Theorem areacirclem5 28413

Description: Finding the cross-section of a circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
areacirc.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
areacirclem5	|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )

Distinct variable groups:   x, y, t, R   t, S

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem areacirclem5

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		areacirc.1	. . . 4 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
2	1	imaeq1i 5163	. . 3 |- ( S " { t } ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } )
3		vex 2973	. . . 4 |- t e. _V
4		imasng 5188	. . . 4 |- ( t e. _V -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u }
6		df-br 4290	. . . . 5 |- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } )
7		vex 2973	. . . . . 6 |- u e. _V
8		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( x e. RR <-> t e. RR ) )
9	8	anbi1d 699	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ y e. RR ) ) )
10		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( x ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
11	10	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
12	11	breq1d 4299	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
13	9, 12	anbi12d 705	. . . . . 6 |- ( x = t -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
14		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( y e. RR <-> u e. RR ) )
15	14	anbi2d 698	. . . . . . 7 |- ( y = u -> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ u e. RR ) ) )
16		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( y ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
17	16	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
18	17	breq1d 4299	. . . . . . 7 |- ( y = u -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
19	15, 18	anbi12d 705	. . . . . 6 |- ( y = u -> ( ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
20	3, 7, 13, 19	opelopab 4608	. . . . 5 |- ( <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
21		anass 644	. . . . 5 |- ( ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
22	6, 20, 21	3bitri 271	. . . 4 |- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
23	22	abbii 2553	. . 3 |- { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) }
24	2, 5, 23	3eqtri 2465	. 2 |- ( S " { t } ) = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) }
25		simp3 985	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> t e. RR )
26	25	biantrurd 505	. . . 4 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) )
27	26	abbidv 2555	. . 3 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } )
28		resqcl 11929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
29	28	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
30		resqcl 11929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
31	30	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
32	29, 31	resubcld 9772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR )
33	32	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR )
34		absresq 12787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
35	34	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
36	35	breq1d 4299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
37		recn 9368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. RR -> t e. CC )
38	37	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
39	38	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
40		simp1 983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> R e. RR )
41	37	absge0d 12926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
42	41	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
43		simp2 984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
44	39, 40, 42, 43	le2sqd 12039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
45	29, 31	subge0d 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
47	46	biimpa 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
48	33, 47	resqrcld 12900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
49	48	renegcld 9771	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
50	49	rexrd 9429	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
51	48	rexrd 9429	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
52		iccval 11335	. . . . . 6 |- ( ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* /\ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) -> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
53	50, 51, 52	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
54		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
55	54	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
56		absresq 12787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
57	32	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC )
58	57	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC )
59	58	sqsqrd 12921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
60	56, 59	breqan12rd 4305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
61		recn 9368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> u e. CC )
62	61	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
63	62	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( abs ` u ) e. RR )
64	48	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
65	61	absge0d 12926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
66	65	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` u ) )
67	33, 47	sqrge0d 12903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
68	67	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
69	63, 64, 66, 68	le2sqd 12039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
70	31	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
71		resqcl 11929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
72	71	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
73	29	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
74	70, 72, 73	leaddsub2d 9937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
75	74	adantlr 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
76	60, 69, 75	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
77		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR )
78	77, 64	absled 12913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
79		rexr 9425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> u e. RR* )
80	79	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR* )
81	80	biantrurd 505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
82	76, 78, 81	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
83	82	pm5.32da 636	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
84		simprl 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR* )
85	48	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
86		mnfxr 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo e. RR* )
88	49	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
89	88	rexrd 9429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
90		mnflt 11100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
91	49, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
92	91	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
93		simprrl 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u )
94	87, 89, 84, 92, 93	xrltletrd 11131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < u )
95		simprrr 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
96		xrre 11137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. RR* /\ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) /\ ( -oo < u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR )
97	84, 85, 94, 95, 96	syl22anc 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR )
98	97	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR ) )
99	98	pm4.71rd 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
100	83, 99	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101	100	abbidv 2555	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } )
102		df-rab 2722	. . . . . 6 |- { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) }
103	101, 102	syl6eqr 2491	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
104	53, 55, 103	3eqtr4rd 2484	. . . 4 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
105	40, 39	ltnled 9517	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> -. ( abs ` t ) <_ R ) )
106	105	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( -. ( abs ` t ) <_ R -> R < ( abs ` t ) ) )
107	106	imdistani 685	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) )
108		df-rab 2722	. . . . . . 7 |- { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
109	29	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
110	31	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
111	71	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
112	110, 111	readdcld 9409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) e. RR )
113	40, 39, 43, 42	lt2sqd 12038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) ) )
114	35	breq2d 4301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) )
115	113, 114	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) )
116	115	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) )
117	116	3adant3 1003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) )
118		sqge0 11938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( u ^ 2 ) )
119	118	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( u ^ 2 ) )
120	110, 111	addge01d 9923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ ( u ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
122	109, 110, 112, 117, 121	ltletrd 9527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
123	109, 112	ltnled 9517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <-> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
124	122, 123	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
125	124	3expa 1182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
126	125	ralrimiva 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
127		rabeq0 3656	. . . . . . . 8 |- ( { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) <-> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
128	126, 127	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) )
129	108, 128	syl5eqr 2487	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) )
130	107, 129	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) )
131		iffalse 3796	. . . . . 6 |- ( -. ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) )
132	131	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) )
133	130, 132	eqtr4d 2476	. . . 4 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
134	104, 133	pm2.61dan 784	. . 3 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
135	27, 134	eqtr3d 2475	. 2 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
136	24, 135	syl5eq 2485	1 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   <.cop 3880   class class class wbr 4289   {copab 4346   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   + caddc 9281   -oocmnf 9412   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   -ucneg 9592   2c2 10367   [,]cicc 11299   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   abscabs 12719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-icc 11303  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721

This theorem is referenced by:  areacirc  28414