |
. . . . . . . . . 10
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60 | ltle 9722 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 59, 11, 60 | sylancr 669 |
. . . . . . . . 9
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62 | 57, 61 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
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63 | 56 | simprd 465 |
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64 | absle 13378 |
. . . . . . . . 9
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65 | 11, 58, 64 | sylancl 668 |
. . . . . . . 8
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66 | 62, 63, 65 | mpbir2and 933 |
. . . . . . 7
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67 | 28, 58 | elicc2i 11700 |
. . . . . . 7
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68 | 53, 54, 66, 67 | syl3anbrc 1192 |
. . . . . 6
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69 | halfpire 23419 |
. . . . . . 7
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70 | pirp 23416 |
. . . . . . . 8
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71 | rphalfcl 11327 |
. . . . . . . 8
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72 | rpge0 11314 |
. . . . . . . 8
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73 | 70, 71, 72 | mp2b 10 |
. . . . . . 7
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74 | rphalflt 11329 |
. . . . . . . . 9
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75 | 70, 74 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
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76 | 69, 58, 75 | ltleii 9757 |
. . . . . . 7
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77 | 28, 58 | elicc2i 11700 |
. . . . . . 7
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78 | 69, 73, 76, 77 | mpbir3an 1190 |
. . . . . 6
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79 | cosord 23481 |
. . . . . 6
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80 | 68, 78, 79 | sylancl 668 |
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81 | 51, 80 | mpbird 236 |
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82 | abslt 13377 |
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83 | 11, 69, 82 | sylancl 668 |
. . . 4
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84 | 81, 83 | mpbid 214 |
. . 3
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85 | 84 | simpld 461 |
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86 | 84 | simprd 465 |
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87 | 69 | renegcli 9935 |
. . . 4
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88 | 87 | rexri 9693 |
. . 3
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89 | 69 | rexri 9693 |
. . 3
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90 | elioo2 11677 |
. . 3
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91 | 88, 89, 90 | mp2an 678 |
. 2
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92 | 11, 85, 86, 91 | syl3anbrc 1192 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 ax-addf 9618 ax-mulf 9619 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-fal 1450 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-pm 7475 df-ixp 7523 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-fsupp 7884 df-fi 7925 df-sup 7956 df-inf 7957 df-oi 8025 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-4 10670 df-5 10671 df-6 10672 df-7 10673 df-8 10674 df-9 10675 df-10 10676 df-n0 10870 df-z 10938 df-dec 11052 df-uz 11160 df-q 11265 df-rp 11303 df-xneg 11409 df-xadd 11410 df-xmul 11411 df-ioo 11639 df-ioc 11640 df-ico 11641 df-icc 11642 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-fl 12028 df-mod 12097 df-seq 12214 df-exp 12273 df-fac 12460 df-bc 12488 df-hash 12516 df-shft 13130 df-cj 13162 df-re 13163 df-im 13164 df-sqrt 13298 df-abs 13299 df-limsup 13526 df-clim 13552 df-rlim 13553 df-sum 13753 df-ef 14121 df-sin 14123 df-cos 14124 df-pi 14126 df-struct 15123 df-ndx 15124 df-slot 15125 df-base 15126 df-sets 15127 df-ress 15128 df-plusg 15203 df-mulr 15204 df-starv 15205 df-sca 15206 df-vsca 15207 df-ip 15208 df-tset 15209 df-ple 15210 df-ds 15212 df-unif 15213 df-hom 15214 df-cco 15215 df-rest 15321 df-topn 15322 df-0g 15340 df-gsum 15341 df-topgen 15342 df-pt 15343 df-prds 15346 df-xrs 15400 df-qtop 15406 df-imas 15407 df-xps 15410 df-mre 15492 df-mrc 15493 df-acs 15495 df-mgm 16488 df-sgrp 16527 df-mnd 16537 df-submnd 16583 df-mulg 16676 df-cntz 16971 df-cmn 17432 df-psmet 18962 df-xmet 18963 df-met 18964 df-bl 18965 df-mopn 18966 df-fbas 18967 df-fg 18968 df-cnfld 18971 df-top 19921 df-bases 19922 df-topon 19923 df-topsp 19924 df-cld 20034 df-ntr 20035 df-cls 20036 df-nei 20114 df-lp 20152 df-perf 20153 df-cn 20243 df-cnp 20244 df-haus 20331 df-tx 20577 df-hmeo 20770 df-fil 20861 df-fm 20953 df-flim 20954 df-flf 20955 df-xms 21335 df-ms 21336 df-tms 21337 df-cncf 21910 df-limc 22821 df-dv 22822 df-log 23506 |
This theorem is referenced by: logcnlem4 23590 atanlogsublem 23841 |
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