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Theorem archiabllem2c 26157
Description: Lemma for archiabl 26160 (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiabllem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiabllem.e  |-  .<_  =  ( le `  W )
archiabllem.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiabllem.m  |-  .x.  =  (.g
`  W )
archiabllem.g  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
archiabllem.a  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
archiabllem2.1  |-  .+  =  ( +g  `  W )
archiabllem2.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
archiabllem2.3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
archiabllem2b.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
archiabllem2b.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Distinct variable groups:    a, b, B    W, a, b    X, a, b    Y, a, b    ph, a, b    .+ , a,
b    .<_ , a, b    .< , a, b    .0. , a, b
Allowed substitution hints:    .x. ( a, b)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables  m  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
2 simpl1l 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ph )
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oGrp )
5 simpl1r 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
63adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. oGrp )
7 isogrp 26110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
87simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
96, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e.  Grp )
10 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  Y  e.  B
)
12 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
15 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1614, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X
)  e.  B )
179, 11, 13, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
182, 5, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
194, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
202, 3, 83syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
21 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
22 1z 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
2421, 23zaddcld 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
25 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  t  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  t  e.  B )
27 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  (.g
`  W )
2814, 27mulgcl 15633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
2920, 24, 26, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
30 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
3130, 23zaddcld 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
3214, 27mulgcl 15633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
3320, 31, 26, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
3414, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  e.  B
)
3519, 29, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B )
36133ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  X  e.  B )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
38113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  Y  e.  B )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
4014, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
4119, 37, 39, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
42 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  W )
437simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
442, 3, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oMnd )
45 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
4645simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )
4746simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) )
4845simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
4948simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )
50 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
51 isogrp 26110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  <->  ( (oppg `  W
)  e.  Grp  /\  (oppg `  W )  e. oMnd )
)
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  ->  (oppg `  W )  e. oMnd )
532, 50, 523syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oMnd
)
5414, 42, 15, 44, 33, 39, 37, 29, 47, 49, 53omndadd2rd 26117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  .<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
55 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
5614, 42, 55ogrpsub 26125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( Y  .+  X
)  e.  B  /\  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( Y  .+  X ) 
.<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
574, 18, 35, 41, 54, 56syl131anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
5821zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5930zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
6023zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
6158, 59, 60, 60add4d 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  ( n  +  1 ) ) )
62 1p1e2 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6362oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  +  n )  +  2 )
64 addcom 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  +  n
)  =  ( n  +  m ) )
6564oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  2 )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
6663, 65syl5eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
67 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  n  e.  CC )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  m  e.  CC )
7068, 69addcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
7167, 70addcomd 9563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  +  ( n  +  m ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
7266, 71eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7358, 59, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7461, 73eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 )  +  ( n  + 
1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7574oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  +  ( n  +  m
) )  .x.  t
) )
76 2z 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
7830, 21zaddcld 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  ZZ )
7914, 27, 15mulgdir 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8019, 77, 78, 26, 79syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8175, 80eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8214, 27, 15mulgdir 15641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8319, 24, 31, 26, 82syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8414, 27, 15mulg2 15625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  B  ->  (
2  .x.  t )  =  ( t  .+  t ) )
8526, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 2 
.x.  t )  =  ( t  .+  t
) )
8685oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  .x.  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
8781, 83, 863eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  =  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8887oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
8957, 88breqtrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
9087, 35eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
91 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
9214, 15, 91, 55grpsubval 15570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9390, 41, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9489, 93breqtrd 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) )
95 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .<  =  ( lt `  W )
962, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
9714, 91grpinvcl 15572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9819, 41, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9978znegcld 10741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  -u ( n  +  m )  e.  ZZ )
10014, 27mulgcl 15633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  e.  B
)
10119, 99, 26, 100syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
10214, 27, 15mulgdir 15641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10319, 30, 21, 26, 102syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10414, 27mulgcl 15633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
n  .x.  t )  e.  B )
10519, 30, 26, 104syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  e.  B
)
10614, 27mulgcl 15633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
m  .x.  t )  e.  B )
10719, 21, 26, 106syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  e.  B
)
10848simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  .<  X )
10914, 95, 15ogrpaddlt 26126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( n  .x.  t
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  /\  ( n  .x.  t ) 
.<  X )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
) )
1104, 105, 37, 107, 108, 109syl131anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) ) )
11146simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  .<  Y )
11214, 95, 15, 4, 96, 107, 39, 37, 111ogrpaddltrd 26128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
113 omndtos 26113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
114 tospos 26064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
11544, 113, 1143syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Poset
)
11614, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  t )  e.  B  /\  (
m  .x.  t )  e.  B )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  e.  B )
11719, 105, 107, 116syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
11814, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  -> 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B )
11919, 37, 107, 118syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
12014, 95plttr 15132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  ( m 
.x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( n  .x.  t ) 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  /\  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )  ->  ( ( n 
.x.  t )  .+  ( m  .x.  t ) )  .<  ( X  .+  Y ) ) )
121115, 117, 119, 41, 120syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) )  /\  ( X 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) ) )
122110, 112, 121mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
123103, 122eqbrtrd 4305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  .< 
( X  .+  Y
) )
1244, 96jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp
) )
125103, 117eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
12614, 95, 91ogrpinvlt 26132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
127124, 125, 41, 126syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
128123, 127mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
12914, 27, 91mulgneg 15634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
13019, 78, 26, 129syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
131128, 130breqtrrd 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )
13214, 95, 15, 4, 96, 98, 101, 90, 131ogrpaddltrd 26128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )
13314, 55grpsubcl 15595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B )
13419, 18, 41, 133syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
13514, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13619, 90, 98, 135syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13714, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
13819, 90, 101, 137syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B )
13914, 42, 95plelttr 15134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
140115, 134, 136, 138, 139syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14194, 132, 140mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
14214, 15grpcl 15540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  t  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( t  .+  t
)  e.  B )
14319, 26, 26, 142syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
14414, 15grpass 15541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  e.  B  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14519, 143, 125, 101, 144syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14659, 58addcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
147 negid 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  m )  e.  CC  ->  (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  =  0 )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m )  +  -u ( n  +  m ) )  =  0 )
149148oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( 0  .x.  t ) )
15014, 27, 15mulgdir 15641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( n  +  m )  e.  ZZ  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
15119, 78, 99, 26, 150syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
152 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15314, 152, 27mulg0 15621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  B  ->  (
0  .x.  t )  =  .0.  )
15426, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 0 
.x.  t )  =  .0.  )
155149, 151, 1543eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t ) )  =  .0.  )
156155oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  .0.  )
)
15714, 15, 152grprid 15558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( t  .+  t
)  e.  B )  ->  ( ( t 
.+  t )  .+  .0.  )  =  (
t  .+  t )
)
15819, 143, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  .0.  )  =  ( t  .+  t ) )
159156, 158eqtrd 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( t  .+  t ) )
160145, 159eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( t  .+  t ) )
161141, 160breqtrd 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
1621613anassrs 1209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )  -> 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
) )
16363ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. oGrp )
164 archiabllem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. Archi )
1661653ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Archi )
167 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  .0.  .<  t
)
16850adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
1691683ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
17014, 152, 95, 42, 27, 163, 166, 25, 36, 167, 169archirngz 26151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
17114, 152, 95, 42, 27, 163, 166, 25, 38, 167, 169archirngz 26151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
172170, 171jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  E. m  e.  ZZ  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
173 reeanv 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  (
( ( n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) ) )
174172, 173sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )
175162, 174r19.29_2a 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
176163, 43, 1133syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Toset )
1779, 13, 11, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
1789, 17, 177, 133syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
1791783ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
180163, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e.  Grp )
181180, 25, 25, 142syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
18214, 42, 95tltnle 26068 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B  /\  ( t 
.+  t )  e.  B )  ->  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
183176, 179, 181, 182syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
184175, 183mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  -.  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1851843expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  .0.  .< 
t )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
186185adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
1871, 186pm2.21dd 174 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  -> F.  )
188 archiabllem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
1891883adant1r 1211 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a )  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
19014, 152, 55grpsubid 15599 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  .0.  )
1919, 177, 190syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  =  .0.  )
192 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
19314, 95, 55ogrpsublt 26130 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  ->  (
( X  .+  Y
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1946, 177, 17, 177, 192, 193syl131anc 1231 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
195191, 194eqbrtrrd 4307 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  .0.  .<  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
19614, 152, 42, 95, 27, 6, 165, 15, 168, 189, 178, 195archiabllem2a 26156 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  E. t  e.  B  (  .0.  .<  t  /\  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) ) )
197187, 196r19.29a 2856 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  -> F.  )
198197inegd 1390 1  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F. wfal 1374    e. wcel 1756   E.wrex 2710   class class class wbr 4285   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   -ucneg 9588   2c2 10363   ZZcz 10638   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   lecple 14237   0gc0g 14370   Posetcpo 15102   ltcplt 15103  Tosetctos 15195   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   -gcsg 15405  .gcmg 15406  oppgcoppg 15849  oMndcomnd 26105  oGrpcogrp 26106  Archicarchi 26139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-ple 14250  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-toset 15196  df-mnd 15407  df-grp 15534  df-minusg 15535  df-sbg 15536  df-mulg 15537  df-oppg 15850  df-omnd 26107  df-ogrp 26108  df-inftm 26140  df-archi 26141
This theorem is referenced by:  archiabllem2b  26158
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