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Theorem areacirclem4 30315
Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    t, R

Proof of Theorem areacirclem4
StepHypRef Expression
1 rpcn 11253 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
21sqcld 12311 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
3 rpre 11251 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
43renegcld 10007 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR )
5 iccssre 11631 . . . . 5  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
64, 3, 5syl2anc 661 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
7 ax-resscn 9566 . . . 4  |-  RR  C_  CC
86, 7syl6ss 3511 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R [,] R )  C_  CC )
9 ssid 3518 . . . 4  |-  CC  C_  CC
109a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  CC  C_  CC )
11 cncfmptc 21541 . . 3  |-  ( ( ( R ^ 2 )  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( R ^ 2 ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
122, 8, 10, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( R ^ 2 ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
13 eqid 2457 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413addcn 21495 . . . 4  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1514a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
168sselda 3499 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
t  e.  CC )
171adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  R  e.  CC )
18 rpne0 11260 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  =/=  0 )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  R  =/=  0 )
2016, 17, 19divcld 10341 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  CC )
21 asinval 23339 . . . . . . 7  |-  ( ( t  /  R )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( t  /  R
) )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
23 ax-icn 9568 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  _i  e.  CC )
2524, 20mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  e.  CC )
26 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
1  e.  CC )
2720sqcld 12311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  CC )
2826, 27subcld 9950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  CC )
2928sqrtcld 13280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
3025, 29addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
31 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
32 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
t  =  0 )
3332oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( t  /  R
)  =  ( 0  /  R ) )
341, 18div0d 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  /  R )  =  0 )
35343ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  /  R
)  =  0 )
3633, 35eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( t  /  R
)  =  0 )
3736oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
38 it0e0 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
3937, 38syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  0 )
4036oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
4140oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( 0 ^ 2 ) ) )
4241fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( 1  -  (
0 ^ 2 ) ) ) )
43 sq0 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
4443oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  -  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 1  -  0 )
45 1m0e1 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4644, 45eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  ( 0 ^ 2 ) )  =  1
4746fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
0 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  1 )
48 sqrt1 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sqr `  1 )  =  1
4947, 48eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
0 ^ 2 ) ) )  =  1
5042, 49syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
5139, 50oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
52 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  1 )
5453breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  <  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <->  0  <  1 ) )
55 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
56 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
1  e.  RR )
5753, 56eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
5855, 57ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  <  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <->  -.  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
5954, 58bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  <  1  <->  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
6031, 59mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  ->  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 )
61603expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =  0 )  ->  -.  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )
6261olcd 393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =  0 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
63 inelr 10546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  _i  e.  RR
6425, 29pncand 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( t  /  R
) ) )
65643adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
t  /  R ) ) )
6665oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( R  / 
t ) )  =  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  x.  ( R  /  t ) ) )
6723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
68203adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
t  /  R )  e.  CC )
6913ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  R  e.  CC )
70163adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  t  e.  CC )
71 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  t  =/=  0 )
7269, 70, 71divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  ( R  /  t )  e.  CC )
7367, 68, 72mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  x.  ( R  /  t ) )  =  ( _i  x.  ( ( t  /  R )  x.  ( R  /  t ) ) ) )
7466, 73eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( R  / 
t ) )  =  ( _i  x.  (
( t  /  R
)  x.  ( R  /  t ) ) ) )
75183ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  R  =/=  0 )
7670, 69, 71, 75divcan6d 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( t  /  R
)  x.  ( R  /  t ) )  =  1 )
7776oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
_i  x.  ( (
t  /  R )  x.  ( R  / 
t ) ) )  =  ( _i  x.  1 ) )
7867mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
_i  x.  1 )  =  _i )
7974, 77, 783eqtrrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  _i  =  ( ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  x.  ( R  /  t ) ) )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  _i  =  ( ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( R  / 
t ) ) )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
82 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
1  e.  RR )
836sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
t  e.  RR )
843adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  R  e.  RR )
8583, 84, 19redivcld 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  RR )
8685resqcld 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  RR )
8782, 86resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  RR )
88 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
894, 3, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
90 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
91 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
923adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
9318adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
9491, 92, 93redivcld 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  /  R )  e.  RR )
9594resqcld 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  e.  RR )
9690, 95subge0d 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) )  <->  ( (
t  /  R ) ^ 2 )  <_ 
1 ) )
97 recn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
991adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
10098, 99, 93sqdivd 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) )
101100breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <_  1  <->  ( (
t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) )  <_ 
1 ) )
102 resqcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
1043resqcld 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
105 rpgt0 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
106 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
107 0le0 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  0  <_  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
109 rpge0 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
110106, 3, 108, 109lt2sqd 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  ( 0 ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) ) )
11143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0 ^ 2 )  =  0 )
112111breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
113110, 112bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
114105, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
( R ^ 2 ) )
115104, 114elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
117103, 90, 116ledivmuld 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <_  1  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
118 absresq 13147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
119118eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  =  ( ( abs `  t ) ^ 2 ) )
1202mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
121119, 120breqan12rd 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
12297abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
123122adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
12497absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
126109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
127123, 92, 125, 126le2sqd 12348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
12891, 92absled 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
129121, 127, 1283bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  ( -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
130117, 129bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <_  1  <->  ( -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
13196, 101, 1303bitrrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <_  t  /\  t  <_  R )  <->  0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
132131biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <_  t  /\  t  <_  R )  ->  0  <_  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
133132exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <_  t  ->  ( t  <_  R  ->  0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
1341333impd 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <_  t  /\  t  <_  R )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
13589, 134sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )
136135imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
13787, 136resqrtcld 13261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1381373adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
139138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
14081, 139resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
14133ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  R  e.  RR )
142833adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  t  e.  RR )
143141, 142, 71redivcld 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  ( R  /  t )  e.  RR )
144143adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( R  / 
t )  e.  RR )
145140, 144remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  x.  ( R  /  t ) )  e.  RR )
14680, 145eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  _i  e.  RR )
147146ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  _i  e.  RR ) )
1481473expa 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =/=  0
)  ->  ( (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  _i  e.  RR ) )
14963, 148mtoi 178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =/=  0
)  ->  -.  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
150149orcd 392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =/=  0
)  ->  ( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
15162, 150pm2.61dane 2775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
152 ianor 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
153151, 152sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  -.  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
154 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
155 0re 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
156 elioc2 11612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
157154, 155, 156mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
158 3simpb 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
159157, 158sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
)  ->  ( (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
160153, 159nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
16130, 160eldifd 3482 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )
162 fvres 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
164163oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( -u _i  x.  (
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
16522, 164eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
166165mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( -u _i  x.  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
167 negicn 9840 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
168167a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u _i  e.  CC )
169 cncfmptc 21541 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  -u _i )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
170168, 8, 10, 169syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  -u _i )  e.  ( ( -u R [,] R )
-cn-> CC ) )
17113cnfldtopon 21416 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
172171a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
173 resttopon 19789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( -u R [,] R ) 
C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  e.  (TopOn `  ( -u R [,] R ) ) )
174172, 8, 173syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  e.  (TopOn `  ( -u R [,] R ) ) )
175 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
176161, 175fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) : ( -u R [,] R ) --> ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )
177 difssd 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC )
17816, 17, 19divrec2d 10345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  =  ( ( 1  /  R )  x.  t ) )
179178oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  ( _i  x.  ( ( 1  /  R )  x.  t ) ) )
1801, 18reccld 10334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 1  /  R )  e.  CC )
181180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  CC )
18224, 181, 16mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( _i  x.  ( 1  /  R
) )  x.  t
)  =  ( _i  x.  ( ( 1  /  R )  x.  t ) ) )
183179, 182eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  ( ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  x.  t ) )
184183mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( t  /  R ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  x.  t ) ) )
18523a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  _i  e.  CC )
186185, 180mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  e.  CC )
187 cncfmptc 21541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  (
1  /  R ) )  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
188186, 8, 10, 187syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
189 cncfmptid 21542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  t )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
1908, 10, 189syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  t )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
191188, 190mulcncf 21985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  x.  t ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
192184, 191eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( t  /  R ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
19317, 29mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
194193, 17, 19divrec2d 10345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  /  R )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
19529, 17, 19divcan3d 10346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  /  R )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
196104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  RR )
1973sqge0d 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
( R ^ 2 ) )
198197adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
0  <_  ( R ^ 2 ) )
199196, 198, 87, 136sqrtmuld 13268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
2002adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  CC )
201200, 26, 27subdid 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
202200mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
20316, 17, 19sqdivd 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) ) )
204203oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) ) )
20516sqcld 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t ^ 2 )  e.  CC )
206 sqne0 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  CC  ->  (
( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
2071, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
20818, 207mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =/=  0 )
209208adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R ^ 2 )  =/=  0 )
210205, 200, 209divcan2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) ) )  =  ( t ^ 2 ) )
211204, 210eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( t ^ 2 ) )
212202, 211oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  (
( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
213201, 212eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
214213fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
215109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
0  <_  R )
21684, 215sqrtsqd 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
217216oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )
218199, 214, 2173eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
219218oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( 1  /  R )  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
220194, 195, 2193eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
221220mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
222 cncfmptc 21541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  R
)  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( 1  /  R ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
223180, 8, 10, 222syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( 1  /  R ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
224 areacirclem2 30313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  -> 
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2253, 109, 224syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
226223, 225mulcncf 21985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
227221, 226eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
22813, 15, 192, 227cncfmpt2f 21544 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
229 cncffvrn 21528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC  /\  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )  ->  (
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )  <-> 
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) : ( -u R [,] R ) --> ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
230177, 228, 229syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  <-> 
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) : ( -u R [,] R ) --> ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
231176, 230mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
232 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )
233 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
23413, 232, 233cncfcn 21539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC )  -> 
( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
2358, 177, 234syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( (
-u R [,] R
) -cn-> ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
236231, 235eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
237 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
238237logcn 23154 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
239 difss 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
240 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
24113, 233, 240cncfcn 21539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
242239, 9, 241mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) )
243238, 242eleqtri 2543 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) )
244243a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
245174, 236, 244cnmpt11f 20291 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
24613, 232, 240cncfcn 21539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
2478, 10, 246syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
248245, 247eleqtrrd 2548 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
249170, 248mulcncf 21985 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( -u _i  x.  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
250166, 249eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
251220oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
252200, 205subcld 9950 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  CC )
253252sqrtcld 13280 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  CC )
25420, 181, 253mulassd 9636 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( t  /  R )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
25516, 17, 19divrecd 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  =  ( t  x.  ( 1  /  R ) ) )
256255oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( ( t  x.  ( 1  /  R ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )
25716, 181, 181mulassd 9636 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) ) )
258256, 257eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) ) )
259258oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( t  /  R )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
260251, 254, 2593eqtr2d 2504 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
261260mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
262180, 180mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R ) )  e.  CC )
263 cncfmptc 21541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  /  R )  x.  (
1  /  R ) )  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( 1  /  R
)  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
264262, 8, 10, 263syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
265190, 264mulcncf 21985 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
266265, 225mulcncf 21985 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R ) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
267261, 266eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
26813, 15, 250, 267cncfmpt2f 21544 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
26912, 268mulcncf 21985 1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   _ici 9511    + caddc 9512    x. cmul 9514   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   (,]cioc 11555   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   abscabs 13079   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839  ℂfldccnfld 18547  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852    tX ctx 20187   -cn->ccncf 21506   logclog 23068  arcsincasin 23319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-asin 23322
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