Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1a Structured version   Unicode version

Theorem archiabllem1a 26352
 Description: Lemma for archiabl 26359: In case an archimedean group admits a smallest positive element , then any positive element of can be written as with . Since the reciprocal holds for negative elements, is then isomorphic to . (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b
archiabllem.0
archiabllem.e
archiabllem.t
archiabllem.m .g
archiabllem.g oGrp
archiabllem.a Archi
archiabllem1.u
archiabllem1.p
archiabllem1.s
archiabllem1a.x
archiabllem1a.c
Assertion
Ref Expression
archiabllem1a
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem archiabllem1a
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . 4
2 elnn0nn 10732 . . . . 5
32simprbi 464 . . . 4
41, 3syl 16 . . 3
5 archiabllem1.u . . . . . . . 8
65ad2antrr 725 . . . . . . 7
7 archiabllem.b . . . . . . . 8
8 archiabllem.m . . . . . . . 8 .g
97, 8mulg1 15752 . . . . . . 7
106, 9syl 16 . . . . . 6
1110oveq1d 6214 . . . . 5
12 archiabllem.g . . . . . . . 8 oGrp
1312ad2antrr 725 . . . . . . 7 oGrp
14 isogrp 26309 . . . . . . . 8 oGrp oMnd
1514simplbi 460 . . . . . . 7 oGrp
1613, 15syl 16 . . . . . 6
17 1z 10786 . . . . . . 7
1817a1i 11 . . . . . 6
191nn0zd 10855 . . . . . 6
20 eqid 2454 . . . . . . 7
217, 8, 20mulgdir 15770 . . . . . 6
2216, 18, 19, 6, 21syl13anc 1221 . . . . 5
2314simprbi 464 . . . . . . . . 9 oGrp oMnd
24 omndtos 26312 . . . . . . . . 9 oMnd Toset
25 tospos 26263 . . . . . . . . 9 Toset
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . 8 oGrp
2713, 26syl 16 . . . . . . 7
28 archiabllem1a.x . . . . . . . . 9
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8
307, 8mulgcl 15762 . . . . . . . . 9
3116, 19, 6, 30syl3anc 1219 . . . . . . . 8
32 eqid 2454 . . . . . . . . 9
337, 32grpsubcl 15724 . . . . . . . 8
3416, 29, 31, 33syl3anc 1219 . . . . . . 7
3519peano2zd 10860 . . . . . . . . . 10
367, 8mulgcl 15762 . . . . . . . . . 10
3716, 35, 6, 36syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
38 simprr 756 . . . . . . . . 9
39 archiabllem.e . . . . . . . . . 10
407, 39, 32ogrpsub 26324 . . . . . . . . 9 oGrp
4113, 29, 37, 31, 38, 40syl131anc 1232 . . . . . . . 8
421nn0cnd 10748 . . . . . . . . . . 11
43 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . . 12
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4542, 44pncan2d 9831 . . . . . . . . . 10
4645oveq1d 6214 . . . . . . . . 9
477, 8, 32mulgsubdir 15776 . . . . . . . . . 10
4816, 35, 19, 6, 47syl13anc 1221 . . . . . . . . 9
4946, 48, 103eqtr3d 2503 . . . . . . . 8
5041, 49breqtrd 4423 . . . . . . 7
51 archiabllem1.s . . . . . . . . . . . 12
52513expa 1188 . . . . . . . . . . 11
5352ex 434 . . . . . . . . . 10
5453ralrimiva 2829 . . . . . . . . 9
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8
56 archiabllem.0 . . . . . . . . . . 11
577, 56, 32grpsubid 15728 . . . . . . . . . 10
5816, 31, 57syl2anc 661 . . . . . . . . 9
59 simprl 755 . . . . . . . . . 10
60 archiabllem.t . . . . . . . . . . 11
617, 60, 32ogrpsublt 26329 . . . . . . . . . 10 oGrp
6213, 31, 29, 31, 59, 61syl131anc 1232 . . . . . . . . 9
6358, 62eqbrtrrd 4421 . . . . . . . 8
64 breq2 4403 . . . . . . . . . 10
65 breq2 4403 . . . . . . . . . 10
6664, 65imbi12d 320 . . . . . . . . 9
6766rspcv 3173 . . . . . . . 8
6834, 55, 63, 67syl3c 61 . . . . . . 7
697, 39posasymb 15240 . . . . . . . 8
7069biimpa 484 . . . . . . 7
7127, 34, 6, 50, 68, 70syl32anc 1227 . . . . . 6
7271oveq1d 6214 . . . . 5
7311, 22, 723eqtr4rd 2506 . . . 4
747, 20, 32grpnpcan 15735 . . . . 5
7516, 29, 31, 74syl3anc 1219 . . . 4
76 addcom 9665 . . . . . 6
7744, 42, 76syl2anc 661 . . . . 5
7877oveq1d 6214 . . . 4
7973, 75, 783eqtr3d 2503 . . 3
80 oveq1 6206 . . . . 5
8180eqeq2d 2468 . . . 4
8281rspcev 3177 . . 3
834, 79, 82syl2anc 661 . 2
84 archiabllem.a . . 3 Archi
85 archiabllem1.p . . 3
86 archiabllem1a.c . . 3
877, 56, 60, 39, 8, 12, 84, 5, 28, 85, 86archirng 26349 . 2
8883, 87r19.29a 2966 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2798  wrex 2799   class class class wbr 4399  cfv 5525  (class class class)co 6199  cc 9390  c1 9393   caddc 9395   cmin 9705  cn 10432  cn0 10689  cz 10756  cbs 14291   cplusg 14356  cple 14363  c0g 14496  cpo 15228  cplt 15229  Tosetctos 15321  cgrp 15528  csg 15531  .gcmg 15532  oMndcomnd 26304  oGrpcogrp 26305  Archicarchi 26338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-seq 11923  df-0g 14498  df-poset 15234  df-plt 15246  df-toset 15322  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-omnd 26306  df-ogrp 26307  df-inftm 26339  df-archi 26340 This theorem is referenced by:  archiabllem1b  26353
 Copyright terms: Public domain W3C validator