Theorem archiabl 28564

Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
archiabl	|- ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel )

Proof of Theorem archiabl

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2462	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2462	. . . . 5 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
3		eqid 2462	. . . . 5 |- ( le ` W ) = ( le ` W )
4		eqid 2462	. . . . 5 |- ( lt ` W ) = ( lt ` W )
5		eqid 2462	. . . . 5 |- (.g ` W ) = (.g ` W )
6		simpll1 1053	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp )
7		simpll3 1055	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi )
8		simplr 767	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> v e. ( Base ` W ) )
9		simprl 769	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v )
10		simp2 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> y e. ( Base ` W ) )
11		simp1rr 1080	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) )
12		simp3 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y )
13		breq2 4420	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) )
14		breq2 4420	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( v ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) y ) )
15	13, 14	imbi12d 326	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) )
16	15	rspcv 3158	. . . . . 6 |- ( y e. ( Base ` W ) -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) )
17	10, 11, 12, 16	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> v ( le ` W ) y )
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17	archiabllem1 28559	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
19	18	adantllr 730	. . 3 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
20		simpr 467	. . . 4 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
21		breq2 4420	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) )
22		breq1 4419	. . . . . . . 8 |- ( u = v -> ( u ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) x ) )
23	22	imbi2d 322	. . . . . . 7 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
24	23	ralbidv 2839	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
25	21, 24	anbi12d 722	. . . . 5 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) )
26	25	cbvrexv 3032	. . . 4 |- ( E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
27	20, 26	sylib 201	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
28	19, 27	r19.29a 2944	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
29		simpl1 1017	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp )
30		simpl3 1019	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi )
31		eqid 2462	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
32		simpl2 1018	. . 3 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> (oppg ` W ) e. oGrp )
33		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
34		ralnex 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
35	33, 34	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
36		rexanali 2852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) )
37	36	imbi2i 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
38		imnan 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
39	37, 38	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
40	39	ralbii 2831	. . . . . . . . 9 |- ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
41	35, 40	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) )
42	22	notbid 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( -. u ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) x ) )
43	42	anbi2d 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
44	43	rexbidv 2913	. . . . . . . . . 10 |- ( u = v -> ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
45	21, 44	imbi12d 326	. . . . . . . . 9 |- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) )
46	45	cbvralv 3031	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
47	41, 46	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
48	47	r19.21bi 2769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
49	14	notbid 300	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( -. v ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) y ) )
50	13, 49	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) )
51	50	cbvrexv 3032	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) )
52	48, 51	syl6ib 234	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) )
53	52	3impia 1212	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) )
54		simp1l1 1107	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. oGrp )
55		isogrp 28514	. . . . . . 7 |- ( W e. oGrp <-> ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) )
56	55	simprbi 470	. . . . . 6 |- ( W e. oGrp -> W e. oMnd )
57		omndtos 28517	. . . . . 6 |- ( W e. oMnd -> W e. Toset )
58	54, 56, 57	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. Toset )
59		simp2 1015	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> v e. ( Base ` W ) )
60	1, 3, 4	tltnle 28472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( y ( lt ` W ) v <-> -. v ( le ` W ) y ) )
61	60	bicomd 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
62	61	3com23 1221	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
63	62	3expa 1215	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
64	63	anbi2d 715	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
65	64	rexbidva 2910	. . . . 5 |- ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
66	58, 59, 65	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
67	53, 66	mpbid 215	. . 3 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) )
68	1, 2, 3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 67	archiabllem2 28563	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
69	28, 68	pm2.61dan 805	1 |- ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   class class class wbr 4416   ` cfv 5601   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   lecple 15246   0gc0g 15387   ltcplt 16235  Tosetctos 16328   Grpcgrp 16718  ._gcmg 16721  opp_gcoppg 17045   Abelcabl 17480  oMndcomnd 28509  oGrpcogrp 28510  Archicarchi 28543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-seq 12246  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-plusg 15252  df-ple 15259  df-0g 15389  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-toset 16329  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mulg 16725  df-oppg 17046  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-omnd 28511  df-ogrp 28512  df-inftm 28544  df-archi 28545

This theorem is referenced by: (None)