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Theorem argimgt0 22179
Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argimgt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )

Proof of Theorem argimgt0
StepHypRef Expression
1 imcl 12704 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9907 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 12746 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2508 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2688 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 22138 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
1110imcld 12788 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  A ) )
13 abscl 12871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1514recnd 9515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1615mul01d 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
17 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
18 absrpcl 12881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
198, 18syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019rpne0d 11135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
2117, 15, 20divcld 10210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  ( abs `  A ) )  e.  CC )
2214, 21immul2d 12821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
2317, 15, 20divcan2d 10212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
2423fveq2d 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2522, 24eqtr3d 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2612, 16, 253brtr4d 4422 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  <  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
27 0re 9489 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
2921imcld 12788 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
3028, 29, 19ltmul2d 11168 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) ) )
3126, 30mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )
32 efiarg 22174 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
338, 32syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3433fveq2d 5795 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
3531, 34breqtrrd 4418 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
36 resinval 13523 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3711, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3835, 37breqtrrd 4418 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3911resincld 13531 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4039lt0neg2d 10013 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
4138, 40mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 )
42 pire 22039 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
43 readdcl 9468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4411, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR )
46 df-neg 9701 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  =  ( 0  -  pi )
47 logimcl 22139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
488, 47syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4948simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
5042renegcli 9773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  e.  RR
51 ltle 9566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5250, 11, 51sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
5446, 53syl5eqbrr 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5542a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
5628, 55, 11lesubaddd 10039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 0  -  pi )  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) ) )
5754, 56mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5911, 28, 55leadd1d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  <_  (
0  +  pi ) ) )
6059biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  ( 0  +  pi ) )
61 picn 22040 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
6261addid2i 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
6360, 62syl6breq 4431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi )
6427, 42elicc2i 11464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  /\  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi ) )
6545, 58, 63, 64syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) )
66 sinq12ge0 22088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6811recnd 9515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
69 sinppi 22069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7170adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7267, 71breqtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7372ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  ->  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7473con3d 133 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -.  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  ->  -.  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  0
) )
7539renegcld 9878 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
76 ltnle 9557 . . . . 5  |-  ( (
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7775, 27, 76sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
78 ltnle 9557 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
7927, 11, 78sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
8074, 77, 793imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
8141, 80mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
82 rpre 11100 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
8382renegcld 9878 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
84 negneg 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
8584adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u -u A  =  A
)
8685eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
8783, 86syl5ib 219 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
88 lognegb 22156 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
898, 88syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
90 reim0b 12712 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9190adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9287, 89, 913imtr3d 267 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9392necon3d 2672 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
943, 93mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
9594necomd 2719 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
9648simprd 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
9711, 55, 96leltned 9628 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9895, 97mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
99 0xr 9533 . . 3  |-  0  e.  RR*
10042rexri 9539 . . 3  |-  pi  e.  RR*
101 elioo2 11444 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) ) )
10299, 100, 101mp2an 672 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) 
<->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
10311, 81, 98, 102syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   _ici 9387    + caddc 9388    x. cmul 9390   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698   -ucneg 9699    / cdiv 10096   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   [,]cicc 11406   Imcim 12691   abscabs 12827   expce 13451   sincsin 13453   picpi 13456   logclog 22124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-cos 13460  df-pi 13462  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126
This theorem is referenced by:  argimlt0  22180  logneg2  22182  logcnlem3  22207  atanlogaddlem  22426
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