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Theorem archiabl 28353
Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
archiabl  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )

Proof of Theorem archiabl
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
4 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( lt
`  W )  =  ( lt `  W
)
5 eqid 2429 . . . . 5  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
6 simpll1 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
7 simpll3 1046 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
8 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
v  e.  ( Base `  W ) )
9 simprl 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v )
10 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
11 simp1rr 1071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) )
12 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )
13 breq2 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y ) )
14 breq2 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
v ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) y ) )
1513, 14imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  v ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  ->  v ( le `  W ) y ) ) )
1615rspcv 3184 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  W
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  ->  v ( le
`  W ) y ) ) )
1710, 11, 12, 16syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  v
( le `  W
) y )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17archiabllem1 28348 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
1918adantllr 723 . . 3  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
20 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
21 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v ) )
22 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (
u ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) x ) )
2322imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
2423ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  -> 
v ( le `  W ) x ) ) )
2521, 24anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) ) )
2625cbvrexv 3063 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  E. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )
2720, 26sylib 199 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
2819, 27r19.29a 2977 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
29 simpl1 1008 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
30 simpl3 1010 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
31 eqid 2429 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
32 simpl2 1009 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
33 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  -.  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
34 ralnex 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W )  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
3533, 34sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
)  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
36 rexanali 2885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
3736imbi2i 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
38 imnan 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )  <->  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
3937, 38bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4039ralbii 2863 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  W )  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4135, 40sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) ) )
4222notbid 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( -.  u ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) x ) )
4342anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
4443rexbidv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
4521, 44imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) ) )
4645cbvralv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
4741, 46sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
4847r19.21bi 2801 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
4914notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  v ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
5013, 49anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) ) )
5150cbvrexv 3063 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) )
5248, 51syl6ib 229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. y  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) ) )
53523impia 1202 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) )
54 simp1l1 1098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. oGrp )
55 isogrp 28303 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
5655simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
57 omndtos 28306 . . . . . 6  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
5854, 56, 573syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. Toset )
59 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  v  e.  ( Base `  W
) )
601, 3, 4tltnle 28261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( y
( lt `  W
) v  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
6160bicomd 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
62613com23 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
63623expa 1205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
6463anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
6564rexbidva 2943 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
6658, 59, 65syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
6753, 66mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) )
681, 2, 3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 67archiabllem2 28352 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
6928, 68pm2.61dan 798 1  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   lecple 15159   0gc0g 15297   ltcplt 16137  Tosetctos 16230   Grpcgrp 16620  .gcmg 16623  oppgcoppg 16947   Abelcabl 17366  oMndcomnd 28298  oGrpcogrp 28299  Archicarchi 28332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-ple 15172  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-toset 16231  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-oppg 16948  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-omnd 28300  df-ogrp 28301  df-inftm 28333  df-archi 28334
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