Theorem argregt0 23287

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	|- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 13090	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2		gt0ne0 10057	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
3	1, 2	sylan 469	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
4		fveq2 5848	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = ( Re ` 0 ) )
5		re0 13132	. . . . . . 7 |- ( Re ` 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2459	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = 0 )
7	6	necon3i 2643	. . . . 5 |- ( ( Re ` A ) =/= 0 -> A =/= 0 )
8	3, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A =/= 0 )
9		logcl 23246	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
10	8, 9	syldan 468	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
11	10	imcld 13175	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
12		coshalfpi 23152	. . . . . 6 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
13		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` A ) )
14		abscl 13258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
15	14	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
16	15	recnd 9651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
17	16	mul01d 9812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) = 0 )
18		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A e. CC )
19		absrpcl 13268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
20	8, 19	syldan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
21	20	rpne0d 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
22	18, 16, 21	divcld 10360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( A / ( abs ` A ) ) e. CC )
23	15, 22	remul2d 13207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
24	18, 16, 21	divcan2d 10362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) = A )
25	24	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
26	23, 25	eqtr3d 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
27	13, 17, 26	3brtr4d 4424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
28		0re 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR )
30	22	recld 13174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 30, 20	ltmul2d 11341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) )
32	27, 31	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
33		efiarg 23284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
34	8, 33	syldan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
35	34	fveq2d 5852	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
36	32, 35	breqtrrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
37		recosval 14078	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
38	11, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
39	36, 38	breqtrrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
40		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
42	11	recnd 9651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
43		cosneg 14089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
45		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
46	45	eqeq1d 2404	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
48	11	absord 13394	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) \/ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
49	41, 47, 48	mpjaod 379	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
50	39, 49	breqtrrd 4420	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
51	12, 50	syl5eqbr 4427	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
52		abscl 13258	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
53	42, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
54	42	absge0d 13422	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
55		logimcl 23247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
56	8, 55	syldan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
57	56	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
58		pire 23141	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
59	58	renegcli 9915	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR
60		ltle 9703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
61	59, 11, 60	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
62	57, 61	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
63	56	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
64		absle 13295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
65	11, 58, 64	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
66	62, 63, 65	mpbir2and 923	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
67	28, 58	elicc2i 11642	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi ) )
68	53, 54, 66, 67	syl3anbrc 1181	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
69		halfpire 23147	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
70		pirp 23144	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
71		rphalfcl 11289	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
72		rpge0 11276	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
73	70, 71, 72	mp2b 10	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( pi / 2 )
74		rphalflt 11291	. . . . . . . . 9 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
75	70, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) < pi
76	69, 58, 75	ltleii 9738	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) <_ pi
77	28, 58	elicc2i 11642	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ pi ) )
78	69, 73, 76, 77	mpbir3an 1179	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi )
79		cosord 23209	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
80	68, 78, 79	sylancl 660	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
81	51, 80	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) )
82		abslt 13294	. . . . 5 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
83	11, 69, 82	sylancl 660	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 210	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
85	84	simpld 457	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) )
86	84	simprd 461	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) )
87	69	renegcli 9915	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
88	87	rexri 9675	. . 3 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
89	69	rexri 9675	. . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
90		elioo2 11622	. . 3 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
91	88, 89, 90	mp2an 670	. 2 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
92	11, 85, 86, 91	syl3anbrc 1181	1 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   _ici 9523   x. cmul 9526   RR*cxr 9656   < clt 9657   <_ cle 9658   -ucneg 9841   / cdiv 10246   2c2 10625   RR+crp 11264   (,)cioo 11581   [,]cicc 11584   Recre 13077   Imcim 13078   abscabs 13214   expce 14004   cosccos 14007   picpi 14009   logclog 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234

This theorem is referenced by:  logcnlem4  23318  atanlogsublem  23569