Theorem arch 7075

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
arch	|- (A e. RR -> E.n e. NN A < n)

Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem arch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3161	. . 3 |- (y = A -> (y < n <-> A < n))
2	1	rexbidv 1958	. 2 |- (y = A -> (E.n e. NN y < n <-> E.n e. NN A < n))
3		nnunb 7074	. . . 4 |- -. E.y e. RR A.n e. NN (n < y \/ n = y)
4		ralnex 1947	. . . 4 |- (A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y) <-> -. E.y e. RR A.n e. NN (n < y \/ n = y))
5	3, 4	mpbir 206	. . 3 |- A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y)
6		axlttri 6468	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ n e. RR) -> (y < n <-> -. (y = n \/ n < y)))
7		nnre 6907	. . . . . . . . 9 |- (n e. NN -> n e. RR)
8	6, 7	sylan2 498	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (y < n <-> -. (y = n \/ n < y)))
9		eqcom 1723	. . . . . . . . . . 11 |- (y = n <-> n = y)
10	9	orbi1i 274	. . . . . . . . . 10 |- ((y = n \/ n < y) <-> (n = y \/ n < y))
11		orcom 264	. . . . . . . . . 10 |- ((n = y \/ n < y) <-> (n < y \/ n = y))
12	10, 11	bitri 189	. . . . . . . . 9 |- ((y = n \/ n < y) <-> (n < y \/ n = y))
13	12	notbii 203	. . . . . . . 8 |- (-. (y = n \/ n < y) <-> -. (n < y \/ n = y))
14	8, 13	syl6bb 592	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (y < n <-> -. (n < y \/ n = y)))
15	14	biimprd 170	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (-. (n < y \/ n = y) -> y < n))
16	15	reximdva 2037	. . . . 5 |- (y e. RR -> (E.n e. NN -. (n < y \/ n = y) -> E.n e. NN y < n))
17		rexnal 1948	. . . . 5 |- (E.n e. NN -. (n < y \/ n = y) <-> -. A.n e. NN (n < y \/ n = y))
18	16, 17	syl5ibr 223	. . . 4 |- (y e. RR -> (-. A.n e. NN (n < y \/ n = y) -> E.n e. NN y < n))
19	18	ralimia 2000	. . 3 |- (A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y) -> A.y e. RR E.n e. NN y < n)
20	5, 19	ax-mp 7	. 2 |- A.y e. RR E.n e. NN y < n
21	2, 20	vtoclri 2193	1 |- (A e. RR -> E.n e. NN A < n)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 162   \/ wo 238   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  A.wral 1939  E.wrex 1940   class class class wbr 3158  RRcr 6181  NNcn 6245   < clt 6449

This theorem is referenced by:  nnrecl 7076  bndndx 7077  btwnz 7223  ubthlem5 9671  projlem1 10611  projlem26 10636  alzdvds 13487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-n 6903

Copyright terms: Public domain