Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiexdiv Structured version   Unicode version

Theorem archiexdiv 26205
Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor"  n. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiexdiv.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiexdiv.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiexdiv.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiexdiv.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
Assertion
Ref Expression
archiexdiv  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, W    n, X    n, Y    .0. , n    .< , n    .x. , n

Proof of Theorem archiexdiv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  .0.  .<  X )
2 archiexdiv.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 archiexdiv.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 archiexdiv.i . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  W )
5 archiexdiv.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  W )
62, 3, 4, 5isarchi3 26202 . . . . 5  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
76biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) )
873ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) ) )
9 breq2 4294 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  .0.  .<  x  <->  .0.  .<  X ) )
10 oveq2 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
n  .x.  x )  =  ( n  .x.  X ) )
1110breq2d 4302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  <->  y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
1211rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x )  <->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  X )
) )
139, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 breq1 4293 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<  ( n  .x.  X )  <->  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
1514rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X )  <->  E. n  e.  NN  Y  .<  (
n  .x.  X )
) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  X ) )  <->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
1713, 16rspc2v 3077 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
18173ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) ) )
198, 18mpd 15 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  (  .0.  .<  X  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) ) )
201, 19mpd 15 1  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  .<  X )  ->  E. n  e.  NN  Y  .<  ( n  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   NNcn 10320   Basecbs 14172   0gc0g 14376   ltcplt 15109  .gcmg 15412  oGrpcogrp 26159  Archicarchi 26192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-seq 11805  df-0g 14378  df-poset 15114  df-plt 15126  df-toset 15202  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mulg 15546  df-omnd 26160  df-ogrp 26161  df-inftm 26193  df-archi 26194
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator