Theorem archiabl 27432

Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
archiabl	|- ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel )

Proof of Theorem archiabl

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2467	. . . . 5 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
3		eqid 2467	. . . . 5 |- ( le ` W ) = ( le ` W )
4		eqid 2467	. . . . 5 |- ( lt ` W ) = ( lt ` W )
5		eqid 2467	. . . . 5 |- (.g ` W ) = (.g ` W )
6		simpll1 1035	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp )
7		simpll3 1037	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi )
8		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> v e. ( Base ` W ) )
9		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v )
10		simp2 997	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> y e. ( Base ` W ) )
11		simp1rr 1062	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) )
12		simp3 998	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y )
13		breq2 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) )
14		breq2 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( v ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) y ) )
15	13, 14	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) )
16	15	rspcv 3210	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( Base ` W ) -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) )
17	16	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( Base ` W ) /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) )
18	17	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( Base ` W ) /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> v ( le ` W ) y )
19	10, 11, 12, 18	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> v ( le ` W ) y )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	archiabllem1 27427	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
21	20	adantllr 718	. . 3 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
22		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
23		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) )
24		breq1 4450	. . . . . . . 8 |- ( u = v -> ( u ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) x ) )
25	24	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
26	25	ralbidv 2903	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
27	23, 26	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) )
28	27	cbvrexv 3089	. . . 4 |- ( E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
29	22, 28	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
30	21, 29	r19.29a 3003	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
31		simpl1 999	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp )
32		simpl3 1001	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi )
33		eqid 2467	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
34		simpl2 1000	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> (oppg ` W ) e. oGrp )
35		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
36		ralnex 2910	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
37	35, 36	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
38		annim 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) )
39	38	rexbii 2965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> E. x e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) )
40		rexnal 2912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) )
41	39, 40	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) )
42	41	imbi2i 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
43		imnan 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
44	42, 43	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
45	44	ralbii 2895	. . . . . . . . 9 |- ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
46	37, 45	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) )
47	24	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( -. u ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) x ) )
48	47	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
49	48	rexbidv 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( u = v -> ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
50	23, 49	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) )
51	50	cbvralv 3088	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
52	46, 51	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
53	52	r19.21bi 2833	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
54	14	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( -. v ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) y ) )
55	13, 54	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) )
56	55	cbvrexv 3089	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) )
57	53, 56	syl6ib 226	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) )
58	57	3impia 1193	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) )
59	31	3ad2ant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. oGrp )
60		isogrp 27382	. . . . . . . 8 |- ( W e. oGrp <-> ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) )
61	60	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( W e. oGrp -> W e. oMnd )
62		omndtos 27385	. . . . . . 7 |- ( W e. oMnd -> W e. Toset )
63	61, 62	syl 16	. . . . . 6 |- ( W e. oGrp -> W e. Toset )
64	59, 63	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. Toset )
65		simp2 997	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> v e. ( Base ` W ) )
66	1, 3, 4	tltnle 27340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( y ( lt ` W ) v <-> -. v ( le ` W ) y ) )
67	66	bicomd 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
68	67	3com23 1202	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
69	68	3expa 1196	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
70	69	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
71	70	rexbidva 2970	. . . . 5 |- ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
72	64, 65, 71	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
73	58, 72	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) )
74	1, 2, 3, 4, 5, 31, 32, 33, 34, 73	archiabllem2 27431	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
75	30, 74	pm2.61dan 789	1 |- ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   lecple 14562   0gc0g 14695   ltcplt 15428  Tosetctos 15520   Grpcgrp 15727  ._gcmg 15731  opp_gcoppg 16185   Abelcabl 16605  oMndcomnd 27377  oGrpcogrp 27378  Archicarchi 27411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-ple 14575  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-toset 15521  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-oppg 16186  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-omnd 27379  df-ogrp 27380  df-inftm 27412  df-archi 27413

This theorem is referenced by: (None)