Theorem areacirclem5 28491

Description: Finding the cross-section of a circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
areacirc.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
areacirclem5	|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )

Distinct variable groups:   x, y, t, R   t, S

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem areacirclem5

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		areacirc.1	. . . 4 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
2	1	imaeq1i 5169	. . 3 |- ( S " { t } ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } )
3		vex 2978	. . . 4 |- t e. _V
4		imasng 5194	. . . 4 |- ( t e. _V -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u }
6		df-br 4296	. . . . 5 |- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } )
7		vex 2978	. . . . . 6 |- u e. _V
8		eleq1 2503	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( x e. RR <-> t e. RR ) )
9	8	anbi1d 704	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ y e. RR ) ) )
10		oveq1 6101	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( x ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
11	10	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
12	11	breq1d 4305	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
13	9, 12	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( x = t -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
14		eleq1 2503	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( y e. RR <-> u e. RR ) )
15	14	anbi2d 703	. . . . . . 7 |- ( y = u -> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ u e. RR ) ) )
16		oveq1 6101	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( y ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
17	16	oveq2d 6110	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
18	17	breq1d 4305	. . . . . . 7 |- ( y = u -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
19	15, 18	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( y = u -> ( ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
20	3, 7, 13, 19	opelopab 4613	. . . . 5 |- ( <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
21		anass 649	. . . . 5 |- ( ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
22	6, 20, 21	3bitri 271	. . . 4 |- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
23	22	abbii 2558	. . 3 |- { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) }
24	2, 5, 23	3eqtri 2467	. 2 |- ( S " { t } ) = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) }
25		simp3 990	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> t e. RR )
26	25	biantrurd 508	. . . 4 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) )
27	26	abbidv 2560	. . 3 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } )
28		resqcl 11936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
29	28	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
30		resqcl 11936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
31	30	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
32	29, 31	resubcld 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR )
34		absresq 12794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
35	34	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
36	35	breq1d 4305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
37		recn 9375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. RR -> t e. CC )
38	37	abscld 12925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
39	38	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
40		simp1 988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> R e. RR )
41	37	absge0d 12933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
42	41	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
43		simp2 989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
44	39, 40, 42, 43	le2sqd 12046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
45	29, 31	subge0d 9932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
47	46	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
48	33, 47	resqrcld 12907	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
49	48	renegcld 9778	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
50	49	rexrd 9436	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
51	48	rexrd 9436	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
52		iccval 11342	. . . . . 6 |- ( ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* /\ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) -> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
53	50, 51, 52	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
54		iftrue 3800	. . . . . 6 |- ( ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
56		absresq 12794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
57	32	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC )
58	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC )
59	58	sqsqrd 12928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
60	56, 59	breqan12rd 4311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
61		recn 9375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> u e. CC )
62	61	abscld 12925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( abs ` u ) e. RR )
64	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
65	61	absge0d 12933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
66	65	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` u ) )
67	33, 47	sqrge0d 12910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
68	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
69	63, 64, 66, 68	le2sqd 12046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
70	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
71		resqcl 11936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
72	71	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
73	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
74	70, 72, 73	leaddsub2d 9944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
76	60, 69, 75	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
77		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR )
78	77, 64	absled 12920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
79		rexr 9432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> u e. RR* )
80	79	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR* )
81	80	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
82	76, 78, 81	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
83	82	pm5.32da 641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
84		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR* )
85	48	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
86		mnfxr 11097	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo e. RR* )
88	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
89	88	rexrd 9436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
90		mnflt 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
91	49, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
92	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
93		simprrl 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u )
94	87, 89, 84, 92, 93	xrltletrd 11138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < u )
95		simprrr 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
96		xrre 11144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. RR* /\ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) /\ ( -oo < u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR )
97	84, 85, 94, 95, 96	syl22anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR )
98	97	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR ) )
99	98	pm4.71rd 635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
100	83, 99	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101	100	abbidv 2560	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } )
102		df-rab 2727	. . . . . 6 |- { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) }
103	101, 102	syl6eqr 2493	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
104	53, 55, 103	3eqtr4rd 2486	. . . 4 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
105	40, 39	ltnled 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> -. ( abs ` t ) <_ R ) )
106	105	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( -. ( abs ` t ) <_ R -> R < ( abs ` t ) ) )
107	106	imdistani 690	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) )
108		df-rab 2727	. . . . . . 7 |- { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
109	29	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
110	31	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
111	71	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
112	110, 111	readdcld 9416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) e. RR )
113	40, 39, 43, 42	lt2sqd 12045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) ) )
114	35	breq2d 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) )
115	113, 114	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) )
116	115	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) )
117	116	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) )
118		sqge0 11945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( u ^ 2 ) )
119	118	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( u ^ 2 ) )
120	110, 111	addge01d 9930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ ( u ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
122	109, 110, 112, 117, 121	ltletrd 9534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
123	109, 112	ltnled 9524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <-> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
124	122, 123	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
125	124	3expa 1187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
126	125	ralrimiva 2802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
127		rabeq0 3662	. . . . . . . 8 |- ( { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) <-> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
128	126, 127	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) )
129	108, 128	syl5eqr 2489	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) )
130	107, 129	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) )
131		iffalse 3802	. . . . . 6 |- ( -. ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) )
132	131	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) )
133	130, 132	eqtr4d 2478	. . . 4 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
134	104, 133	pm2.61dan 789	. . 3 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
135	27, 134	eqtr3d 2477	. 2 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
136	24, 135	syl5eq 2487	1 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   {crab 2722   _Vcvv 2975   (/)c0 3640   ifcif 3794   {csn 3880   <.cop 3886   class class class wbr 4295   {copab 4352   "cima 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   + caddc 9288   -oocmnf 9419   RR*cxr 9420   < clt 9421   <_ cle 9422   - cmin 9598   -ucneg 9599   2c2 10374   [,]cicc 11306   ^cexp 11868   sqrcsqr 12725   abscabs 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-icc 11310  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728

This theorem is referenced by:  areacirc  28492