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Theorem archiabl 27432
Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
archiabl  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )

Proof of Theorem archiabl
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( lt
`  W )  =  ( lt `  W
)
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
6 simpll1 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
7 simpll3 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
8 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
v  e.  ( Base `  W ) )
9 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v )
10 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
11 simp1rr 1062 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) )
12 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )
13 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y ) )
14 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) y ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  v ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  ->  v ( le `  W ) y ) ) )
1615rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Base `  W
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  ->  v ( le
`  W ) y ) ) )
1716imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) )  ->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  ->  v ( le `  W ) y ) )
1817imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  v ( le
`  W ) x ) )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  v
( le `  W
) y )
1910, 11, 12, 18syl21anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  v
( le `  W
) y )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19archiabllem1 27427 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
2120adantllr 718 . . 3  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
23 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v ) )
24 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (
u ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) x ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
2625ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  -> 
v ( le `  W ) x ) ) )
2723, 26anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) ) )
2827cbvrexv 3089 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  E. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )
2922, 28sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
3021, 29r19.29a 3003 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
31 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
32 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
33 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
34 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
35 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  -.  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
36 ralnex 2910 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W )  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
)  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
38 annim 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
3938rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  W )  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
40 rexnal 2912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W )  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
4139, 40bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
4241imbi2i 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
43 imnan 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )  <->  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4544ralbii 2895 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  W )  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4637, 45sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) ) )
4724notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( -.  u ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) x ) )
4847anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
4948rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
5023, 49imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) ) )
5150cbvralv 3088 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
5246, 51sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
5352r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
5414notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  v ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
5513, 54anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) ) )
5655cbvrexv 3089 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) )
5753, 56syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. y  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) ) )
58573impia 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) )
59313ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. oGrp )
60 isogrp 27382 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
6160simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
62 omndtos 27385 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
6361, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. Toset )
6459, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. Toset )
65 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  v  e.  ( Base `  W
) )
661, 3, 4tltnle 27340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( y
( lt `  W
) v  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
6766bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
68673com23 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
69683expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
7069anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
7170rexbidva 2970 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
7264, 65, 71syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
7358, 72mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) )
741, 2, 3, 4, 5, 31, 32, 33, 34, 73archiabllem2 27431 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
7530, 74pm2.61dan 789 1  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   lecple 14562   0gc0g 14695   ltcplt 15428  Tosetctos 15520   Grpcgrp 15727  .gcmg 15731  oppgcoppg 16185   Abelcabl 16605  oMndcomnd 27377  oGrpcogrp 27378  Archicarchi 27411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-ple 14575  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-toset 15521  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-oppg 16186  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-omnd 27379  df-ogrp 27380  df-inftm 27412  df-archi 27413
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