Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiexdiv Structured version   Unicode version

Theorem archiexdiv 28345
Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor"  n. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiexdiv.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiexdiv.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiexdiv.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiexdiv.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
Assertion
Ref Expression
archiexdiv  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, W    n, X    n, Y    .0. , n    .< , n    .x. , n

Proof of Theorem archiexdiv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiexdiv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 archiexdiv.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 archiexdiv.i . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  W )
4 archiexdiv.x . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  W )
51, 2, 3, 4isarchi3 28342 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
65biimpa 486 . . 3  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) )
763ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) ) )
8 simp3 1007 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  .0.  .<  X )
9 breq2 4430 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (  .0.  .<  x  <->  .0.  .<  X ) )
10 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
n  .x.  x )  =  ( n  .x.  X ) )
1110breq2d 4438 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  <->  y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
1211rexbidv 2946 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x )  <->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  X )
) )
139, 12imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 breq1 4429 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<  ( n  .x.  X )  <->  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
1514rexbidv 2946 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X )  <->  E. n  e.  NN  Y  .<  (
n  .x.  X )
) )
1615imbi2d 317 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X ) )  <->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
1713, 16rspc2v 3197 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
18173ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
197, 8, 18mp2d 46 1  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   NNcn 10609   Basecbs 15084   0gc0g 15297   ltcplt 16137  .gcmg 16623  oGrpcogrp 28299  Archicarchi 28332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-toset 16231  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-omnd 28300  df-ogrp 28301  df-inftm 28333  df-archi 28334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator