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Theorem areacirclem5 32100
Description: Finding the cross-section of a circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }
Assertion
Ref Expression
areacirclem5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( S " { t } )  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem areacirclem5
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . 4  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }
21imaeq1i 5171 . . 3  |-  ( S
" { t } )  =  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
" { t } )
3 vex 3034 . . . 4  |-  t  e. 
_V
4 imasng 5196 . . . 4  |-  ( t  e.  _V  ->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } " { t } )  =  {
u  |  t {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) } u } )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
" { t } )  =  { u  |  t { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u }
6 df-br 4396 . . . . 5  |-  ( t { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u  <->  <. t ,  u >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } )
7 vex 3034 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
8 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
x  e.  RR  <->  t  e.  RR ) )
98anbi1d 719 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( t  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
10 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
1110oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1211breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 )  <->  ( (
t ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
139, 12anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) )  <->  ( (
t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
14 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
y  e.  RR  <->  u  e.  RR ) )
1514anbi2d 718 . . . . . . 7  |-  ( y  =  u  ->  (
( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( t  e.  RR  /\  u  e.  RR ) ) )
16 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
y ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
1716oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
1817breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( t ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 )  <->  ( (
t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
1915, 18anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) )  <->  ( (
t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
203, 7, 13, 19opelopab 4723 . . . . 5  |-  ( <.
t ,  u >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  <->  ( ( t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) )
21 anass 661 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )  <-> 
( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
226, 20, 213bitri 279 . . . 4  |-  ( t { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u  <->  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) )
2322abbii 2587 . . 3  |-  { u  |  t { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u }  =  { u  |  (
t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) }
242, 5, 233eqtri 2497 . 2  |-  ( S
" { t } )  =  { u  |  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) }
25 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
2625biantrurd 516 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )  <-> 
( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) ) )
2726abbidv 2589 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) }  =  { u  |  (
t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) } )
28 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
29283ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
30 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
31303ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
3229, 31resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  e.  RR )
3332adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  RR )
34 absresq 13442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
35343ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
3635breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  t
) ^ 2 )  <_  ( R ^
2 )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
37 recn 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
3837abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
39383ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
40 simp1 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
4137absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
42413ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
43 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
4439, 40, 42, 43le2sqd 12489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
4529, 31subge0d 10224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
4636, 44, 453bitr4d 293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
4746biimpa 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )
4833, 47resqrtcld 13556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4948renegcld 10067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> 
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5049rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> 
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
5148rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
52 iccval 11700 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR*  /\  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e. 
RR* )  ->  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )  =  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) } )
5350, 51, 52syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  { u  e. 
RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
54 iftrue 3878 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  t )  <_  R  ->  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) )
5554adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  if ( ( abs `  t )  <_  R ,  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
56 absresq 13442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
5732recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  e.  CC )
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  CC )
5958sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )
6056, 59breqan12rd 4412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( u ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
61 recn 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  CC )
6261abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  ( abs `  u )  e.  RR )
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( abs `  u
)  e.  RR )
6448adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
6561absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  u
) )
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  u ) )
6733, 47sqrtge0d 13559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
6963, 64, 66, 68le2sqd 12489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( abs `  u )  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  u ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7031adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( t ^
2 )  e.  RR )
71 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( u ^
2 )  e.  RR )
7329adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
7470, 72, 73leaddsub2d 10236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u ^
2 )  <_  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
7574adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u ^
2 )  <_  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
7660, 69, 753bitr4rd 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( abs `  u
)  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) )
77 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  RR )
7877, 64absled 13569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( abs `  u )  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <->  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
79 rexr 9704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  RR* )
8079adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  RR* )
8180biantrurd 516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  <->  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8276, 78, 813bitrd 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8382pm5.32da 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
84 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR* )
8548adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
86 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
8849adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8988rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
90 mnflt 11448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  e.  RR  -> -oo  <  -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
9149, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> -oo  <  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  -> -oo  <  -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
93 simprrl 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u
)
9487, 89, 84, 92, 93xrltletrd 11481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  -> -oo  <  u
)
95 simprrr 783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) ) )
96 xrre 11487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  RR*  /\  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
9784, 85, 94, 95, 96syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
9897ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR ) )
9998pm4.71rd 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
10083, 99bitr4d 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )  <->  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101100abbidv 2589 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  { u  |  ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } )
102 df-rab 2765 . . . . . 6  |-  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) }  =  { u  |  (
u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) }
103101, 102syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
10453, 55, 1033eqtr4rd 2516 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
10540, 39ltnled 9799 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  -.  ( abs `  t )  <_  R
) )
106105biimprd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  t
)  <_  R  ->  R  <  ( abs `  t
) ) )
107106imdistani 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) ) )
108 df-rab 2765 . . . . . . 7  |-  { u  e.  RR  |  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) }  =  {
u  |  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
109293ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
110313ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
111713ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
112110, 111readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  e.  RR )
11340, 39, 43, 42lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  ( R ^
2 )  <  (
( abs `  t
) ^ 2 ) ) )
11435breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  <  ( ( abs `  t ) ^ 2 )  <->  ( R ^ 2 )  < 
( t ^ 2 ) ) )
115113, 114bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  ( R ^
2 )  <  (
t ^ 2 ) ) )
116115biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  -> 
( R ^ 2 )  <  ( t ^ 2 ) )
1171163adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  < 
( t ^ 2 ) )
118 sqge0 12389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( u ^ 2 ) )
1191183ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( u ^ 2 ) )
120110, 111addge01d 10222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( u ^ 2 )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) ) ) )
121119, 120mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  <_  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
122109, 110, 112, 117, 121ltletrd 9812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  < 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
123109, 112ltnled 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  <  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <->  -.  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) )
124122, 123mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
1251243expa 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  /\  u  e.  RR )  ->  -.  ( (
t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )
126125ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  A. u  e.  RR  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
127 rabeq0 3757 . . . . . . . 8  |-  ( { u  e.  RR  | 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) }  =  (/)  <->  A. u  e.  RR  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
128126, 127sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  { u  e.  RR  |  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) }  =  (/) )
129108, 128syl5eqr 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  { u  |  (
u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  (/) )
130107, 129syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  (/) )
131 iffalse 3881 . . . . . 6  |-  ( -.  ( abs `  t
)  <_  R  ->  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
132131adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  if ( ( abs `  t )  <_  R ,  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
133130, 132eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
134104, 133pm2.61dan 808 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
13527, 134eqtr3d 2507 . 2  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
13624, 135syl5eq 2517 1  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( S " { t } )  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881   2c2 10681   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
This theorem is referenced by:  areacirc  32101
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