Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiexdiv Structured version   Unicode version

Theorem archiexdiv 27424
Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor"  n. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiexdiv.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiexdiv.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiexdiv.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiexdiv.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
Assertion
Ref Expression
archiexdiv  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, W    n, X    n, Y    .0. , n    .< , n    .x. , n

Proof of Theorem archiexdiv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  .0.  .<  X )
2 archiexdiv.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 archiexdiv.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 archiexdiv.i . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  W )
5 archiexdiv.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  W )
62, 3, 4, 5isarchi3 27421 . . . . 5  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
76biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) )
873ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) ) )
9 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  .0.  .<  x  <->  .0.  .<  X ) )
10 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
n  .x.  x )  =  ( n  .x.  X ) )
1110breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  <->  y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
1211rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x )  <->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  X )
) )
139, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<  ( n  .x.  X )  <->  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
1514rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X )  <->  E. n  e.  NN  Y  .<  (
n  .x.  X )
) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X ) )  <->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
1713, 16rspc2v 3223 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
18173ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
198, 18mpd 15 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
201, 19mpd 15 1  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   NNcn 10536   Basecbs 14490   0gc0g 14695   ltcplt 15428  .gcmg 15731  oGrpcogrp 27378  Archicarchi 27411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-toset 15521  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-omnd 27379  df-ogrp 27380  df-inftm 27412  df-archi 27413
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator