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Theorem archiabllem2c 26234
Description: Lemma for archiabl 26237 (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiabllem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiabllem.e  |-  .<_  =  ( le `  W )
archiabllem.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiabllem.m  |-  .x.  =  (.g
`  W )
archiabllem.g  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
archiabllem.a  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
archiabllem2.1  |-  .+  =  ( +g  `  W )
archiabllem2.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
archiabllem2.3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
archiabllem2b.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
archiabllem2b.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Distinct variable groups:    a, b, B    W, a, b    X, a, b    Y, a, b    ph, a, b    .+ , a,
b    .<_ , a, b    .< , a, b    .0. , a, b
Allowed substitution hints:    .x. ( a, b)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables  m  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
2 simpl1l 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ph )
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oGrp )
5 simpl1r 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
63adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. oGrp )
7 isogrp 26187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
87simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
96, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e.  Grp )
10 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  Y  e.  B
)
12 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
15 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1614, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X
)  e.  B )
179, 11, 13, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
182, 5, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
194, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
202, 3, 83syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
21 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
22 1z 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
2421, 23zaddcld 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
25 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  t  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  t  e.  B )
27 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  (.g
`  W )
2814, 27mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
2920, 24, 26, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
30 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
3130, 23zaddcld 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
3214, 27mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
3320, 31, 26, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
3414, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  e.  B
)
3519, 29, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B )
36133ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  X  e.  B )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
38113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  Y  e.  B )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
4014, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
4119, 37, 39, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
42 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  W )
437simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
442, 3, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oMnd )
45 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
4645simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )
4746simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) )
4845simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
4948simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )
50 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
51 isogrp 26187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  <->  ( (oppg `  W
)  e.  Grp  /\  (oppg `  W )  e. oMnd )
)
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  ->  (oppg `  W )  e. oMnd )
532, 50, 523syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oMnd
)
5414, 42, 15, 44, 33, 39, 37, 29, 47, 49, 53omndadd2rd 26194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  .<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
55 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
5614, 42, 55ogrpsub 26202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( Y  .+  X
)  e.  B  /\  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( Y  .+  X ) 
.<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
574, 18, 35, 41, 54, 56syl131anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
5821zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5930zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
6023zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
6158, 59, 60, 60add4d 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  ( n  +  1 ) ) )
62 1p1e2 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6362oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  +  n )  +  2 )
64 addcom 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  +  n
)  =  ( n  +  m ) )
6564oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  2 )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
6663, 65syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
67 2cnd 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  n  e.  CC )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  m  e.  CC )
7068, 69addcld 9426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
7167, 70addcomd 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  +  ( n  +  m ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
7266, 71eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7358, 59, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7461, 73eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 )  +  ( n  + 
1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7574oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  +  ( n  +  m
) )  .x.  t
) )
76 2z 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
7830, 21zaddcld 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  ZZ )
7914, 27, 15mulgdir 15673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8019, 77, 78, 26, 79syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8175, 80eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8214, 27, 15mulgdir 15673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8319, 24, 31, 26, 82syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8414, 27, 15mulg2 15657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  B  ->  (
2  .x.  t )  =  ( t  .+  t ) )
8526, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 2 
.x.  t )  =  ( t  .+  t
) )
8685oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  .x.  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
8781, 83, 863eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  =  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8887oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
8957, 88breqtrd 4337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
9087, 35eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
91 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
9214, 15, 91, 55grpsubval 15602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9390, 41, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9489, 93breqtrd 4337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) )
95 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .<  =  ( lt `  W )
962, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
9714, 91grpinvcl 15604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9819, 41, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9978znegcld 10770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  -u ( n  +  m )  e.  ZZ )
10014, 27mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  e.  B
)
10119, 99, 26, 100syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
10214, 27, 15mulgdir 15673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10319, 30, 21, 26, 102syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10414, 27mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
n  .x.  t )  e.  B )
10519, 30, 26, 104syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  e.  B
)
10614, 27mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
m  .x.  t )  e.  B )
10719, 21, 26, 106syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  e.  B
)
10848simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  .<  X )
10914, 95, 15ogrpaddlt 26203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( n  .x.  t
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  /\  ( n  .x.  t ) 
.<  X )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
) )
1104, 105, 37, 107, 108, 109syl131anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) ) )
11146simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  .<  Y )
11214, 95, 15, 4, 96, 107, 39, 37, 111ogrpaddltrd 26205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
113 omndtos 26190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
114 tospos 26141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
11544, 113, 1143syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Poset
)
11614, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  t )  e.  B  /\  (
m  .x.  t )  e.  B )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  e.  B )
11719, 105, 107, 116syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
11814, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  -> 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B )
11919, 37, 107, 118syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
12014, 95plttr 15161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  ( m 
.x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( n  .x.  t ) 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  /\  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )  ->  ( ( n 
.x.  t )  .+  ( m  .x.  t ) )  .<  ( X  .+  Y ) ) )
121115, 117, 119, 41, 120syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) )  /\  ( X 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) ) )
122110, 112, 121mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
123103, 122eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  .< 
( X  .+  Y
) )
1244, 96jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp
) )
125103, 117eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
12614, 95, 91ogrpinvlt 26209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
127124, 125, 41, 126syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
128123, 127mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
12914, 27, 91mulgneg 15666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
13019, 78, 26, 129syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
131128, 130breqtrrd 4339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )
13214, 95, 15, 4, 96, 98, 101, 90, 131ogrpaddltrd 26205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )
13314, 55grpsubcl 15627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B )
13419, 18, 41, 133syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
13514, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13619, 90, 98, 135syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13714, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
13819, 90, 101, 137syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B )
13914, 42, 95plelttr 15163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
140115, 134, 136, 138, 139syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14194, 132, 140mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
14214, 15grpcl 15572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  t  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( t  .+  t
)  e.  B )
14319, 26, 26, 142syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
14414, 15grpass 15573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  e.  B  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14519, 143, 125, 101, 144syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14659, 58addcld 9426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
147 negid 9677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  m )  e.  CC  ->  (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  =  0 )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m )  +  -u ( n  +  m ) )  =  0 )
149148oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( 0  .x.  t ) )
15014, 27, 15mulgdir 15673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( n  +  m )  e.  ZZ  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
15119, 78, 99, 26, 150syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
152 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15314, 152, 27mulg0 15653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  B  ->  (
0  .x.  t )  =  .0.  )
15426, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 0 
.x.  t )  =  .0.  )
155149, 151, 1543eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t ) )  =  .0.  )
156155oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  .0.  )
)
15714, 15, 152grprid 15590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( t  .+  t
)  e.  B )  ->  ( ( t 
.+  t )  .+  .0.  )  =  (
t  .+  t )
)
15819, 143, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  .0.  )  =  ( t  .+  t ) )
159156, 158eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( t  .+  t ) )
160145, 159eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( t  .+  t ) )
161141, 160breqtrd 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
1621613anassrs 1209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )  -> 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
) )
16363ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. oGrp )
164 archiabllem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. Archi )
1661653ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Archi )
167 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  .0.  .<  t
)
16850adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
1691683ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
17014, 152, 95, 42, 27, 163, 166, 25, 36, 167, 169archirngz 26228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
17114, 152, 95, 42, 27, 163, 166, 25, 38, 167, 169archirngz 26228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
172170, 171jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  E. m  e.  ZZ  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
173 reeanv 2909 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  (
( ( n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) ) )
174172, 173sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )
175162, 174r19.29_2a 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
176163, 43, 1133syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Toset )
1779, 13, 11, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
1789, 17, 177, 133syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
1791783ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
180163, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e.  Grp )
181180, 25, 25, 142syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
18214, 42, 95tltnle 26145 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B  /\  ( t 
.+  t )  e.  B )  ->  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
183176, 179, 181, 182syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
184175, 183mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  -.  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1851843expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  .0.  .< 
t )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
186185adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
1871, 186pm2.21dd 174 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  -> F.  )
188 archiabllem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
1891883adant1r 1211 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a )  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
19014, 152, 55grpsubid 15631 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  .0.  )
1919, 177, 190syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  =  .0.  )
192 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
19314, 95, 55ogrpsublt 26207 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  ->  (
( X  .+  Y
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1946, 177, 17, 177, 192, 193syl131anc 1231 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
195191, 194eqbrtrrd 4335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  .0.  .<  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
19614, 152, 42, 95, 27, 6, 165, 15, 168, 189, 178, 195archiabllem2a 26233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  E. t  e.  B  (  .0.  .<  t  /\  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) ) )
197187, 196r19.29a 2883 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  -> F.  )
198197inegd 1390 1  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F. wfal 1374    e. wcel 1756   E.wrex 2737   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306   -ucneg 9617   2c2 10392   ZZcz 10667   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   lecple 14266   0gc0g 14399   Posetcpo 15131   ltcplt 15132  Tosetctos 15224   Grpcgrp 15431   invgcminusg 15432   -gcsg 15434  .gcmg 15435  oppgcoppg 15881  oMndcomnd 26182  oGrpcogrp 26183  Archicarchi 26216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-seq 11828  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-ple 14279  df-0g 14401  df-poset 15137  df-plt 15149  df-toset 15225  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-oppg 15882  df-omnd 26184  df-ogrp 26185  df-inftm 26217  df-archi 26218
This theorem is referenced by:  archiabllem2b  26235
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