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Theorem argrege0 23290
Description: Closure of the argument of a complex number with nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
argrege0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )

Proof of Theorem argrege0
StepHypRef Expression
1 logcl 23248 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
32imcld 13177 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
4 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5 simp1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
65abscld 13416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
76recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
87mul01d 9813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
9 absrpcl 13270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1093adant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
1110rpne0d 11309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
125, 7, 11divcld 10361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  /  ( abs `  A
) )  e.  CC )
136, 12remul2d 13209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) )
145, 7, 11divcan2d 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
1514fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
1613, 15eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
174, 8, 163brtr4d 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
18 0re 9626 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
2012recld 13176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
2119, 20, 10lemul2d 11344 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) ) )
2217, 21mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
23 efiarg 23286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
24233adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( A  /  ( abs `  A
) ) )
2524fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
2622, 25breqtrrd 4421 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
27 recosval 14080 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
283, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
2926, 28breqtrrd 4421 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
30 halfpire 23149 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
31 pirp 23146 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
32 rphalfcl 11290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
33 rpge0 11277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
35 pire 23143 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
36 rphalflt 11292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
3731, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
3830, 35, 37ltleii 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
3918, 35elicc2i 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  pi ) )
4030, 34, 38, 39mpbir3an 1179 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 [,] pi )
413recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
4241abscld 13416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4341absge0d 13424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
44 logimcl 23249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
45443adant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4645simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
4735renegcli 9916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
48 ltle 9704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
4947, 3, 48sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5046, 49mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5145simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
52 absle 13297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
533, 35, 52sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
5450, 51, 53mpbir2and 923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
5518, 35elicc2i 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  /\  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
5642, 43, 54, 55syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
57 cosord 23211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  /\  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
5840, 56, 57sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
59 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
61 cosneg 14091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
63 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6463eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
6562, 64syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
663absord 13396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  \/  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6760, 65, 66mpjaod 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
68 coshalfpi 23154 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
7067, 69breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7158, 70bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7271notbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -.  ( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
73 lenlt 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7442, 30, 73sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
753recoscld 14088 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
76 lenlt 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7718, 75, 76sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7872, 74, 773bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  0  <_  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
7929, 78mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
pi  /  2 ) )
80 absle 13297 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
813, 30, 80sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
8279, 81mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
8382simpld 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8482simprd 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
8530renegcli 9916 . . 3  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
8685, 30elicc2i 11644 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
873, 83, 84, 86syl3anbrc 1181 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   _ici 9524    x. cmul 9527    < clt 9658    <_ cle 9659   -ucneg 9842    / cdiv 10247   2c2 10626   RR+crp 11265   [,]cicc 11585   Recre 13079   Imcim 13080   abscabs 13216   expce 14006   cosccos 14009   picpi 14011   logclog 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236
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