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Theorem argrege0 22721
Description: Closure of the argument of a complex number with nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
argrege0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )

Proof of Theorem argrege0
StepHypRef Expression
1 logcl 22681 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
32imcld 12985 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
4 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
65abscld 13223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
76recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
87mul01d 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
9 absrpcl 13078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1093adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
1110rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
125, 7, 11divcld 10316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  /  ( abs `  A
) )  e.  CC )
136, 12remul2d 13017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) )
145, 7, 11divcan2d 10318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
1514fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
1613, 15eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
174, 8, 163brtr4d 4477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
18 0re 9592 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
2012recld 12984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
2119, 20, 10lemul2d 11292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) ) )
2217, 21mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
23 efiarg 22717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
24233adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( A  /  ( abs `  A
) ) )
2524fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
2622, 25breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
27 recosval 13725 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
283, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
2926, 28breqtrrd 4473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
30 halfpire 22587 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
31 pire 22582 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
32 pipos 22584 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3331, 32elrpii 11219 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
34 rphalfcl 11240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
35 rpge0 11228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
37 rphalflt 11242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
3833, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
3930, 31, 38ltleii 9703 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4018, 31elicc2i 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  pi ) )
4130, 36, 39, 40mpbir3an 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 [,] pi )
423recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
4342abscld 13223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4442absge0d 13231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
45 logimcl 22682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
46453adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4746simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
4831renegcli 9876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
49 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5048, 3, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5147, 50mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5246simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
53 absle 13104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
543, 31, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
5551, 52, 54mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
5618, 31elicc2i 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  /\  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
5743, 44, 55, 56syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
58 cosord 22649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  /\  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
5941, 57, 58sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
60 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
62 cosneg 13736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6342, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
64 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6564eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
673absord 13203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  \/  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6861, 66, 67mpjaod 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
69 coshalfpi 22592 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
7168, 70breq12d 4460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7259, 71bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7372notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -.  ( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
74 lenlt 9659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7543, 30, 74sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
763recoscld 13733 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
77 lenlt 9659 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7818, 76, 77sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7973, 75, 783bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  0  <_  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
8029, 79mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
pi  /  2 ) )
81 absle 13104 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
823, 30, 81sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
8380, 82mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
8483simpld 459 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8583simprd 463 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
8630renegcli 9876 . . 3  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
8786, 30elicc2i 11586 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
883, 84, 85, 87syl3anbrc 1180 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   _ici 9490    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216   [,]cicc 11528   Recre 12887   Imcim 12888   abscabs 13024   expce 13652   cosccos 13655   picpi 13657   logclog 22667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-log 22669
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