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Theorem archiabllem2c 27563
Description: Lemma for archiabl 27566 (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
archiabllem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
archiabllem.e  |-  .<_  =  ( le `  W )
archiabllem.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
archiabllem.m  |-  .x.  =  (.g
`  W )
archiabllem.g  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
archiabllem.a  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
archiabllem2.1  |-  .+  =  ( +g  `  W )
archiabllem2.2  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
archiabllem2.3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
archiabllem2b.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
archiabllem2b.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Distinct variable groups:    a, b, B    W, a, b    X, a, b    Y, a, b    ph, a, b    .+ , a,
b    .<_ , a, b    .< , a, b    .0. , a, b
Allowed substitution hints:    .x. ( a, b)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables  m  n  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
2 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ph )
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e. oGrp )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oGrp )
5 simpl1r 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
63adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. oGrp )
7 isogrp 27516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
87simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
96, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e.  Grp )
10 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  Y  e.  B
)
12 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
15 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1614, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X
)  e.  B )
179, 11, 13, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
182, 5, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B
)
194, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
202, 3, 83syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
21 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
22 1z 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
2421, 23zaddcld 10982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
25 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  t  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  t  e.  B )
27 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  (.g
`  W )
2814, 27mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( m  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
2920, 24, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
30 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
3130, 23zaddcld 10982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
3214, 27mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )
3320, 31, 26, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t )  e.  B )
3414, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  e.  B
)
3519, 29, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B )
36133ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  X  e.  B )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
38113ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  Y  e.  B )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
4014, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
4119, 37, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
42 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  W )
437simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
442, 3, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e. oMnd )
45 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
4645simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )
4746simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) )
4845simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
4948simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )
50 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
51 isogrp 27516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  <->  ( (oppg `  W
)  e.  Grp  /\  (oppg `  W )  e. oMnd )
)
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (oppg `  W )  e. oGrp  ->  (oppg `  W )  e. oMnd )
532, 50, 523syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oMnd
)
5414, 42, 15, 44, 33, 39, 37, 29, 47, 49, 53omndadd2rd 27523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( Y  .+  X )  .<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
55 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
5614, 42, 55ogrpsub 27531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( Y  .+  X
)  e.  B  /\  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( Y  .+  X ) 
.<_  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( ( m  +  1 ) 
.x.  t )  .+  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
574, 18, 35, 41, 54, 56syl131anc 1241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
5821zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5930zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
6023zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
6158, 59, 60, 60add4d 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  ( n  +  1 ) ) )
62 1p1e2 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6362oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( m  +  n )  +  2 )
64 addcom 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  +  n
)  =  ( n  +  m ) )
6564oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  2 )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
6663, 65syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
67 2cnd 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  n  e.  CC )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  m  e.  CC )
7068, 69addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
7167, 70addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  +  ( n  +  m ) )  =  ( ( n  +  m )  +  2 ) )
7266, 71eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7358, 59, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  n )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7461, 73eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
m  +  1 )  +  ( n  + 
1 ) )  =  ( 2  +  ( n  +  m ) ) )
7574oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  +  ( n  +  m
) )  .x.  t
) )
76 2z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
7830, 21zaddcld 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  ZZ )
7914, 27, 15mulgdir 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8019, 77, 78, 26, 79syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  +  ( n  +  m ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8175, 80eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( 2  .x.  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8214, 27, 15mulgdir 16039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8319, 24, 31, 26, 82syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  +  ( n  +  1 ) ) 
.x.  t )  =  ( ( ( m  +  1 )  .x.  t )  .+  (
( n  +  1 )  .x.  t ) ) )
8414, 27, 15mulg2 16023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  B  ->  (
2  .x.  t )  =  ( t  .+  t ) )
8526, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 2 
.x.  t )  =  ( t  .+  t
) )
8685oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
2  .x.  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
8781, 83, 863eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  .x.  t ) 
.+  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  =  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
8887oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  .x.  t
)  .+  ( (
n  +  1 ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
8957, 88breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
9087, 35eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
91 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
9214, 15, 91, 55grpsubval 15965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9390, 41, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) ) )
9489, 93breqtrd 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<_  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) )
95 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .<  =  ( lt `  W )
962, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
9714, 91grpinvcl 15967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9819, 41, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  e.  B )
9978znegcld 10980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  -u ( n  +  m )  e.  ZZ )
10014, 27mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  e.  B
)
10119, 99, 26, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
10214, 27, 15mulgdir 16039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10319, 30, 21, 26, 102syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
) )
10414, 27mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
n  .x.  t )  e.  B )
10519, 30, 26, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  e.  B
)
10614, 27mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  (
m  .x.  t )  e.  B )
10719, 21, 26, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  e.  B
)
10848simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  .x.  t )  .<  X )
10914, 95, 15ogrpaddlt 27532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( n  .x.  t
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  /\  ( n  .x.  t ) 
.<  X )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
) )
1104, 105, 37, 107, 108, 109syl131anc 1241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) ) )
11146simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( m  .x.  t )  .<  Y )
11214, 95, 15, 4, 96, 107, 39, 37, 111ogrpaddltrd 27534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
113 omndtos 27519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
114 tospos 27470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
11544, 113, 1143syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  W  e.  Poset
)
11614, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  t )  e.  B  /\  (
m  .x.  t )  e.  B )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  e.  B )
11719, 105, 107, 116syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
11814, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( m  .x.  t )  e.  B )  -> 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B )
11919, 37, 107, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  e.  B
)
12014, 95plttr 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( X  .+  ( m 
.x.  t ) )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( n  .x.  t ) 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  (
m  .x.  t )
)  /\  ( X  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )  ->  ( ( n 
.x.  t )  .+  ( m  .x.  t ) )  .<  ( X  .+  Y ) ) )
121115, 117, 119, 41, 120syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( n  .x.  t )  .+  (
m  .x.  t )
)  .<  ( X  .+  ( m  .x.  t ) )  /\  ( X 
.+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) )  ->  (
( n  .x.  t
)  .+  ( m  .x.  t ) )  .< 
( X  .+  Y
) ) )
122110, 112, 121mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  .x.  t )  .+  ( m  .x.  t
) )  .<  ( X  .+  Y ) )
123103, 122eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  .< 
( X  .+  Y
) )
1244, 96jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp
) )
125103, 117eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m ) 
.x.  t )  e.  B )
12614, 95, 91ogrpinvlt 27538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp )  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
127124, 125, 41, 126syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .<  ( X  .+  Y
)  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
128123, 127mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
12914, 27, 91mulgneg 16032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )  ->  ( -u ( n  +  m )  .x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
13019, 78, 26, 129syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t )  =  ( ( invg `  W ) `  (
( n  +  m
)  .x.  t )
) )
131128, 130breqtrrd 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) )  .< 
( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )
13214, 95, 15, 4, 96, 98, 101, 90, 131ogrpaddltrd 27534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )
13314, 55grpsubcl 15990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B )
13419, 18, 41, 133syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
13514, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( ( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13619, 90, 98, 135syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B )
13714, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B )  ->  ( ( ( t  .+  t ) 
.+  ( ( n  +  m )  .x.  t ) )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) )  e.  B
)
13819, 90, 101, 137syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B )
13914, 42, 95plelttr 15476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) )  e.  B  /\  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
140115, 134, 136, 138, 139syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<_  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  (
( invg `  W ) `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( ( ( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( ( invg `  W ) `
 ( X  .+  Y ) ) ) 
.<  ( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  ->  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( n  +  m )  .x.  t
) )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14194, 132, 140mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( ( t  .+  t )  .+  (
( n  +  m
)  .x.  t )
)  .+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) )
14214, 15grpcl 15935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  t  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( t  .+  t
)  e.  B )
14319, 26, 26, 142syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
14414, 15grpass 15936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( t  .+  t )  e.  B  /\  ( ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B  /\  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
)  e.  B ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14519, 143, 125, 101, 144syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( ( t 
.+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) ) )
14659, 58addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
147 negid 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  m )  e.  CC  ->  (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  =  0 )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
n  +  m )  +  -u ( n  +  m ) )  =  0 )
149148oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( 0  .x.  t ) )
15014, 27, 15mulgdir 16039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( n  +  m )  e.  ZZ  /\  -u ( n  +  m
)  e.  ZZ  /\  t  e.  B )
)  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
15119, 78, 99, 26, 150syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  +  -u (
n  +  m ) )  .x.  t )  =  ( ( ( n  +  m ) 
.x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t
) ) )
152 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15314, 152, 27mulg0 16019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  B  ->  (
0  .x.  t )  =  .0.  )
15426, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( 0 
.x.  t )  =  .0.  )
155149, 151, 1543eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m )  .x.  t ) )  =  .0.  )
156155oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( ( t  .+  t
)  .+  .0.  )
)
15714, 15, 152grprid 15953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( t  .+  t
)  e.  B )  ->  ( ( t 
.+  t )  .+  .0.  )  =  (
t  .+  t )
)
15819, 143, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  .0.  )  =  ( t  .+  t ) )
159156, 158eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
t  .+  t )  .+  ( ( ( n  +  m )  .x.  t )  .+  ( -u ( n  +  m
)  .x.  t )
) )  =  ( t  .+  t ) )
160145, 159eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( (
( t  .+  t
)  .+  ( (
n  +  m ) 
.x.  t ) ) 
.+  ( -u (
n  +  m ) 
.x.  t ) )  =  ( t  .+  t ) )
161141, 160breqtrd 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  ( ( ( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) ) )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
1621613anassrs 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )  -> 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
) )
16363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. oGrp )
164 archiabllem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. Archi )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  W  e. Archi )
1661653ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Archi )
167 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  .0.  .<  t
)
16850adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
1691683ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
17014, 152, 95, 42, 27, 163, 166, 25, 36, 167, 169archirngz 27557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
17114, 152, 95, 42, 27, 163, 166, 25, 38, 167, 169archirngz 27557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) )
172170, 171jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( n  .x.  t
)  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  + 
1 )  .x.  t
) )  /\  E. m  e.  ZZ  (
( m  .x.  t
)  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  + 
1 )  .x.  t
) ) ) )
173 reeanv 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  (
( ( n  .x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( n 
.x.  t )  .<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 ) 
.x.  t ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( m 
.x.  t )  .<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 ) 
.x.  t ) ) ) )
174172, 173sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( ( ( n  .x.  t ) 
.<  X  /\  X  .<_  ( ( n  +  1 )  .x.  t ) )  /\  ( ( m  .x.  t ) 
.<  Y  /\  Y  .<_  ( ( m  +  1 )  .x.  t ) ) ) )
175162, 174r19.29_2a 3010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
t  .+  t )
)
176163, 43, 1133syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e. Toset )
1779, 13, 11, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B
)
1789, 17, 177, 133syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
1791783ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( ( Y  .+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  e.  B
)
180163, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  W  e.  Grp )
181180, 25, 25, 142syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( t  .+  t )  e.  B
)
18214, 42, 95tltnle 27474 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  e.  B  /\  ( t 
.+  t )  e.  B )  ->  (
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.<  ( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
183176, 179, 181, 182syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  ( (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( t  .+  t
)  <->  -.  ( t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) ) )
184175, 183mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B  /\  .0.  .<  t )  ->  -.  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1851843expa 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  .0.  .< 
t )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
186185adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  ->  -.  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) )
1871, 186pm2.21dd 174 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y ) 
.<  ( Y  .+  X
) )  /\  t  e.  B )  /\  (  .0.  .<  t  /\  (
t  .+  t )  .<_  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )  -> F.  )
188 archiabllem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a
)  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
1891883adant1r 1221 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  /\  a  e.  B  /\  .0.  .<  a )  ->  E. b  e.  B  (  .0.  .< 
b  /\  b  .<  a ) )
19014, 152, 55grpsubid 15994 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) )  =  .0.  )
1919, 177, 190syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  =  .0.  )
192 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
19314, 95, 55ogrpsublt 27536 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Y  .+  X )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  /\  ( X  .+  Y )  .< 
( Y  .+  X
) )  ->  (
( X  .+  Y
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) )  .< 
( ( Y  .+  X ) ( -g `  W ) ( X 
.+  Y ) ) )
1946, 177, 17, 177, 192, 193syl131anc 1241 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  ( ( X 
.+  Y ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) )  .<  (
( Y  .+  X
) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
195191, 194eqbrtrrd 4475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  .0.  .<  ( ( Y  .+  X ) ( -g `  W
) ( X  .+  Y ) ) )
19614, 152, 42, 95, 27, 6, 165, 15, 168, 189, 178, 195archiabllem2a 27562 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  ->  E. t  e.  B  (  .0.  .<  t  /\  ( t  .+  t
)  .<_  ( ( Y 
.+  X ) (
-g `  W )
( X  .+  Y
) ) ) )
197187, 196r19.29a 3008 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )  -> F.  )
198197inegd 1400 1  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  .<  ( Y  .+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F. wfal 1384    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   -ucneg 9818   2c2 10597   ZZcz 10876   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   lecple 14579   0gc0g 14712   Posetcpo 15444   ltcplt 15445  Tosetctos 15537   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   -gcsg 15927  .gcmg 15928  oppgcoppg 16252  oMndcomnd 27511  oGrpcogrp 27512  Archicarchi 27545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-ple 14592  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-oppg 16253  df-omnd 27513  df-ogrp 27514  df-inftm 27546  df-archi 27547
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