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Theorem areacirclem5 28491
Description: Finding the cross-section of a circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }
Assertion
Ref Expression
areacirclem5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( S " { t } )  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem areacirclem5
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . 4  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }
21imaeq1i 5169 . . 3  |-  ( S
" { t } )  =  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
" { t } )
3 vex 2978 . . . 4  |-  t  e. 
_V
4 imasng 5194 . . . 4  |-  ( t  e.  _V  ->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } " { t } )  =  {
u  |  t {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) } u } )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
" { t } )  =  { u  |  t { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u }
6 df-br 4296 . . . . 5  |-  ( t { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u  <->  <. t ,  u >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } )
7 vex 2978 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
8 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
x  e.  RR  <->  t  e.  RR ) )
98anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( t  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
10 oveq1 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
1110oveq1d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1211breq1d 4305 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 )  <->  ( (
t ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
139, 12anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) )  <->  ( (
t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
14 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
y  e.  RR  <->  u  e.  RR ) )
1514anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( y  =  u  ->  (
( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( t  e.  RR  /\  u  e.  RR ) ) )
16 oveq1 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
y ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
1716oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
1817breq1d 4305 . . . . . . 7  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( t ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 )  <->  ( (
t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
1915, 18anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) )  <->  ( (
t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
203, 7, 13, 19opelopab 4613 . . . . 5  |-  ( <.
t ,  u >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  <->  ( ( t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) )
21 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )  <-> 
( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
226, 20, 213bitri 271 . . . 4  |-  ( t { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u  <->  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) )
2322abbii 2558 . . 3  |-  { u  |  t { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u }  =  { u  |  (
t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) }
242, 5, 233eqtri 2467 . 2  |-  ( S
" { t } )  =  { u  |  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) }
25 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
2625biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )  <-> 
( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) ) )
2726abbidv 2560 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) }  =  { u  |  (
t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) } )
28 resqcl 11936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
30 resqcl 11936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
31303ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
3229, 31resubcld 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  RR )
34 absresq 12794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
35343ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
3635breq1d 4305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  t
) ^ 2 )  <_  ( R ^
2 )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
37 recn 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
3837abscld 12925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
39383ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
40 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
4137absge0d 12933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
42413ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
43 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
4439, 40, 42, 43le2sqd 12046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
4529, 31subge0d 9932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
4636, 44, 453bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )
4833, 47resqrcld 12907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4948renegcld 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> 
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5049rexrd 9436 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> 
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
5148rexrd 9436 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
52 iccval 11342 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR*  /\  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e. 
RR* )  ->  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )  =  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) } )
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  { u  e. 
RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
54 iftrue 3800 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  t )  <_  R  ->  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) )
5554adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  if ( ( abs `  t )  <_  R ,  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
56 absresq 12794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
5732recnd 9415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  e.  CC )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  CC )
5958sqsqrd 12928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )
6056, 59breqan12rd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( u ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
61 recn 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  CC )
6261abscld 12925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  ( abs `  u )  e.  RR )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( abs `  u
)  e.  RR )
6448adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
6561absge0d 12933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  u
) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  u ) )
6733, 47sqrge0d 12910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
6963, 64, 66, 68le2sqd 12046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( abs `  u )  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  u ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7031adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( t ^
2 )  e.  RR )
71 resqcl 11936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( u ^
2 )  e.  RR )
7329adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
7470, 72, 73leaddsub2d 9944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u ^
2 )  <_  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u ^
2 )  <_  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
7660, 69, 753bitr4rd 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( abs `  u
)  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  RR )
7877, 64absled 12920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( abs `  u )  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <->  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
79 rexr 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  RR* )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  RR* )
8180biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  <->  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8276, 78, 813bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8382pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
84 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR* )
8548adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
86 mnfxr 11097 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
8849adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8988rexrd 9436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
90 mnflt 11107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  e.  RR  -> -oo  <  -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
9149, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> -oo  <  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  -> -oo  <  -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
93 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u
)
9487, 89, 84, 92, 93xrltletrd 11138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  -> -oo  <  u
)
95 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) ) )
96 xrre 11144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  RR*  /\  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
9784, 85, 94, 95, 96syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
9897ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR ) )
9998pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
10083, 99bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )  <->  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101100abbidv 2560 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  { u  |  ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } )
102 df-rab 2727 . . . . . 6  |-  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) }  =  { u  |  (
u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) }
103101, 102syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
10453, 55, 1033eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
10540, 39ltnled 9524 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  -.  ( abs `  t )  <_  R
) )
106105biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  t
)  <_  R  ->  R  <  ( abs `  t
) ) )
107106imdistani 690 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) ) )
108 df-rab 2727 . . . . . . 7  |-  { u  e.  RR  |  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) }  =  {
u  |  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
109293ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
110313ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
111713ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
112110, 111readdcld 9416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  e.  RR )
11340, 39, 43, 42lt2sqd 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  ( R ^
2 )  <  (
( abs `  t
) ^ 2 ) ) )
11435breq2d 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  <  ( ( abs `  t ) ^ 2 )  <->  ( R ^ 2 )  < 
( t ^ 2 ) ) )
115113, 114bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  ( R ^
2 )  <  (
t ^ 2 ) ) )
116115biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  -> 
( R ^ 2 )  <  ( t ^ 2 ) )
1171163adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  < 
( t ^ 2 ) )
118 sqge0 11945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( u ^ 2 ) )
1191183ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( u ^ 2 ) )
120110, 111addge01d 9930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( u ^ 2 )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) ) ) )
121119, 120mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  <_  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
122109, 110, 112, 117, 121ltletrd 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  < 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
123109, 112ltnled 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  <  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <->  -.  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) )
124122, 123mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
1251243expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  /\  u  e.  RR )  ->  -.  ( (
t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )
126125ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  A. u  e.  RR  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
127 rabeq0 3662 . . . . . . . 8  |-  ( { u  e.  RR  | 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) }  =  (/)  <->  A. u  e.  RR  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
128126, 127sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  { u  e.  RR  |  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) }  =  (/) )
129108, 128syl5eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  { u  |  (
u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  (/) )
130107, 129syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  (/) )
131 iffalse 3802 . . . . . 6  |-  ( -.  ( abs `  t
)  <_  R  ->  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
132131adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  if ( ( abs `  t )  <_  R ,  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
133130, 132eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
134104, 133pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
13527, 134eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
13624, 135syl5eq 2487 1  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( S " { t } )  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   {crab 2722   _Vcvv 2975   (/)c0 3640   ifcif 3794   {csn 3880   <.cop 3886   class class class wbr 4295   {copab 4352   "cima 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285    + caddc 9288   -oocmnf 9419   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598   -ucneg 9599   2c2 10374   [,]cicc 11306   ^cexp 11868   sqrcsqr 12725   abscabs 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-icc 11310  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728
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