MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  areaf Structured version   Unicode version

Theorem areaf 23615
Description: Area measurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
areaf  |- area : dom area --> ( 0 [,) +oo )

Proof of Theorem areaf
Dummy variables  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfarea 23614 . 2  |- area  =  ( s  e.  dom area  |->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x )
2 areambl 23612 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  (
( s " {
x } )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( s " {
x } ) )  e.  RR ) )
32simprd 461 . . . 4  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( s " { x } ) )  e.  RR )
4 dmarea 23611 . . . . 5  |-  ( s  e.  dom area  <->  ( s  C_  ( RR  X.  RR )  /\  A. x  e.  RR  ( s " { x } )  e.  ( `' vol " RR )  /\  (
x  e.  RR  |->  ( vol `  ( s
" { x }
) ) )  e.  L^1 ) )
54simp3bi 1014 . . . 4  |-  ( s  e.  dom area  ->  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( s " {
x } ) ) )  e.  L^1 )
63, 5itgrecl 22494 . . 3  |-  ( s  e.  dom area  ->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x  e.  RR )
72simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  (
s " { x } )  e.  dom  vol )
8 mblss 22232 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( s " {
x } )  C_  RR )
9 ovolge0 22182 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  ( s " { x } ) ) )
107, 8, 93syl 20 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( vol* `  ( s " {
x } ) ) )
11 mblvol 22231 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
s " { x } ) )  =  ( vol* `  ( s " {
x } ) ) )
127, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( s " { x } ) )  =  ( vol* `  ( s " { x } ) ) )
1310, 12breqtrrd 4420 . . . 4  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( vol `  (
s " { x } ) ) )
145, 3, 13itgge0 22507 . . 3  |-  ( s  e.  dom area  ->  0  <_  S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x )
15 elrege0 11679 . . 3  |-  ( S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x  e.  RR  /\  0  <_  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x ) )
166, 14, 15sylanbrc 662 . 2  |-  ( s  e.  dom area  ->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
171, 16fmpti 6031 1  |- area : dom area --> ( 0 [,) +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    C_ wss 3413   {csn 3971   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   "cima 4825   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   +oocpnf 9654    <_ cle 9658   [,)cico 11583   vol*covol 22164   volcvol 22165   L^1cibl 22316   S.citg 22317  areacarea 23609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-xmet 18730  df-met 18731  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-ibl 22321  df-itg 22322  df-0p 22367  df-area 23610
This theorem is referenced by:  areacl  23616  areage0  23617
  Copyright terms: Public domain W3C validator