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Theorem archirngz 27565
Description: Property of Archimedean left and right ordered groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archirng.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archirng.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archirng.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
archirng.l  |-  .<_  =  ( le `  W )
archirng.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
archirng.1  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
archirng.2  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
archirng.3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
archirng.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
archirng.5  |-  ( ph  ->  .0.  .<  X )
archirngz.1  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
Assertion
Ref Expression
archirngz  |-  ( ph  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    n, X    n, Y    ph, n    .0. , n    .<_ , n    .< , n    .x. , n
Allowed substitution hints:    B( n)    W( n)

Proof of Theorem archirngz
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1z 10911 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
2 archirng.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
3 ogrpgrp 27525 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
42, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5 1zzd 10907 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6 archirng.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 archirng.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  W
)
8 archirng.x . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  W )
9 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
107, 8, 9mulgneg 16031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  1  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( 1  .x. 
X ) ) )
114, 5, 6, 10syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  .x. 
X )  =  ( ( invg `  W ) `  (
1  .x.  X )
) )
127, 8mulg1 16020 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
136, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
1413fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
1  .x.  X )
)  =  ( ( invg `  W
) `  X )
)
1511, 14eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u 1  .x. 
X )  =  ( ( invg `  W ) `  X
) )
16 archirng.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .0.  .<  X )
17 archirng.i . . . . . . . . . 10  |-  .<  =  ( lt `  W )
18 archirng.0 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
197, 17, 9, 18ogrpinv0lt 27545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .<  X  <->  ( ( invg `  W ) `
 X )  .<  .0.  ) )
2019biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  X  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  ( ( invg `  W ) `  X
)  .<  .0.  )
212, 6, 16, 20syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  X
)  .<  .0.  )
2215, 21eqbrtrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1  .x. 
X )  .<  .0.  )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  ( -u
1  .x.  X )  .<  .0.  )
24 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  Y  =  .0.  )
2523, 24breqtrrd 4479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  ( -u
1  .x.  X )  .<  Y )
26 isogrp 27524 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
2726simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
28 omndtos 27527 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
292, 27, 283syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. Toset )
30 tospos 27478 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Poset )
327, 18grpidcl 15949 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
332, 3, 323syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
34 archirng.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  W )
357, 34posref 15454 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  .0.  e.  B )  ->  .0.  .<_  .0.  )
3631, 33, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  .<_  .0.  )
3736adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  .0.  .<_  .0.  )
38 1m1e0 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3938negeqi 9825 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  -  1 )  =  -u 0
40 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4140, 40negsubdii 9916 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  -  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
42 neg0 9877 . . . . . . . . 9  |-  -u 0  =  0
4339, 41, 423eqtr3i 2504 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
4443oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  1 )  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X )
457, 18, 8mulg0 16018 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
466, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
4744, 46syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  +  1 )  .x.  X )  =  .0.  )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  ( (
-u 1  +  1 )  .x.  X )  =  .0.  )
4937, 24, 483brtr4d 4483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  Y  .<_  ( ( -u 1  +  1 )  .x.  X
) )
5025, 49jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  ( (
-u 1  .x.  X
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( -u 1  +  1 )  .x.  X ) ) )
51 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( n  =  -u 1  ->  (
n  .x.  X )  =  ( -u 1  .x.  X ) )
5251breq1d 4463 . . . . 5  |-  ( n  =  -u 1  ->  (
( n  .x.  X
)  .<  Y  <->  ( -u 1  .x.  X )  .<  Y ) )
53 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( n  =  -u 1  ->  (
n  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
5453oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( n  =  -u 1  ->  (
( n  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( -u
1  +  1 ) 
.x.  X ) )
5554breq2d 4465 . . . . 5  |-  ( n  =  -u 1  ->  ( Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X )  <->  Y  .<_  ( ( -u 1  +  1 )  .x.  X
) ) )
5652, 55anbi12d 710 . . . 4  |-  ( n  =  -u 1  ->  (
( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) )  <->  ( ( -u 1  .x.  X ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( -u 1  +  1 )  .x.  X
) ) ) )
5756rspcev 3219 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( ( -u 1  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( -u
1  +  1 ) 
.x.  X ) ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
581, 50, 57sylancr 663 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  .0.  )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
59 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
6059nn0zd 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ZZ )
6160ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  m  e.  ZZ )
6261znegcld 10980 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  -u m  e.  ZZ )
63 2z 10908 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
6463a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  2  e.  ZZ )
6562, 64zsubcld 10983 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( -u m  -  2 )  e.  ZZ )
66 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
6766adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
68 2cnd 10620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
6967, 68negdi2d 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u (
m  +  2 )  =  ( -u m  -  2 ) )
7069oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( m  +  2 )  .x.  X )  =  ( ( -u m  -  2 ) 
.x.  X ) )
712ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  W  e. oGrp )
72 archirngz.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (oppg `  W
)  e. oGrp )
7471, 73jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp ) )
754ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  W  e.  Grp )
7660peano2zd 10981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
m  +  1 )  e.  ZZ )
776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  X  e.  B )
787, 8mulgcl 16030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  1
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B )
7975, 76, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( m  +  1 )  .x.  X )  e.  B )
8063a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
8160, 80zaddcld 10982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
m  +  2 )  e.  ZZ )
827, 8mulgcl 16030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  2
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( m  + 
2 )  .x.  X
)  e.  B )
8375, 81, 77, 82syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( m  +  2 )  .x.  X )  e.  B )
8475, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  .0.  e.  B )
8516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  .0.  .<  X )
86 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
877, 17, 86ogrpaddlt 27540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (  .0.  e.  B  /\  X  e.  B  /\  (
( m  +  1 )  .x.  X )  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) ) 
.<  ( X ( +g  `  W ) ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
8871, 84, 77, 79, 85, 87syl131anc 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  .0.  ( +g  `  W
) ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  .< 
( X ( +g  `  W ) ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
897, 86, 18grplid 15951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  W ) ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) )
9075, 79, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  .0.  ( +g  `  W
) ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) )
91 1cnd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
9266, 91, 91addassd 9630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  =  ( m  +  ( 1  +  1 ) ) )
93 1p1e2 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9493oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( m  +  2 )
9592, 94syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  =  ( m  +  2 ) )
9666, 91addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  CC )
9796, 91addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( m  +  1 ) ) )
9895, 97eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  2 )  =  ( 1  +  ( m  +  1 ) ) )
9998oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  2 ) 
.x.  X )  =  ( ( 1  +  ( m  +  1 ) )  .x.  X
) )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( m  +  2 )  .x.  X )  =  ( ( 1  +  ( m  + 
1 ) )  .x.  X ) )
101 1zzd 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  ZZ )
1027, 8, 86mulgdir 16038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  ( m  +  1 ) ) 
.x.  X )  =  ( ( 1  .x. 
X ) ( +g  `  W ) ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
10375, 101, 76, 77, 102syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  ( m  +  1 ) )  .x.  X )  =  ( ( 1 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )
10477, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
105104oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
106100, 103, 1053eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
2 )  .x.  X
) )
10788, 90, 1063brtr3d 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( m  +  1 )  .x.  X ) 
.<  ( ( m  + 
2 )  .x.  X
) )
1087, 17, 9ogrpinvlt 27546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B  /\  ( ( m  + 
2 )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  X )  .< 
( ( m  + 
2 )  .x.  X
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  2 )  .x.  X ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( m  +  1 )  .x.  X ) ) ) )
109108biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp
)  /\  ( (
m  +  1 ) 
.x.  X )  e.  B  /\  ( ( m  +  2 ) 
.x.  X )  e.  B )  /\  (
( m  +  1 )  .x.  X ) 
.<  ( ( m  + 
2 )  .x.  X
) )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( m  +  2 )  .x.  X ) )  .<  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
11074, 79, 83, 107, 109syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( m  +  2 )  .x.  X ) )  .<  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
1117, 8, 9mulgneg 16031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  2
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( m  +  2 )  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( m  +  2 )  .x.  X ) ) )
11275, 81, 77, 111syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( m  +  2 )  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  2 )  .x.  X ) ) )
1137, 8, 9mulgneg 16031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  1
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( m  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
11475, 76, 77, 113syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( m  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
115110, 112, 1143brtr4d 4483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( m  +  2 )  .x.  X ) 
.<  ( -u ( m  +  1 )  .x.  X ) )
11670, 115eqbrtrrd 4475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( -u m  -  2 )  .x.  X ) 
.<  ( -u ( m  +  1 )  .x.  X ) )
117116ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( -u m  -  2 ) 
.x.  X )  .< 
( -u ( m  + 
1 )  .x.  X
) )
118114ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( -u (
m  +  1 ) 
.x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
11931ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  W  e.  Poset )
120 archirng.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1217, 9grpinvcl 15966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )
1224, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )
123122ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )
124123ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 Y )  e.  B )
12579ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( m  +  1 )  .x.  X )  e.  B
)
126 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) )
127 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( m  +  1 )  .x.  X )  .<_  ( ( invg `  W
) `  Y )
)
1287, 34posasymb 15455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  X )  /\  (
( m  +  1 )  .x.  X ) 
.<_  ( ( invg `  W ) `  Y
) )  <->  ( ( invg `  W ) `
 Y )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )
129128biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  Poset  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B )  /\  ( ( ( invg `  W
) `  Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  /\  ( (
m  +  1 ) 
.x.  X )  .<_  ( ( invg `  W ) `  Y
) ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  Y
)  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  X ) )
130119, 124, 125, 126, 127, 129syl32anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 Y )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) )
131130fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
1327, 9grpinvinv 15976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  Y )
1334, 120, 132syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  Y )
134133ad4antr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  =  Y )
135118, 131, 1343eqtr2rd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  Y  =  (
-u ( m  + 
1 )  .x.  X
) )
136117, 135breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( ( -u m  -  2 ) 
.x.  X )  .<  Y )
137 1cnd 9624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
13867, 68, 137addsubassd 9962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( m  +  2 )  -  1 )  =  ( m  +  ( 2  -  1 ) ) )
139 2m1e1 10662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
140139oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( m  +  1 )
141138, 140syl6req 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
m  +  1 )  =  ( ( m  +  2 )  - 
1 ) )
142141negeqd 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u (
m  +  1 )  =  -u ( ( m  +  2 )  - 
1 ) )
14367, 68addcld 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
m  +  2 )  e.  CC )
144143, 137negsubdid 9957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u (
( m  +  2 )  -  1 )  =  ( -u (
m  +  2 )  +  1 ) )
14569oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( m  +  2 )  +  1 )  =  ( ( -u m  -  2 )  +  1 ) )
146142, 144, 1453eqtrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( -u m  -  2 )  +  1 )  =  -u ( m  + 
1 ) )
147146oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X
)  =  ( -u ( m  +  1
)  .x.  X )
)
14829ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  W  e. Toset )
149148, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  W  e.  Poset )
15060znegcld 10980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u m  e.  ZZ )
151150, 80zsubcld 10983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u m  -  2 )  e.  ZZ )
152151peano2zd 10981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( -u m  -  2 )  +  1 )  e.  ZZ )
1537, 8mulgcl 16030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( -u m  -  2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (
-u m  -  2 )  +  1 ) 
.x.  X )  e.  B )
15475, 152, 77, 153syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X
)  e.  B )
1557, 34posref 15454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( (
-u m  -  2 )  +  1 ) 
.x.  X )  .<_  ( ( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X ) )
156149, 154, 155syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( (
-u m  -  2 )  +  1 ) 
.x.  X ) )
157147, 156eqbrtrrd 4475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( m  +  1 )  .x.  X ) 
.<_  ( ( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X ) )
158157ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  ( -u (
m  +  1 ) 
.x.  X )  .<_  ( ( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X ) )
159135, 158eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  Y  .<_  ( ( ( -u m  - 
2 )  +  1 )  .x.  X ) )
160 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( -u m  -  2 )  -> 
( n  .x.  X
)  =  ( (
-u m  -  2 )  .x.  X ) )
161160breq1d 4463 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( -u m  -  2 )  -> 
( ( n  .x.  X )  .<  Y  <->  ( ( -u m  -  2 ) 
.x.  X )  .<  Y ) )
162 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( -u m  -  2 )  -> 
( n  +  1 )  =  ( (
-u m  -  2 )  +  1 ) )
163162oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( -u m  -  2 )  -> 
( ( n  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( ( -u m  - 
2 )  +  1 )  .x.  X ) )
164163breq2d 4465 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( -u m  -  2 )  -> 
( Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X )  <->  Y  .<_  ( ( ( -u m  -  2 )  +  1 )  .x.  X
) ) )
165161, 164anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( -u m  -  2 )  -> 
( ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) )  <-> 
( ( ( -u m  -  2 ) 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( ( -u m  - 
2 )  +  1 )  .x.  X ) ) ) )
166165rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( ( -u m  - 
2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u m  -  2 ) 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( ( -u m  - 
2 )  +  1 )  .x.  X ) ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
16765, 136, 159, 166syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
16876ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  ZZ )
169168znegcld 10980 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  ->  -u ( m  +  1 )  e.  ZZ )
1702ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ( m  .x.  X )  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) )  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )  ->  W  e. oGrp )
17172ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ( m  .x.  X )  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) )  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
172170, 171jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ( m  .x.  X )  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) )  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )  ->  ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp
) )
1731723anassrs 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )
)
174123ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )
17579ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B )
176 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )
1777, 17, 9ogrpinvlt 27546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  W
) `  Y )  .<  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) ) ) )
178177biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  e.  B  /\  ( ( m  +  1 ) 
.x.  X )  e.  B )  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( m  +  1 )  .x.  X ) )  .<  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) )
179173, 174, 175, 176, 178syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( m  +  1 )  .x.  X ) )  .<  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) )
180114ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( -u ( m  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
m  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
181180eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( m  +  1 )  .x.  X ) )  =  ( -u ( m  +  1
)  .x.  X )
)
182133ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  Y )
183179, 181, 1823brtr3d 4482 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( -u ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<  Y )
184 simp-4l 765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  ->  ph )
1857, 8mulgcl 16030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
m  .x.  X )  e.  B )
18675, 60, 77, 185syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
m  .x.  X )  e.  B )
1877, 17, 9ogrpinvlt 27546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( m  .x.  X
)  e.  B  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  ( ( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
) ) )
18874, 186, 123, 187syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( m  .x.  X
)  .<  ( ( invg `  W ) `
 Y )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  ( ( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
) ) )
189188biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( m  .x.  X ) 
.<  ( ( invg `  W ) `  Y
) )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) )  .<  (
( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
) )
190189adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m  .x.  X )  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) )  .<  (
( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
) )
191190adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Y
) )  .<  (
( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
) )
192 negdi 9888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( m  + 
1 )  =  (
-u m  +  -u
1 ) )
19366, 40, 192sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  -u (
m  +  1 )  =  ( -u m  +  -u 1 ) )
194193oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u ( m  +  1
)  +  1 )  =  ( ( -u m  +  -u 1 )  +  1 ) )
19566negcld 9929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  -u m  e.  CC )
19691negcld 9929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
197195, 196, 91addassd 9630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u m  +  -u
1 )  +  1 )  =  ( -u m  +  ( -u 1  +  1 ) ) )
19843oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u m  +  ( -u 1  +  1 ) )  =  ( -u m  +  0 )
199198a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u m  +  ( -u 1  +  1 ) )  =  ( -u m  +  0 ) )
200195addid1d 9791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u m  +  0 )  =  -u m )
201197, 199, 2003eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u m  +  -u
1 )  +  1 )  =  -u m
)
202194, 201eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u ( m  +  1
)  +  1 )  =  -u m )
203202oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  =  ( -u m  .x.  X ) )
204203adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( -u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  =  ( -u m  .x.  X ) )
2057, 8, 9mulgneg 16031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u m  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( m  .x.  X ) ) )
20675, 60, 77, 205syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u m  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( m  .x.  X ) ) )
207204, 206eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( -u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `
 ( m  .x.  X ) ) )
208207ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( -u (
m  +  1 )  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
) )
209208eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
m  .x.  X )
)  =  ( (
-u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X ) )
210191, 182, 2093brtr3d 4482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  ->  Y  .<  ( ( -u ( m  +  1
)  +  1 ) 
.x.  X ) )
211 ovex 6320 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  e.  _V
212211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
m  +  1 )  +  1 )  .x.  X )  e.  _V )
21334, 17pltle 15464 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  Y  e.  B  /\  (
( -u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  e.  _V )  -> 
( Y  .<  (
( -u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  ->  Y  .<_  ( (
-u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X ) ) )
2142, 120, 212, 213syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .<  (
( -u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X )  ->  Y  .<_  ( (
-u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X ) ) )
215184, 210, 214sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  ->  Y  .<_  ( ( -u ( m  +  1
)  +  1 ) 
.x.  X ) )
216 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  -u ( m  + 
1 )  ->  (
n  .x.  X )  =  ( -u (
m  +  1 ) 
.x.  X ) )
217216breq1d 4463 . . . . . . 7  |-  ( n  =  -u ( m  + 
1 )  ->  (
( n  .x.  X
)  .<  Y  <->  ( -u (
m  +  1 ) 
.x.  X )  .<  Y ) )
218 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  -u ( m  + 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( -u (
m  +  1 )  +  1 ) )
219218oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  -u ( m  + 
1 )  ->  (
( n  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( -u ( m  +  1
)  +  1 ) 
.x.  X ) )
220219breq2d 4465 . . . . . . 7  |-  ( n  =  -u ( m  + 
1 )  ->  ( Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X )  <->  Y  .<_  ( ( -u ( m  +  1 )  +  1 )  .x.  X
) ) )
221217, 220anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( n  =  -u ( m  + 
1 )  ->  (
( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) )  <->  ( ( -u ( m  +  1 )  .x.  X ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( -u ( m  +  1 )  +  1 )  .x.  X
) ) ) )
222221rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( (
-u ( m  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( -u (
m  +  1 ) 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( (
-u ( m  + 
1 )  +  1 )  .x.  X ) ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
223169, 183, 215, 222syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  /\  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
2247, 34, 17tlt2 27484 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
( m  +  1 )  .x.  X )  e.  B  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  X )  .<_  ( ( invg `  W ) `  Y
)  \/  ( ( invg `  W
) `  Y )  .<  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )
225148, 79, 123, 224syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( m  + 
1 )  .x.  X
)  .<_  ( ( invg `  W ) `
 Y )  \/  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
226225adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m  .x.  X )  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  -> 
( ( ( m  +  1 )  .x.  X )  .<_  ( ( invg `  W
) `  Y )  \/  ( ( invg `  W ) `  Y
)  .<  ( ( m  +  1 )  .x.  X ) ) )
227167, 223, 226mpjaodan 784 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  .<  .0.  )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( ( m  .x.  X )  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
2282adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  W  e. oGrp )
229 archirng.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
230229adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  W  e. Archi )
2316adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  X  e.  B )
232122adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  ( ( invg `  W ) `
 Y )  e.  B )
23316adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  .0.  .<  X )
234133breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  .0.  <->  Y  .<  .0.  )
)
235234biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  .0.  )
2367, 17, 9, 18ogrpinv0lt 27545 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  B )  ->  (  .0.  .<  ( ( invg `  W ) `  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  .0.  ) )
2372, 122, 236syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .0.  .<  (
( invg `  W ) `  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  .0.  ) )
238237biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) 
.<  .0.  )  ->  .0.  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
) )
239235, 238syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  .0.  .<  (
( invg `  W ) `  Y
) )
2407, 18, 17, 34, 8, 228, 230, 231, 232, 233, 239archirng 27564 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( m 
.x.  X )  .< 
( ( invg `  W ) `  Y
)  /\  ( ( invg `  W ) `
 Y )  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  X
) ) )
241227, 240r19.29a 3008 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  .<  .0.  )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) ) )
242 nn0ssz 10897 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
2432adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  W  e. oGrp )
244229adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  W  e. Archi )
2456adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
246120adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
24716adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  .0.  .<  X )
248 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  .0.  .<  Y )
2497, 18, 17, 34, 8, 243, 244, 245, 246, 247, 248archirng 27564 . . 3  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
250 ssrexv 3570 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( n  .x.  X ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  X ) ) ) )
251242, 249, 250mpsyl 63 . 2  |-  ( (
ph  /\  .0.  .<  Y )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
2527, 17tlt3 27485 . . 3  |-  ( ( W  e. Toset  /\  Y  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  ( Y  =  .0.  \/  Y  .<  .0.  \/  .0.  .<  Y ) )
25329, 120, 33, 252syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  =  .0. 
\/  Y  .<  .0.  \/  .0.  .<  Y ) )
25458, 241, 251, 253mpjao3dan 1295 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n  .x.  X )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    - cmin 9817   -ucneg 9818   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   lecple 14578   0gc0g 14711   Posetcpo 15443   ltcplt 15444  Tosetctos 15536   Grpcgrp 15924   invgcminusg 15925  .gcmg 15927  oppgcoppg 16251  oMndcomnd 27519  oGrpcogrp 27520  Archicarchi 27553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-ple 14591  df-0g 14713  df-poset 15449  df-plt 15461  df-toset 15537  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-mulg 15931  df-oppg 16252  df-omnd 27521  df-ogrp 27522  df-inftm 27554  df-archi 27555
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  27571
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