Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1a Structured version   Unicode version

Theorem archiabllem1a 28346
 Description: Lemma for archiabl 28353: In case an archimedean group admits a smallest positive element , then any positive element of can be written as with . Since the reciprocal holds for negative elements, is then isomorphic to . (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b
archiabllem.0
archiabllem.e
archiabllem.t
archiabllem.m .g
archiabllem.g oGrp
archiabllem.a Archi
archiabllem1.u
archiabllem1.p
archiabllem1.s
archiabllem1a.x
archiabllem1a.c
Assertion
Ref Expression
archiabllem1a
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem archiabllem1a
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . 4
2 nn0p1nn 10909 . . . 4
31, 2syl 17 . . 3
4 archiabllem1.u . . . . . . . 8
54ad2antrr 730 . . . . . . 7
6 archiabllem.b . . . . . . . 8
7 archiabllem.m . . . . . . . 8 .g
86, 7mulg1 16716 . . . . . . 7
95, 8syl 17 . . . . . 6
109oveq1d 6320 . . . . 5
11 archiabllem.g . . . . . . . 8 oGrp
1211ad2antrr 730 . . . . . . 7 oGrp
13 ogrpgrp 28304 . . . . . . 7 oGrp
1412, 13syl 17 . . . . . 6
15 1zzd 10968 . . . . . 6
161nn0zd 11038 . . . . . 6
17 eqid 2429 . . . . . . 7
186, 7, 17mulgdir 16734 . . . . . 6
1914, 15, 16, 5, 18syl13anc 1266 . . . . 5
20 isogrp 28303 . . . . . . . . . 10 oGrp oMnd
2120simprbi 465 . . . . . . . . 9 oGrp oMnd
22 omndtos 28306 . . . . . . . . 9 oMnd Toset
23 tospos 28257 . . . . . . . . 9 Toset
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 oGrp
2512, 24syl 17 . . . . . . 7
26 archiabllem1a.x . . . . . . . . 9
2726ad2antrr 730 . . . . . . . 8
286, 7mulgcl 16726 . . . . . . . . 9
2914, 16, 5, 28syl3anc 1264 . . . . . . . 8
30 eqid 2429 . . . . . . . . 9
316, 30grpsubcl 16685 . . . . . . . 8
3214, 27, 29, 31syl3anc 1264 . . . . . . 7
3316peano2zd 11043 . . . . . . . . . 10
346, 7mulgcl 16726 . . . . . . . . . 10
3514, 33, 5, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
36 simprr 764 . . . . . . . . 9
37 archiabllem.e . . . . . . . . . 10
386, 37, 30ogrpsub 28318 . . . . . . . . 9 oGrp
3912, 27, 35, 29, 36, 38syl131anc 1277 . . . . . . . 8
401nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . 11
41 1cnd 9658 . . . . . . . . . . 11
4240, 41pncan2d 9987 . . . . . . . . . 10
4342oveq1d 6320 . . . . . . . . 9
446, 7, 30mulgsubdir 16740 . . . . . . . . . 10
4514, 33, 16, 5, 44syl13anc 1266 . . . . . . . . 9
4643, 45, 93eqtr3d 2478 . . . . . . . 8
4739, 46breqtrd 4450 . . . . . . 7
48 archiabllem1.s . . . . . . . . . . 11
49483expia 1207 . . . . . . . . . 10
5049ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9
5150ad2antrr 730 . . . . . . . 8
52 archiabllem.0 . . . . . . . . . . 11
536, 52, 30grpsubid 16689 . . . . . . . . . 10
5414, 29, 53syl2anc 665 . . . . . . . . 9
55 simprl 762 . . . . . . . . . 10
56 archiabllem.t . . . . . . . . . . 11
576, 56, 30ogrpsublt 28323 . . . . . . . . . 10 oGrp
5812, 29, 27, 29, 55, 57syl131anc 1277 . . . . . . . . 9
5954, 58eqbrtrrd 4448 . . . . . . . 8
60 breq2 4430 . . . . . . . . . 10
61 breq2 4430 . . . . . . . . . 10
6260, 61imbi12d 321 . . . . . . . . 9
6362rspcv 3184 . . . . . . . 8
6432, 51, 59, 63syl3c 63 . . . . . . 7
656, 37posasymb 16149 . . . . . . . 8
6665biimpa 486 . . . . . . 7
6725, 32, 5, 47, 64, 66syl32anc 1272 . . . . . 6
6867oveq1d 6320 . . . . 5
6910, 19, 683eqtr4rd 2481 . . . 4
706, 17, 30grpnpcan 16697 . . . . 5
7114, 27, 29, 70syl3anc 1264 . . . 4
7241, 40addcomd 9834 . . . . 5
7372oveq1d 6320 . . . 4
7469, 71, 733eqtr3d 2478 . . 3
75 oveq1 6312 . . . . 5
7675eqeq2d 2443 . . . 4
7776rspcev 3188 . . 3
783, 74, 77syl2anc 665 . 2
79 archiabllem.a . . 3 Archi
80 archiabllem1.p . . 3
81 archiabllem1a.c . . 3
826, 52, 56, 37, 7, 11, 79, 4, 26, 80, 81archirng 28343 . 2
8378, 82r19.29a 2977 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1 9539   caddc 9541   cmin 9859  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cbs 15084   cplusg 15152  cple 15159  c0g 15297  cpo 16136  cplt 16137  Tosetctos 16230  cgrp 16620  csg 16622  .gcmg 16623  oMndcomnd 28298  oGrpcogrp 28299  Archicarchi 28332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-toset 16231  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-omnd 28300  df-ogrp 28301  df-inftm 28333  df-archi 28334 This theorem is referenced by:  archiabllem1b  28347
 Copyright terms: Public domain W3C validator