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Theorem archiabllem2c 27605
Description: Lemma for archiabl 27608 (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiabllem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiabllem.e  |-  .<_  =  ( le `  W )
archiabllem.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiabllem.m  |-  .x.  =  (.g
`  W )
archiabllem.g  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
archiabllem.a  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
archiabllem2.1  |-  .+  =  ( +g  `  W )
archiabllem2.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
archiabllem2.3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
archiabllem2b.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
archiabllem2b.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Distinct variable groups:    a, b, B    W, a, b    X, a, b    Y, a, b    ph, a, b    .+ , a,
b    .<_ , a, b    .< , a, b    .0. , a, b
Allowed substitution hints:    .x. ( a, b)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables  m  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
2 simpl1l 1046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ph )
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oGrp )
5 simpl1r 1047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
63adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. oGrp )
7 ogrpgrp 27559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e.  Grp )
9 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  Y  e.  B
)
11 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  X  e.  B
)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
14 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1513, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X
)  e.  B )
168, 10, 12, 15syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
172, 5, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
182, 3, 73syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
19 simpr2 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
2019peano2zd 10972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
21 simp2 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  t  e.  B )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  t  e.  B )
23 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  (.g
`  W )
2413, 23mulgcl 16028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
2518, 20, 22, 24syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
26 simpr1 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
2726peano2zd 10972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
2813, 23mulgcl 16028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
2918, 27, 22, 28syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
3013, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  e.  B
)
3118, 25, 29, 30syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B )
32123ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  X  e.  B )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
34103ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  Y  e.  B )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
3613, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
3718, 33, 35, 36syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
38 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  W )
39 isogrp 27558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
4039simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
412, 3, 403syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oMnd )
42 simpr3 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
4342simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )
4443simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) )
4542simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
4645simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )
47 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
48 isogrp 27558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  <->  ( (oppg `  W
)  e.  Grp  /\  (oppg `  W )  e. oMnd )
)
4948simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  ->  (oppg `  W )  e. oMnd )
502, 47, 493syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oMnd
)
5113, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50omndadd2rd 27565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  .<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
52 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
5313, 38, 52ogrpsub 27573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( Y  .+  X
)  e.  B  /\  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( Y  .+  X ) 
.<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
544, 17, 31, 37, 51, 53syl131anc 1240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
5519zcnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5626zcnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
57 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
5855, 56, 57, 57add4d 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  ( n  +  1 ) ) )
59 1p1e2 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6059oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  +  n )  +  2 )
61 addcom 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  +  n
)  =  ( n  +  m ) )
6261oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  2 )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
6360, 62syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
64 2cnd 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  n  e.  CC )
66 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  m  e.  CC )
6765, 66addcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
6864, 67addcomd 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  +  ( n  +  m ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
6963, 68eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7055, 56, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7158, 70eqtr3d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 )  +  ( n  + 
1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7271oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  +  ( n  +  m
) )  .x.  t
) )
73 2z 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
7526, 19zaddcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  ZZ )
7613, 23, 14mulgdir 16036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
7718, 74, 75, 22, 76syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
7872, 77eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
7913, 23, 14mulgdir 16036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8018, 20, 27, 22, 79syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8113, 23, 14mulg2 16020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  B  ->  (
2  .x.  t )  =  ( t  .+  t ) )
8222, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 2 
.x.  t )  =  ( t  .+  t
) )
8382oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  .x.  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
8478, 80, 833eqtr3d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  =  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8584oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
8654, 85breqtrd 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
8784, 31eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
88 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
8913, 14, 88, 52grpsubval 15962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9087, 37, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9186, 90breqtrd 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) )
92 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .<  =  ( lt `  W )
932, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
9413, 88grpinvcl 15964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9518, 37, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9675znegcld 10971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  -u ( n  +  m )  e.  ZZ )
9713, 23mulgcl 16028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  e.  B
)
9818, 96, 22, 97syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
9913, 23, 14mulgdir 16036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10018, 26, 19, 22, 99syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10113, 23mulgcl 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
n  .x.  t )  e.  B )
10218, 26, 22, 101syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  e.  B
)
10313, 23mulgcl 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
m  .x.  t )  e.  B )
10418, 19, 22, 103syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  e.  B
)
10545simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  .<  X )
10613, 92, 14ogrpaddlt 27574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( n  .x.  t
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  /\  ( n  .x.  t ) 
.<  X )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
) )
1074, 102, 33, 104, 105, 106syl131anc 1240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) ) )
10843simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  .<  Y )
10913, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108ogrpaddltrd 27576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
110 omndtos 27561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
111 tospos 27512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
11241, 110, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Poset
)
11313, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  t )  e.  B  /\  (
m  .x.  t )  e.  B )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  e.  B )
11418, 102, 104, 113syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
11513, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  -> 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B )
11618, 33, 104, 115syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
11713, 92plttr 15469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  ( m 
.x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( n  .x.  t ) 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  /\  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )  ->  ( ( n 
.x.  t )  .+  ( m  .x.  t ) )  .<  ( X  .+  Y ) ) )
118112, 114, 116, 37, 117syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) )  /\  ( X 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) ) )
119107, 109, 118mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
120100, 119eqbrtrd 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  .< 
( X  .+  Y
) )
121100, 114eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
12213, 92, 88ogrpinvlt 27580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
1234, 93, 121, 37, 122syl211anc 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
124120, 123mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
12513, 23, 88mulgneg 16029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
12618, 75, 22, 125syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
127124, 126breqtrrd 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )
12813, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127ogrpaddltrd 27576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )
12913, 52grpsubcl 15987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B )
13018, 17, 37, 129syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
13113, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13218, 87, 95, 131syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13313, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
13418, 87, 98, 133syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B )
13513, 38, 92plelttr 15471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
136112, 130, 132, 134, 135syl13anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
13791, 128, 136mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
13813, 14grpcl 15932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  t  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( t  .+  t
)  e.  B )
13918, 22, 22, 138syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
14013, 14grpass 15933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  e.  B  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14118, 139, 121, 98, 140syl13anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14256, 55addcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
143142negidd 9921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m )  +  -u ( n  +  m ) )  =  0 )
144143oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( 0  .x.  t ) )
14513, 23, 14mulgdir 16036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( n  +  m )  e.  ZZ  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
14618, 75, 96, 22, 145syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
147 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
14813, 147, 23mulg0 16016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  B  ->  (
0  .x.  t )  =  .0.  )
14922, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 0 
.x.  t )  =  .0.  )
150144, 146, 1493eqtr3d 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t ) )  =  .0.  )
151150oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  .0.  )
)
15213, 14, 147grprid 15950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( t  .+  t
)  e.  B )  ->  ( ( t 
.+  t )  .+  .0.  )  =  (
t  .+  t )
)
15318, 139, 152syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  .0.  )  =  ( t  .+  t ) )
154141, 151, 1533eqtrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( t  .+  t ) )
155137, 154breqtrd 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
1561553anassrs 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )  -> 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
) )
15763ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. oGrp )
158 archiabllem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. Archi )
1601593ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Archi )
161 simp3 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  .0.  .<  t
)
16247adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
1631623ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
16413, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163archirngz 27599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
16513, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163archirngz 27599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
166 reeanv 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  (
( ( n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) ) )
167164, 165, 166sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )
168156, 167r19.29_2a 2985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
169157, 40, 1103syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Toset )
1708, 12, 10, 36syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
1718, 16, 170, 129syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
1721713ad2ant1 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
173157, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e.  Grp )
174173, 21, 21, 138syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
17513, 38, 92tltnle 27516 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B  /\  ( t 
.+  t )  e.  B )  ->  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
176169, 172, 174, 175syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
177168, 176mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  -.  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1781773expa 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  .0.  .< 
t )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
179178adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
1801, 179pm2.21fal 1404 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  -> F.  )
181 archiabllem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
1821813adant1r 1220 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a )  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
18313, 147, 52grpsubid 15991 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  .0.  )
1848, 170, 183syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  =  .0.  )
185 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
18613, 92, 52ogrpsublt 27578 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  ->  (
( X  .+  Y
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1876, 170, 16, 170, 185, 186syl131anc 1240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
188184, 187eqbrtrrd 4455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  .0.  .<  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
18913, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188archiabllem2a 27604 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  E. t  e.  B  (  .0.  .<  t  /\  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) ) )
190180, 189r19.29a 2983 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  -> F.  )
191190inegd 1402 1  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   F. wfal 1386    e. wcel 1802   E.wrex 2792   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493   -ucneg 9806   2c2 10586   ZZcz 10865   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   lecple 14576   0gc0g 14709   Posetcpo 15438   ltcplt 15439  Tosetctos 15532   Grpcgrp 15922   invgcminusg 15923   -gcsg 15924  .gcmg 15925  oppgcoppg 16249  oMndcomnd 27553  oGrpcogrp 27554  Archicarchi 27587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-seq 12082  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-plusg 14582  df-ple 14589  df-0g 14711  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-toset 15533  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-oppg 16250  df-omnd 27555  df-ogrp 27556  df-inftm 27588  df-archi 27589
This theorem is referenced by:  archiabllem2b  27606
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