Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  archnq Structured version   Unicode version

Theorem archnq 9356
 Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
archnq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem archnq
StepHypRef Expression
1 elpqn 9301 . . . 4
2 xp1st 6781 . . . 4
31, 2syl 17 . . 3
4 1pi 9259 . . 3
5 addclpi 9268 . . 3
63, 4, 5sylancl 666 . 2
7 xp2nd 6782 . . . . . 6
81, 7syl 17 . . . . 5
9 mulclpi 9269 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 665 . . . 4
11 eqid 2428 . . . . . . 7
12 oveq2 6257 . . . . . . . . 9
1312eqeq1d 2430 . . . . . . . 8
1413rspcev 3125 . . . . . . 7
154, 11, 14mp2an 676 . . . . . 6
16 ltexpi 9278 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 236 . . . . 5
183, 6, 17syl2anc 665 . . . 4
19 nlt1pi 9282 . . . . 5
20 ltmpi 9280 . . . . . . 7
216, 20syl 17 . . . . . 6
22 mulidpi 9262 . . . . . . . 8
236, 22syl 17 . . . . . . 7
2423breq2d 4378 . . . . . 6
2521, 24bitrd 256 . . . . 5
2619, 25mtbii 303 . . . 4
27 ltsopi 9264 . . . . 5
28 ltrelpi 9265 . . . . 5
2927, 28sotri3 5192 . . . 4
3010, 18, 26, 29syl3anc 1264 . . 3
31 pinq 9303 . . . . . 6
326, 31syl 17 . . . . 5
33 ordpinq 9319 . . . . 5
3432, 33mpdan 672 . . . 4
35 ovex 6277 . . . . . . . 8
364elexi 3032 . . . . . . . 8
3735, 36op2nd 6760 . . . . . . 7
3837oveq2i 6260 . . . . . 6
39 mulidpi 9262 . . . . . . 7
403, 39syl 17 . . . . . 6
4138, 40syl5eq 2474 . . . . 5
4235, 36op1st 6759 . . . . . . 7
4342oveq1i 6259 . . . . . 6
4443a1i 11 . . . . 5
4541, 44breq12d 4379 . . . 4
4634, 45bitrd 256 . . 3
4730, 46mpbird 235 . 2
48 opeq1 4130 . . . 4
4948breq2d 4378 . . 3
5049rspcev 3125 . 2
516, 47, 50syl2anc 665 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wrex 2715  cop 3947   class class class wbr 4366   cxp 4794  cfv 5544  (class class class)co 6249  c1st 6749  c2nd 6750  c1o 7130  cnpi 9220   cpli 9221   cmi 9222   clti 9223  cnq 9228   cltq 9234 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-ni 9248  df-pli 9249  df-mi 9250  df-lti 9251  df-ltpq 9286  df-nq 9288  df-ltnq 9294 This theorem is referenced by:  prlem934  9409
 Copyright terms: Public domain W3C validator