Theorem argregt0 22202

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	|- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 12721	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2		gt0ne0 9919	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
3	1, 2	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) =/= 0 )
4		fveq2 5802	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = ( Re ` 0 ) )
5		re0 12763	. . . . . . 7 |- ( Re ` 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2511	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( Re ` A ) = 0 )
7	6	necon3i 2692	. . . . 5 |- ( ( Re ` A ) =/= 0 -> A =/= 0 )
8	3, 7	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A =/= 0 )
9		logcl 22163	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
10	8, 9	syldan 470	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
11	10	imcld 12806	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
12		coshalfpi 22074	. . . . . 6 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
13		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` A ) )
14		abscl 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
16	15	recnd 9527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
17	16	mul01d 9683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) = 0 )
18		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A e. CC )
19		absrpcl 12899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
20	8, 19	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
21	20	rpne0d 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
22	18, 16, 21	divcld 10222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( A / ( abs ` A ) ) e. CC )
23	15, 22	remul2d 12838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
24	18, 16, 21	divcan2d 10224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) = A )
25	24	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
26	23, 25	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
27	13, 17, 26	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) )
28		0re 9501	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR )
30	22	recld 12805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 30, 20	ltmul2d 11180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) x. 0 ) < ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) )
32	27, 31	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
33		efiarg 22199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
34	8, 33	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) )
35	34	fveq2d 5806	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) )
36	32, 35	breqtrrd 4429	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
37		recosval 13542	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
38	11, 37	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
39	36, 38	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
40		fveq2 5802	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
42	11	recnd 9527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
43		cosneg 13553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
45		fveq2 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
46	45	eqeq1d 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
48	11	absord 13024	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) \/ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
49	41, 47, 48	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
50	39, 49	breqtrrd 4429	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
51	12, 50	syl5eqbr 4436	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
52		abscl 12889	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
53	42, 52	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
54	42	absge0d 13052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
55		logimcl 22164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
56	8, 55	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
57	56	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
58		pire 22064	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
59	58	renegcli 9785	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR
60		ltle 9578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
61	59, 11, 60	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
62	57, 61	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
63	56	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
64		absle 12925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
65	11, 58, 64	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
66	62, 63, 65	mpbir2and 913	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
67	28, 58	elicc2i 11476	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi ) )
68	53, 54, 66, 67	syl3anbrc 1172	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
69		halfpire 22069	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
70		pipos 22066	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
71	58, 70	elrpii 11109	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
72		rphalfcl 11130	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
73		rpge0 11118	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
74	71, 72, 73	mp2b 10	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( pi / 2 )
75		rphalflt 11132	. . . . . . . . 9 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
76	71, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) < pi
77	69, 58, 76	ltleii 9612	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) <_ pi
78	28, 58	elicc2i 11476	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ pi ) )
79	69, 74, 77, 78	mpbir3an 1170	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi )
80		cosord 22131	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] pi ) /\ ( pi / 2 ) e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
81	68, 79, 80	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( cos ` ( pi / 2 ) ) < ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
82	51, 81	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) )
83		abslt 12924	. . . . 5 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
84	11, 69, 83	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( pi / 2 ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
85	82, 84	mpbid 210	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
86	85	simpld 459	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) )
87	85	simprd 463	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) )
88	69	renegcli 9785	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
89	88	rexri 9551	. . 3 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
90	69	rexri 9551	. . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
91		elioo2 11456	. . 3 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) ) )
92	89, 90, 91	mp2an 672	. 2 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < ( pi / 2 ) ) )
93	11, 86, 87, 92	syl3anbrc 1172	1 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397   _ici 9399   x. cmul 9402   RR*cxr 9532   < clt 9533   <_ cle 9534   -ucneg 9711   / cdiv 10108   2c2 10486   RR+crp 11106   (,)cioo 11415   [,]cicc 11418   Recre 12708   Imcim 12709   abscabs 12845   expce 13469   cosccos 13472   picpi 13474   logclog 22149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-exp 11987  df-fac 12173  df-bc 12200  df-hash 12225  df-shft 12678  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-limsup 13071  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-ef 13475  df-sin 13477  df-cos 13478  df-pi 13480  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-lp 18882  df-perf 18883  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-haus 19061  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-cncf 20596  df-limc 21484  df-dv 21485  df-log 22151

This theorem is referenced by:  logcnlem4  22233  atanlogsublem  22453