MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Structured version   Unicode version

Theorem arch 10788
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem arch
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4450 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <  n  <->  A  <  n ) )
21rexbidv 2973 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  y  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <  n
) )
3 nnunb 10787 . . . 4  |-  -.  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
4 ralnex 2910 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -. 
E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )
)
53, 4mpbir 209 . . 3  |-  A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
6 rexnal 2912 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
7 nnre 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
8 axlttri 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
10 equcom 1743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  n  <->  n  =  y )
1110orbi1i 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  =  y  \/  n  <  y
) )
12 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  y  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1311, 12bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1413notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
)  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
159, 14syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
) ) )
1615biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  -> 
y  <  n )
)
1716reximdva 2938 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
)  ->  E. n  e.  NN  y  <  n
) )
186, 17syl5bir 218 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y )  ->  E. n  e.  NN  y  <  n ) )
1918ralimia 2855 . . 3  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  ->  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n )
205, 19ax-mp 5 . 2  |-  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n
212, 20vtoclri 3188 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624   NNcn 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533
This theorem is referenced by:  nnrecl  10789  bndndx  10790  btwnz  10959  uzwo3  11173  zmin  11174  rpnnen1lem5  11208  harmonic  13629  alzdvds  13891  ovolicc2lem4  21666  volsup2  21749  ismbf3d  21796  mbfi1fseqlem6  21862  itg2seq  21884  itg2cnlem1  21903  ply1divex  22272  plydivex  22427  ubthlem1  25462  lnconi  26628  rearchi  27495  esumcst  27711  lgamucov  28220  lgamcvg2  28237  hbtlem5  30681  prmunb2  30794  rfcnnnub  30989  stoweidlem14  31314  stoweidlem60  31360
  Copyright terms: Public domain W3C validator