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Theorem archiabl 26220
Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
archiabl  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )

Proof of Theorem archiabl
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( lt
`  W )  =  ( lt `  W
)
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
6 simpll1 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
7 simpll3 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
8 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
v  e.  ( Base `  W ) )
9 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  -> 
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v )
10 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
11 simp1rr 1054 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) )
12 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )
13 breq2 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y ) )
14 breq2 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) y ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  v ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  ->  v ( le `  W ) y ) ) )
1615rspcv 3074 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Base `  W
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  ->  v ( le
`  W ) y ) ) )
1716imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) )  ->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  ->  v ( le `  W ) y ) )
1817imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  v ( le
`  W ) x ) )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  v
( le `  W
) y )
1910, 11, 12, 18syl21anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y )  ->  v
( le `  W
) y )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19archiabllem1 26215 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  /\  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
2120adantllr 718 . . 3  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
23 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  <->  ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v ) )
24 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (
u ( le `  W ) x  <->  v ( le `  W ) x ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
2625ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  -> 
v ( le `  W ) x ) ) )
2723, 26anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) ) )
2827cbvrexv 2953 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  E. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  v
( le `  W
) x ) ) )
2922, 28sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  E. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  v ( le `  W ) x ) ) )
3021, 29r19.29a 2867 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
31 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. oGrp )
32 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e. Archi )
33 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
34 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  (oppg
`  W )  e. oGrp
)
35 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  -.  E. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
36 ralnex 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W )  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) )  <->  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
)  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
38 annim 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
3938rexbii 2745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  W )  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
40 rexnal 2731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W )  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
4139, 40bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )
4241imbi2i 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
43 imnan 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  -.  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  ->  u ( le
`  W ) x ) )  <->  -.  (
( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4544ralbii 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  W )  -.  ( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )
4637, 45sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. u  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) ) )
4724notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( -.  u ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) x ) )
4847anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
4948rexbidv 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
5023, 49imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  u ( le `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) ) )
5150cbvralv 2952 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  u
( le `  W
) x ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
5246, 51sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) v  ->  E. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  /\  -.  v
( le `  W
) x ) ) )
5352r19.21bi 2819 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. x  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x ) ) )
5414notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  v ( le `  W ) x  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
5513, 54anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) ) )
5655cbvrexv 2953 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  /\  -.  v ( le `  W ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) )
5753, 56syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) v  ->  E. y  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y ) ) )
58573impia 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  -.  v
( le `  W
) y ) )
59313ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. oGrp )
60 isogrp 26170 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
6160simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
62 omndtos 26173 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
6361, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. Toset )
6459, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  W  e. Toset )
65 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  v  e.  ( Base `  W
) )
661, 3, 4tltnle 26128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( y
( lt `  W
) v  <->  -.  v
( le `  W
) y ) )
6766bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
68673com23 1193 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
69683expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( -.  v ( le `  W ) y  <->  y ( lt `  W ) v ) )
7069anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  ( ( 0g `  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
7170rexbidva 2737 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Toset  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
7264, 65, 71syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  ( E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  -.  v ( le `  W ) y )  <->  E. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) ) )
7358, 72mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg
`  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  (
Base `  W )
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  u ( le `  W ) x ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  W )  /\  ( 0g `  W ) ( lt `  W ) v )  ->  E. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) y  /\  y ( lt `  W ) v ) )
741, 2, 3, 4, 5, 31, 32, 33, 34, 73archiabllem2 26219 . 2  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W )  e. oGrp  /\  W  e. Archi )  /\  -.  E. u  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) u  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  u
( le `  W
) x ) ) )  ->  W  e.  Abel )
7530, 74pm2.61dan 789 1  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (oppg `  W
)  e. oGrp  /\  W  e. Archi
)  ->  W  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   lecple 14250   0gc0g 14383   ltcplt 15116  Tosetctos 15208   Grpcgrp 15415  .gcmg 15419  oppgcoppg 15865   Abelcabel 16283  oMndcomnd 26165  oGrpcogrp 26166  Archicarchi 26199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-seq 11812  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-ple 14263  df-0g 14385  df-poset 15121  df-plt 15133  df-toset 15209  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-oppg 15866  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-omnd 26167  df-ogrp 26168  df-inftm 26200  df-archi 26201
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