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Theorem archiabl 28564
Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
archiabl  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )

Proof of Theorem archiabl
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
4 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( lt
`  W )  =  ( lt `  W
)
5 eqid 2462 . . . . 5  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
6 simpll1 1053 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
7 simpll3 1055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
8 simplr 767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
v  e.  ( Base `  W ) )
9 simprl 769 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v )
10 simp2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
11 simp1rr 1080 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) )
12 simp3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )
13 breq2 4420 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y ) )
14 breq2 4420 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
v ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) y ) )
1513, 14imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  v ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  ->  v ( le `  W ) y ) ) )
1615rspcv 3158 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  W
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  ->  v ( le
`  W ) y ) ) )
1710, 11, 12, 16syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  v
( le `  W
) y )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17archiabllem1 28559 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
1918adantllr 730 . . 3  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
20 simpr 467 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
21 breq2 4420 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v ) )
22 breq1 4419 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (
u ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) x ) )
2322imbi2d 322 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
2423ralbidv 2839 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  -> 
v ( le `  W ) x ) ) )
2521, 24anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) ) )
2625cbvrexv 3032 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  E. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )
2720, 26sylib 201 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
2819, 27r19.29a 2944 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
29 simpl1 1017 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
30 simpl3 1019 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
31 eqid 2462 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
32 simpl2 1018 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
33 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  -.  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
34 ralnex 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W )  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
3533, 34sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
)  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
36 rexanali 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
3736imbi2i 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
38 imnan 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )  <->  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
3937, 38bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4039ralbii 2831 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  W )  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4135, 40sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) ) )
4222notbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( -.  u ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) x ) )
4342anbi2d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
4443rexbidv 2913 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
4521, 44imbi12d 326 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) ) )
4645cbvralv 3031 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
4741, 46sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
4847r19.21bi 2769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
4914notbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  v ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
5013, 49anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) ) )
5150cbvrexv 3032 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) )
5248, 51syl6ib 234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. y  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) ) )
53523impia 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) )
54 simp1l1 1107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. oGrp )
55 isogrp 28514 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
5655simprbi 470 . . . . . 6  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
57 omndtos 28517 . . . . . 6  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
5854, 56, 573syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. Toset )
59 simp2 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  v  e.  ( Base `  W
) )
601, 3, 4tltnle 28472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( y
( lt `  W
) v  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
6160bicomd 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
62613com23 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
63623expa 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
6463anbi2d 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
6564rexbidva 2910 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
6658, 59, 65syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
6753, 66mpbid 215 . . 3  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) )
681, 2, 3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 67archiabllem2 28563 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
6928, 68pm2.61dan 805 1  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   class class class wbr 4416   ` cfv 5601   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   lecple 15246   0gc0g 15387   ltcplt 16235  Tosetctos 16328   Grpcgrp 16718  .gcmg 16721  oppgcoppg 17045   Abelcabl 17480  oMndcomnd 28509  oGrpcogrp 28510  Archicarchi 28543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-seq 12246  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-plusg 15252  df-ple 15259  df-0g 15389  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-toset 16329  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mulg 16725  df-oppg 17046  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-omnd 28511  df-ogrp 28512  df-inftm 28544  df-archi 28545
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